Lösung Aufgabe P1: 1. Bestimmung des Zylinderradius : 2. Bestimmung der Zylinderhöhe :
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- Tobias Frei
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1 Lösung Aufgabe P1: 1. Bestimmung des Zylinderradius : 2. Bestimmung der Zylinderhöhe : 3. Berechnung des Zylindervolumens : Formel für das Zylindervolumen 4. Bestimmung des Kegelradius : 5. Berechnung der Kegelhöhe : Pythagoras im gelben Teildreieck Seiten tauschen 6. Berechnung des Kegelvolumens : 1 von 55
2 Formel für das Kegelvolumen 7. Bestimmung des Halbkugelradius : 8. Berechnung des Halbkugelvolumens : Formel für das Halbkugelvolumen 9. Berechnung des Restkörpervolumens : 2 von 55
3 3 von 55
4 Lösung Aufgabe P2: 1. Berechnung der Teilstrecke : Sinusfunktion im gelben Teildreieck 2. Bestimmung der Teilstrecke : 3. Berechnung der Strecke : Sinusfunktion im blauen Teildreieck 4 von 55
5 Seiten tauschen 4. Berechnung der Strecke : 5. Berechnung der Strecke : 5 von 55
6 6. Berechnung der Strecke : Kosinusfunktion im blauen Teildreieck Seiten tauschen 7. Berechnung der Strecke : 8. Berechnung der Strecke : 6 von 55
7 9. Berechnung des Umfangs : 7 von 55
8 Lösung Aufgabe P3: 1. Berechnung der Höhe der Pyramiden- Seitenfläche : Tangensfunktion im gelben Dreieck 2. Berechnung der Pyramidenhöhe : Pythagoras im blauen Dreieck 3. Berechnung des Pyramidenvolumens : Formel für das 8 von 55
9 Pyramidenvolumen 4. Berechnung der Strecke : 5. Berechnung der Flächendiagonalen : Formel für die Flächendiagonale im Quadrat 6. Berechnung der Strecke : 9 von 55
10 7. Berechnung der Strecke : Pythagoras im grünen Dreieck Seiten tauschen 10 von 55
11 Lösung Aufgabe P4: Zum Lösen linearer Gleichungssysteme mit 2 Variablen stehen drei Verfahren zur Auswahl: Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren und Additionsverfahren. Bei dieser Aufgabe wird das Gleichsetzverfahren angewandt, allerdings muss man die Gleichungen zuerst umformen! 1. Berechnung der Variablen x: Seiten tauschen Erweitern Gleichnamige Brüche subtrahieren Zusammenfassen 11 von 55
12 Klammer ausmultiplizieren Zusammenfassen Seiten tauschen Erweitern Gleichnamige Brüche subtrahieren Zusammenfassen Brüche gleichnamig machen 12 von 55
13 durch Erweitern Klammer ausmultiplizieren 2. Berechnung der Variablen y: x = 4 in (1) einsetzen: Seiten tauschen 13 von 55
14 Lösung Aufgabe P5: Gegeben ist die Funktionsgleichung der nach unten geöffneten Parabel p. Von der Geraden g hat man zwei Informationen: und. Funktionsgleichung: Wertetabelle: x Zeichnung: y - 1,25 1 2,75 4 4,75 5 4,75 4 2,75 1-1,25 Damit man die Schnittpunkte und der Parabel mit der Geraden rechnerisch bestimmen kann, benötigt man außer der Funktionsgleichung der Parabel auch noch die Funktionsgleichung der Geraden. 1. Bestimmung der Funktionsgleichung der Geraden g: Allgemeine Geradengleichung Steigung 14 von 55
15 Punktkoordinaten einsetzen 2. Berechnung der Schnittpunkte und der Geraden mit der Parabel: Lösung zweier Gleichungen mit zwei Unbekannten x und y durch das Gleichsetzungsverfahren Quadratische Gleichung in der Normalenform p und q bestimmen Lösungsformel x-wert in Gleichung II einsetzen 15 von 55
16 1. Schnittpunkt x-wert in Gleichung II einsetzen 2. Schnittpunkt 16 von 55
