Grundwissen Jahrgangsstufe 8

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1 Grundwissen Jahrgangsstufe 8 GM 8. Direkt proportionale und indirekt proportionale Größen DIREKT PROPORTIONALE GRÖSSEN Definition Zwei Größen und y heißen zueinander direkt proportional, wenn sie quotientengleich sind, d.h. wenn der Quotient y stets den gleichen Wert k besitzt. k wird als Proportionalitätsfaktor bezeichnet. Eigenschaft Sind und y direkt proportional, so gilt: Verdoppelt, verdreifacht,..., halbiert, drittelt,... man den Wert von, so verdoppelt, verdreifacht,..., halbiert, drittelt,... sich auch der Wert von y. Das bedeutet: Dem n-fachen von entspricht das n-fache von y und umgekehrt. Beispiel Die Masse (in kg) von Weintrauben und der Preis y (in ) der Weintrauben sind zueinander direkt proportional. Der Proportionalitätsfaktor gibt den Preis pro Kilogramm an. In der Tabelle sind einige Zahlenpaare dieser Proportionalität angegeben. Unter der Tabelle findet sich eine Erläuterung, wie man die einzelnen Werte berechnen kann. Masse (in kg),50,750 ) 0,800 ) Preis y (in ),50 ),75 ),0 ) Wenn man die Masse von,50 kg auf,750 kg verdreifacht, dann verdreifacht sich auch der Preis.,50 0,50 ) Wenn man den Preis von,50 auf,75 halbiert, dann halbiert sich auch die Masse.,50 kg : 0,5 kg,50 ) Der Proportionalitätsfaktor beträgt k, 80.,50 y Aus, 80 erhält man y,80 0,800, [ ]. 0,800,0,0 ) Aus, 80 erhält man, 57 [kg].,80 5 y (in ) Im Koordinatensystem liegen die zu einer direkten Proportionalität gehörenden Punkte auf einer Ursprungsgeraden (in kg) 5

2 INDIREKT PROPORTIONALE GRÖSSEN Definition Zwei Größen und y heißen zueinander indirekt proportional, wenn sie produktgleich sind, d.h. wenn das Produkt y stets den gleichen Wert k besitzt. Eigenschaft Sind und y indirekt proportional, so gilt: Verdoppelt, verdreifacht,..., halbiert, drittelt,... man den Wert von, so halbiert, drittelt,..., verdoppelt, verdreifacht,... sich der Wert von y. Das bedeutet: Dem n-fachen von entspricht der n-te Teil von y und umgekehrt. Beispiel Betrachtet man alle Rechtecke mit dem gleichen Flächeninhalt, dann sind die Länge und die Breite y dieser Rechtecke zueinander indirekt proportional. In der Tabelle sind einige Zahlenpaare dieser indirekten Proportionalität angegeben. Unter der Tabelle findet sich eine Erläuterung, wie man die einzelnen Werte berechnen kann. Länge (in cm) 8 ),5 ) Breite y (in cm),5 ) 7,5 ) 0,8 ) Wenn man die Länge von cm auf 8 cm verdoppelt, dann halbiert sich die Breite.,5 cm :,5 cm ) Wenn man die Breite von,5 cm auf 7,5 cm verdreifacht, dann drittelt sich die Länge. cm : cm ) Das Produkt aus und y gibt den gemeinsamen Flächeninhalt aller Rechtecke an. Er beträgt cm,5cm 0 cm. Aus,5 y 0 erhält man y 0 :,5, [cm]. 000 ) Aus 0,8 0 erhält man 0 : 0,8 9, 90 [cm] 8 y (in cm) 9 Im Koordinatensystem liegen die zu einer indirekten Proportionalität gehörenden Punkte auf einer Hyperbel (in cm) 5