17 Lösung Aufgabe P6: Experiment 1: Ziehen zweier Kugeln mit Zurücklegen In dem Behälter befinden sich 3 blaue und 3 rote Kugeln. Beim ersten Ziehen wird entweder eine blaue oder eine rote Kugel gezogen. Beim zweiten Ziehen wird wiederum entweder eine blaue oder eine rote Kugel gezogen. Das Experiment wird durch einen Ereignisbaum dargestellt. Die Wahrscheinlichkeit beim ersten Ziehen eine blaue Kugel zu ziehen beträgt. Die Wahrscheinlichkeit beim ersten Ziehen eine rote Kugel zu ziehen beträgt. Da die Kugel nach dem ersten Ziehen wieder in den Behälter zurückgelegt wird, sind die Wahrscheinlichkeiten für das Ziehen dieselben wie beim ersten Ziehen. Die Wahrscheinlichkeit beim zweiten Ziehen eine blaue Kugel zu Ziehen beträgt. Die Wahrscheinlichkeit beim zweiten Ziehen eine rote Kugel zu Ziehen beträgt. 17 von 55
18 Es ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten: Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass zwei verschiedenfarbige Kugeln gezogen werden: Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei verschiedenfarbige Kugeln gezogen werden beträgt 50%. Experiment 2: Ziehen zweier Kugeln ohne Zurücklegen In dem Behälter befinden sich 3 blaue und 3 rote Kugeln. Beim ersten Ziehen wird entweder eine blaue oder eine rote Kugel gezogen. Beim zweiten Ziehen wird wiederum entweder eine blaue oder eine rote Kugel gezogen. Das Experiment wird durch einen Ereignisbaum dargestellt. Die Wahrscheinlichkeit beim ersten Ziehen eine blaue Kugel zu ziehen beträgt. Die Wahrscheinlichkeit beim ersten Ziehen eine rote Kugel zu ziehen beträgt 18 von 55
19 . Da die Kugel nach dem ersten Ziehen nicht wieder in den Behälter zurückgelegt wird, müssen die Wahrscheinlichkeiten für das zweite Ziehen neu bestimmt werden. Die Wahrscheinlichkeit beim zweiten Ziehen eine blaue Kugel zu Ziehen beträgt für den Fall, dass beim ersten Mal schon eine blaue Kugel gezogen wurde, ansonsten. Die Wahrscheinlichkeit beim zweiten Ziehen eine rote Kugel zu Ziehen beträgt für den Fall, dass beim ersten Mal schon eine rote Kugel gezogen wurde, ansonsten. Es ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten: Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass zwei verschiedenfarbige Kugeln 19 von 55
20 gezogen werden: Antwort: Die Vermutung ist falsch, da die Wahrscheinlichkeit, dass zwei verschiedenfarbige Kugeln gezogen werden 60% beträgt. 20 von 55
21 Lösung Aufgabe P7: Anzahl der versandten SMS der Jungen nach der Größe geordnet: Platz n Jungen Bestimmung des arithmetischen Mittels der Jungen: Das arithmetische Mittel der von den Jungen versandten SMS beträgt 40. Anzahl der versandten SMS der Mädchen nach der Größe geordnet: Platz n Mädchen Bestimmung des arithmetischen Mittels der Mädchen: Das arithmetische Mittel der von den Mädchen versandten SMS beträgt 60. Berechnung des Prozentsatzes: Grundformel arithmetisches Mittel der Jungen Differenz der Mittelwerte 21 von 55
22 Das arithmetische Mittel der Mädchen liegt 50% über dem arithmetischen Mittel der Jungen. Anzahl der versandten SMS der Jungen nach der Größe geordnet: Platz n Jungen Bestimmung des Zentralwerts der Jungen: Wenn Anzahl n gerade Der Zentralwert der Jungen beträgt 30. Anzahl der versandten SMS der Mädchen nach der Größe geordnet: Platz n Mädchen Bestimmung des Zentralwerts der Mädchen: Wenn Anzahl n ungerade Der Zentralwert der Mädchen beträgt 47. Anzahl der versandten SMS der Jungen mit nachträglichen Werten nach der Größe geordnet: Platz n Jungen Bestimmung des Zentralwerts der Jungen: Da die Anzahl n nachträglich ungerade 22 von 55
23 Der Zentralwert der Jungen verändert sich von 30 auf 25. Anzahl der versandten SMS der Mädchen mit nachträglichen Werten nach der Größe geordnet: Platz n Mädchen Bestimmung des Zentralwerts der Mädchen: Da die Anzahl n ungerade bleibt Der Zentralwert der Mädchen beträgt nach wie vor 47, da sich die nachträglichen Werte links und rechts des Zentralwertes einordnen. 23 von 55