3 GM 8. Umfang und Flächeninhalt eines Kreises Umfangslänge eines Kreises Ein Kreis mit Radius r hat die Umfangslänge U rπ. U Bezeichnet man den Durchmesser des Kreises mit d, so gilt: U dπ bzw. π. d Für jeden Kreis hat der Quotient aus Umfangslänge U und Durchmesser d also denselben Wert π (sprich: Pi ). Die Zahl π nennt man Kreiszahl. Sie ist keine rationale Zahl. Man kann sie also nicht als Bruch schreiben. Ihre Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht periodisch. Beispiele. Ein Kreis hat den Radius,5 cm. Wie groß ist seine Umfangslänge? U rπ,5 cm π 9π cm 8, cm. Messungen haben ergeben, dass die Länge des Äquators der Erde rund km beträgt. Wie groß ist demnach der Erdradius? U 0000km U rπ r km π π. Ein Kreis hat den Umfang cm. Welchem Umfang hat ein Kreis mit einem dreimal so großen Radius? Weil Kreisradius und Kreisumfang zueinander direkt proportionale Größen sind gilt: Wird der Radius verdreifacht, so verdreifacht sich auch der Umfang. Der gesuchte Umfang beträgt also cm cm. Flächeninhalt eines Kreises Ein Kreis mit Radius r hat den Flächeninhalt A r²π. Beispiele. Ein Kreis hat den Radius,5 cm. Wie groß ist sein Flächeninhalt? A r²π (,5 cm)² π 0,5π cm², cm². Beachte die Klammer!. Ein Kreis hat den Flächeninhalt cm. Welchem Flächeninhalt hat ein Kreis mit einem dreimal so großen Radius? Kreisradius und Kreisfläche sind nicht direkt proportional. Die Kreisfläche verändert sich mit dem Quadrat des Radius. Wird der Radius verdreifacht, so wird der Flächeninhalt ²-mal, also 9-mal so groß. Kreisteile In der Abbildung ist ein Kreissektor dargestellt. Der Umfang des Kreissektors setzt sich aus einem Kreisbogen der Länge b und zwei Strecken jeweils der Länge r zusammen. b beträgt ein Sechstel vom Umfang des ganzen Kreises. Also gilt für den Umfang US des Kreissektors: U S b + r rπ + r,7cm π +,7cm,cm b Für den Flächeninhalt AS des Kreissektors gilt entsprechend: A S r π (,7cm) π 7,cm²

4 GM 8. Funktionen Funktionsbegriff Der Zusammenhang zwischen zwei Größen kann durch eine Zuordnung f beschrieben werden. Gibt es dabei für jeden Wert der ersten Größe genau einen Wert y f() der ihr zugeordneten zweiten Größe, dann nennt man die Zuordnung eindeutig, bzw. eine Funktion. Funktionen können durch Terme bzw. Gleichungen, durch Tabellen und durch Graphen beschrieben werden. Die Definitionsmenge D ist die Menge aller für zulässigen Werte. Die Wertemenge W enthält alle Funktionswerte, d.h. alle Werte y. Ein Wert, dessen Funktionswert die Zahl Null ist, d.h. für den f() 0 gilt, heißt Nullstelle der Funktion f. Beispiel Funktionsgleichung: y 0,5² Funktionsterm: 0,5² Definitionsmenge: D Q, da man für alle rationalen Zahlen in den Funktionsterm einsetzen darf. Wertetabelle: 0 y f(),5 0,5,5 0,5 Graph : y Der Graph der Funktion f ist achsensymmetrisch zur y-achse. Wertemenge: W [ ; + [, weil alle Funktionswerte größer oder gleich sind. Nullstellen: und Ein Punkt liegt auf dem Graphen einer Funktion, wenn seine Koordinaten die Funktionsgleichung erfüllen. P(,5) liegt auf dem Graphen der Funktion, weil 0,5 ( )²,5. Q(,5 0,75) liegt nicht auf dem Graphen der Funktion, weil 0,5,5² 0,875 0,75. R(,5 R) liegt auf dem Graphen der Funktion. Dann muss R den Wert R 0,5,5²,5 haben. 7

5 GM 8. Lineare Funktionen Lineare Funktionen Eine Funktion, deren Graph eine Gerade ist, heißt lineare Funktion. Jede lineare Funktion hat eine Funktionsgleichung der Form y m + t (z.b. y + ). Dabei ist m die Steigung der Gerade und t ihr y-achsenabschnitt. Zeichnen einer Geraden in einem Koordinatensystem Beispiel : y + Der y-achsenabschnitt ist +. Die Gerade verläuft durch den Punkt T(0 ). Trage ihn als ersten Punkt der Gerade in das Koordinatensystem ein. Die Steigung ist +. Trage von T aus ein Steigungsdreieck in das Koordinatensystem ein. Gehe dazu nach rechts und nach oben. Du erhältst einen zweiten Punkt P der Gerade. Zeichne die Verbindungsgerade durch T und P T - y P Beispiel : y Der y-achsenabschnitt ist. Die Gerade verläuft durch den Punkt T(0 ). Trage ihn als ersten Punkt der Gerade in das Koordinatensystem ein. Die Steigung ist. Trage von T aus ein Steigungsdreieck in das Koordinatensystem ein. Gehe dazu nach rechts und nach unten. Du erhältst einen zweiten Punkt P der Gerade. Zeichne die Verbindungsgerade durch T und P. (In der Zeichnung würde diesmal auf die Beschriftung verzichtet. Auch auf das Einzeichnen des Steigungsdreiecks kann man verzichten. Wichtig ist es, die beiden Punkte T und P richtig zu markieren und die Gerade einzuzeichnen.) Man unterscheidet: m > 0 Die Gerade steigt. m < 0 Die Gerade fällt. m 0 Die Gerade verläuft parallel zur -Achse Nullstelle einer linearen Funktion Man findet die Nullstelle einer linearen Funktion, indem man den Funktionsterm Null setzt. Beispiel: y (vgl. Lösen linearer Gleichungen GM 7.5) 8

6 Arbeiten mit linearen Funktionen Aufstellen von Funktionsgleichungen Beispiel (Steigung und Punkt) Die Gerade g ist zur Gerade h: y parallel und verläuft durch den Punkt P( ). Bestimme eine Gleichung von g. g ist parallel zu h, hat also auch die Steigung m. Also ist y + t. Einsetzen der Koordinaten von P: + t t Also hat g die Gleichung y + Beispiel (y-achsenabschnitt und Punkt) Die Gerade g schneidet die y-achse im Punkt T(0 ) und verläuft durch den Punkt P( ). Bestimme eine Gleichung von g. g hat den y-achsenabschnitt t. Also ist y m +. Einsetzen der Koordinaten von P: m + m,5 Also hat g die Gleichung y,5 + Beispiel (Zwei Punkte) Die Gerade g verläuft durch die Punkte A( ) und B( ). Bestimme eine Gleichung von g. Änderung in y Richtung g hat die Steigung m Änderung in Richtung y y B B y A A ( ) Also: y + t Einsetzen der Koordinaten von A (oder B): ( ) + t t Also hat g die Gleichung y 0,75 +,5 Beispiel (Schnittpunkt zweier Geraden) Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts der Gerade g: y 7 und der Gerade h: y +. Der Schnittpunkt S liegt auf beiden Geraden. Seine Koordinaten müssen also beide Geradengleichungen erfüllen: (I) y 7 (II) y + Man erhält die -Koordinate des Schnittpunkts durch Gleichsetzen der Funktionsterme : ¼ Man erhält die y-koordinate des Schnittpunkts durch Einsetzen der -Koordinate in eine der beiden Geradengleichungen y 7 Nun kann man den Schnittpunkt angeben: S( ) 9