24 Lösung Aufgabe P8: Spielzeiten 03/04 04/05 05/06 06/07 07/08 08/09 Zuschauer (abgelesene Werte) Veränderungen zum Vorjahr Antwort: Die größte Zuschauersteigerung liegt zwischen 05/06 und 06/07. Berechnung der prozentualen Zunahme der größten Zuschauersteigerung: Grundformel Zuschauerzahl 05/06 Zuwachs 05/06 -> 06/07 Antwort: Die prozentuale Zunahme beträgt 8,6%. Berechnung der prozentualen Veränderung zwischen 07/08 und 08/09: Grundformel Zuschauerzahl 07/08 Abnahme 07/08 -> 08/09 24 von 55
25 Die Zuschauerzahl hat um 1,89% abgenommen. Berechnung der voraussichlichen Zuschauerzahl 09/10: Antwort: Für die Spielzeit 09/10 kann man mit ca Zuschauer rechnen. 25 von 55
26 Lösung Aufgabe W1a: 1. Berechnung der Strecke : 2. Berechnung des Winkels : Winkelsumme im gelben Dreieck 3. Berechnung des Winkels : Winkelsumme im blauen 26 von 55
27 Viereck 4. Berechnung der Strecke : Kosinusfunktion im gelben Dreieck Seiten tauschen 5. Berechnung der Strecke : 27 von 55
28 6. Berechnung der Strecke : 7. Berechnung der Strecke : Sinusfunktion im grünen Dreieck 28 von 55
29 8. Berechnung der Strecke : Sinusfunktion im gelben Dreieck Seiten tauschen 9. Berechnung der Strecke : Kosinusfunktion im grünen Dreieck Seiten tauschen 29 von 55
30 10. Berechnung der Strecke : 11. Berechnung des Umfangs : 30 von 55
31 31 von 55
32 Lösung Aufgabe W1b: 1. Berechnung der Strecke : Tangensfunktion im gelben Dreieck Seiten tauschen 2. Berechnung der Strecke : 3. Berechnung der Strecke : Sinusfunktion im blauen Dreieck Seiten tauschen 4. Berechnung der Strecke : Pythagoras im gelben Dreieck 32 von 55
33 5. Berechnung der Strecke : Kosinusfunktion im blauen Dreieck Seiten tauschen 6. Berechnung der Strecke : 7. Berechnung der Strecke : Pythagoras im grünen Dreieck 33 von 55
34 34 von 55
35 Lösung Aufgabe W2a: 1. Berechnung Kegel- und Zylinderradius : 2. Berechnung der Kegelhöhe : Pythagoras im gelben Dreieck 3. Berechnung des Kegelvolumens : Formel für das Kegelvolumen 4. Berechnung des Zylindervolumens : Formel für das Zylindervolumen 35 von 55
36 5. Berechnung desvolumens : 6. Berechnung des Volumens : 7. Berechnung des Volumens : 36 von 55
37 8. Berechnung der Höhe : Formel für das Zylindervolumen Seiten tauschen 37 von 55
38 Lösung Aufgabe W2b: 1. Berechnung des Winkels : 2. Berechnung der Seitenkante : 3. Berechnung der Grundkante : Sinusfunktion im gelben Dreieck Seiten tauschen 4. Berechnung der Strecke : 38 von 55
39 5. Berechnung des Winkels : Kosinusfunktion im blauen Dreieck 6. Berechnung der Strecke : Kosinusfunktion im grünen Dreieck 39 von 55
40 Seiten tauschen 7. Berechnung der Strecke : 8. Berechnung der Strecke : Pythagoras im grünen Dreieck 9. Berechnung der Strecke : Pythagoras im orangefarbigen Dreieck 40 von 55
41 41 von 55
42 Lösung Aufgabe W3a: Bestimmung der Funktionsgleichung der Geraden : Allgemeine Geradengleichung Punktkoordinaten einsetzen b=7 in II einsetzen Seiten tauschen Bestimmung der Funktionsgleichung der Geraden : Allgemeine Geradengleichung Punktkoordinaten einsetzen Seiten tauschen m=2 in I einsetzen Seiten tauschen 42 von 55
43 Bestimmung der Koordinaten des Schnittpunktes : Seiten tauschen x=10 in I einsetzen Bestimmung der Funktionsgleichung der Parabel : Allgemeine Parabelgleichung Punktkoordinaten einsetzen Seiten tauschen Gleichsetzungsverfahren p = (-10) in I einsetzen Seiten tauschen Bestimmung des Scheitelpunktes der Parabel : quadratische Ergänzung 2. binomische Formel zusammenfassen 43 von 55
44 Scheitelgleichnung 44 von 55
45 Lösung Aufgabe W3b: Gegeben sind die Funktionsgleichungen der Parabeln und. Funktionsgleichung: Wertetabelle: x Funktionsgleichung: y ,5 5 4, Wertetabelle: x Zeichnung: y von 55