7 GM 8.5 Lineare Gleichungssysteme Zwei lineare Gleichungen, die zwei Variablen enthalten, bilden ein lineares Gleichungssystem. Zu jeder einzelnen Gleichung eistieren unendlich viele Lösungen. Sie lassen sich durch Punkte auf einer Geraden veranschaulichen. Zu jeder linearen Gleichung mit zwei Variablen gehört also eine Gerade. Haben die beiden Geraden einen Schnittpunkt, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. Sind die beiden Geraden parallel, dann hat das Gleichungssystem keine Lösung. Sind die beiden Geraden identisch, dann hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Rechnerische Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme. Das Gleichsetzungsverfahren Sind beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst, kann man die einander entsprechenden Terme gleichsetzen. Beispiel: (I) y (II) y + 7 Gleichsetzen : in (I): y 5 L {( 5)} Hinweis: Eine Lösung eines Gleichungssystems mit zwei Variablen ist immer ein Zahlenpaar.. Das Einsetzungsverfahren Löst man eine Gleichung nach einer Variablen auf, so kann man den gefundenen Term in die andere Gleichung einsetzen. Beispiel: (I) y (II) y + 0 (I) nach y auflösen : y + in (II) einsetzen: ( + ) Widerspruch keine Lösung L { }. Das Additionsverfahren Unterscheiden sich die Koeffizienten einer Variablen nur durch das Vorzeichen, so ist es günstig, die beiden Gleichungen zu addieren. Beispiel : (I) + y Beispiel : (I) y 9 (II) y 7 (II) + y 9 (I) + (II) 0 (I) + (II) in (I) 5 + y Das Gleichungssystem hat y unendlich viele Lösungen. y L {(5 )} L {( y) y 9} lies: Die Lösungsmenge ist die Menge aller Zahlenpaare ( y), für welche die Gleichung y 9 erfüllt ist. 0

8 GM 8. Laplace-Eperimente Zufallseperimente Eperimente, deren Ausgang zufällig, also nicht vorhersagbar ist, nennt man Zufallseperimente. Alle möglichen Ergebnisse (Versuchsausgänge) eines Zufallseperiments bilden den Ergebnisraum Ω des Zufallseperiments. Werden bestimmte Ergebnisse zusammengefasst, so erhält man ein Ereignis E. Jedes Ereignis E ist also eine Teilmenge des Ergebnisraums Ω. Die Ergebnisse, die zum Ereignis E gehören, heißen für das Ereignis E günstige Ergebnisse. Ein Ereignis, für das alle Ergebnisse des Zufallseperiments günstig sind, heißt sicheres Ereignis. Ein Ereignis, das beim zugrundeliegenden Zufallseperiment nicht eintreten kann, für das also kein Ergebnis günstig ist, heißt unmögliches Ereignis. Alle Ergebnisse, die für ein Ereignis E nicht günstig sind, bilden das Gegenereignis E. Soll das Ereignis E und zugleich das Ereignis E eintreten, so schreibt man E E (sprich: E geschnitten E). Soll das Ereignis E oder das Ereignis E oder beide Ereignisse eintreten, so schreibt man E E (sprich: E vereinigt mit E ). Beispiel Ein Würfel wird zwei Mal geworfen und die Summe der geworfenen Augenzahlen gebildet. Ergebnisraum: Ω {; ; ;...; } Ereignisse: E: Die Augensumme ist gerade; E {; ; ; 8; 0; } E: Die Augensumme ist prim; E {; ; 5; 7; } E: Die Augensumme ist ; E { }; (unmögliches Ereignis) Das Gegenereignis von E ist E {; 5; 7; 9; }, in Worten: Die Augensumme ist ungerade. E E {}, in Worten: Die Augensumme ist eine gerade Primzahl, also zwei. E E {; ; ; 5; ; 7; 8; 0; ; }, in Worten: Die Augensumme ist prim oder gerade. Laplace-Eperimente Ein Zufallseperiment, bei dem alle Ergebnisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintreten, heißt Laplace-Eperiment. Bei einem solchen Eperiment kann die Wahrscheinlichkeit P(E) des Ereignisses E berechnet werden: Anzahl der für E günstigen Ergebnisse E P (E) Anzahl aller möglichen Ergebnisse Ω Die Anzahl der für E günstigen Ergebnisse und die Anzahl aller möglichen Ergebnisse lässt sich oft durch Abzählen mit Hilfe des Zählprinzips ermitteln. Beispiele Werfen einer Münze. Die Ergebnisse Wappen und Zahl treten jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 ein. Werfen eines Würfels. Jedes Ergebnis tritt mit der Wahrscheinlichkeit ein. Zum Ereignis E: Die Augenzahl ist prim gehört die Menge E {; ; 5}. Es besitzt also die Wahrscheinlichkeit P(E). Drehen eines Glücksrades mit gleich großen Sektoren. Ziehen von Kugeln aus einer Urne. Zählprinzip Eperimente, bei denen mehreren Zufallseperimenten nacheinander durchgeführt werden, heißen mehrstufige Zufallseperimente. Bei einem mehrstufigen Zufallseperiment ist die Gesamtzahl der verschiedenen Möglichkeiten gleich dem Produkt der Anzahlen der verschiedenen Möglichkeiten auf den einzelnen Stufen.