46 1. Berechnung der Koordinaten der Schnittpunkte und : Gleichsetzungsverfahren in II einfügen 46 von 55
47 1. Schnittpunkt in II einfügen 2. Schnittpunkt 2. Bestimmung der Koordinaten der Scheitelpunkte und : siehe Wertetabelle von siehe Wertetabelle von 3. Bestimmung der Strecke : siehe x-koordinaten in der Zeichnung 4. Bestimmung der Strecke : siehe y-koordinaten in der Zeichnung 5. Berechnung der Fläche : 6. Begründung: Da Dreieck und Dreieck symmetrisch zur y-achse, handelt es sich um ein Drachenviereck. 47 von 55
48 Lösung Aufgabe W4a: Das linke Glücksrad kann beim Drehen entweder auf 1, 2 oder 3 stehen bleiben. Das rechte Glücksrad kann entweder auf 4, 5 oder 6 stehen bleiben. Als Summe beider Glücksräder ergeben sich 5, 6, 7, 8 oder 9. Gewinnsituation A: Summe 8 oder 9 Gewinnsituation B: alle anderen Summen Das Experiment wird durch einen Ereignisbaum dargestellt. Die Wahrscheinlichkeit dass das linke Glücksrad auf der 1 stehen bleibt beträgt: Die Wahrscheinlichkeit dass das linke Glücksrad auf der 2 oder der 3 stehen bleibt beträgt: 48 von 55
49 Die Wahrscheinlichkeit dass das rechte Glücksrad auf der 4 stehen bleibt beträgt: Die Wahrscheinlichkeit dass das rechte Glücksrad auf der 5 stehen bleibt beträgt: Die Wahrscheinlichkeit dass das rechte Glücksrad auf der 6 stehen bleibt beträgt: Es ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten: B: = 5 B: = 6 B: = 7 B: = 6 B: = 7 A: = 8 B: = 7 A: = 8 49 von 55
50 A: = 9 Abschlusspruefung Realschule Mathematik 2010 Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der erhaltenen Zahlen 8 oder 9 ergibt: A: = 8 A: = 8 A: = 9 Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der erhaltenen Zahlen 8 oder 9 ergibt, beträgt 50%. D.h. Die Wahrscheinlichkeit für Situation A oder B sind gleich groß. Das rechte Glücksrad wurde so verändert, dass die Sektoren der Zahlen 4 und 5 jeweils den Mittelpunktswinkel 90 erhalten. Das linke Glücksrad kann beim Drehen entweder auf 1, 2 oder 3 stehen bleiben. Das rechte Glücksrad kann entweder auf 4, 5 oder 6 stehen bleiben. Als Summe beider Glücksräder ergeben sich 5, 6, 7, 8 oder 9. Gewinnsituation A: Summe 8 oder 9 Gewinnsituation B: alle anderen Summen Das neue Experiment wird durch einen Ereignisbaum dargestellt. 50 von 55
51 Die Wahrscheinlichkeit dass das linke Glücksrad auf der 1 stehen bleibt beträgt: Die Wahrscheinlichkeit dass das linke Glücksrad auf der 2 oder der 3 stehen bleibt beträgt: Die Wahrscheinlichkeit dass das rechte Glücksrad auf der 4 stehen bleibt beträgt: Die Wahrscheinlichkeit dass das rechte Glücksrad auf der 5 stehen bleibt beträgt: Die Wahrscheinlichkeit dass das rechte Glücksrad auf der 6 stehen bleibt beträgt: Es ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten: B: = 5 B: = 6 B: = 7 B: = 6 51 von 55
52 B: = 7 A: = 8 B: = 7 A: = 8 A: = 9 Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der erhaltenen Zahlen 8 oder 9 ergibt: A: = 8 A: = 8 A: = 9 Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der erhaltenen Zahlen 8 oder 9 ergibt, vermindert sich auf 46,9%. D.h. Die Wahrscheinlichkeit für Situation B verbessert sich auf 53,1%. Nach der Veränderung müsste man auf B setzen. 52 von 55
53 Lösung Aufgabe W4b: 1. Berechnung des Winkels : Tangensfunktion im gelben Dreieck 2. Bestimmung des Winkels : ist Spiegelbild von 3. Berechnung des Winkels : 4. Berechnung der Strecke : Kosinusfunktion im blauen Dreieck Seiten tauschen 5. Berechnung der Strecke : 53 von 55
54 6. Berechnung der Strecke : Pythagoras im blauen Dreieck 7. Berechnung der Strecke : Pythagoras im grünen Dreieck Seiten tauschen 54 von 55
55 55 von 55
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