9 Beispiele In einer Urne befinden sich Kugeln, die mit den Buchstaben A, M bzw. O beschriftet sind. a) Die Kugeln werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen und hintereinander gelegt. Bei ersten Zug können drei verschiedene Kugeln gezogen werden, bei zweiten Zug nur noch zwei. Beim dritten Zug ist nur noch eine Kugel vorhanden. Insgesamt gibt es also verschiedene Ziehungsergebnisse. Da alle Ziehungsergebnisse gleichwahrscheinlich sind, tritt das Ziehungsergebnis OMA mit der Wahrscheinlichkeit ein. b) Drei Kugeln werden nacheinander mit Zurücklegen gezogen und hintereinander gelegt. Diesmal können bei jedem Zug drei verschiedene Kugeln gezogen werden. Es gibt also insgesamt 7 verschiedene Ziehungsergebnisse. Das Ziehungsergebnis OMA tritt in diesem Fall nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 7 ein.

10 GM 8.7 Bruchterme, Bruchgleichungen und Potenzgesetze Bruchterme Ein Bruch, in dessen Nenner eine Variable steht, heißt Bruchterm. a) Bestimmung der Definitionsmenge + ist nicht definiert, falls 0, also falls. Die Zahl ist eine Definitionslücke. Die Definitionsmenge lautet D Q \ {} (sprich: Menge der rationalen Zahlen ohne die Zahl. ) Mit Bruchtermen kann man ebenso rechnen, wie mit Brüchen. (vgl. GM. und GM.5) b) Erweitern und Kürzen von Bruchtermen Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl oder dem gleichen Term multipliziert. 5²y 5²y Erweitere auf den Nenner 0³y. Man muss mit 5²y erweitern: 5²y 0³ y Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl oder den gleichen Term dividiert. Vor dem Kürzen muss man Zähler und Nenner ggf. durch Ausklammern faktorisieren. ³ ²y + + ²y y² ² y ( + y) ( + y) y c) Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen Gleichnamige Bruchterme werden addiert (subtrahiert), indem man ihre Zähler addiert (subtrahiert) und den gemeinsamen Nenner beibehält. Ungleichnamige Brüche müssen zunächst auf den Hauptnenner erweitert werden. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ² + ( ) Beachte: Beim Subtrahieren von Bruchtermen muss um den Zähler des Subtrahenden eine Klammer gesetzt werden, wenn man die Differenz der Zähler bildet! In der Regel ist es nicht sinnvoll Produkte im Nenner auszumultiplizieren! d) Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen Bruchterme werden multipliziert, indem man das Produkt ihrer Zähler durch das Produkt ihrer Nenner dividiert. ² ( ) ² ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 Durch einen Bruchterm wird dividiert, indem man mit seinem Kehrbruch multipliziert. ² : 8 8 ( ) 8 ( )( )

11 Bruchgleichungen Gleichungen, bei denen die Variable im Nenner eines Bruchs auftritt, heißen Bruchgleichungen. Vor dem Lösen einer Bruchgleichungen bestimmt man zunächst die Definitionsmenge. Der erste Schritt beim Lösen einer Bruchgleichung besteht darin, auf beiden Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner zu multiplizieren. Nach dieser Umformung erhält man stets eine Gleichung ohne Bruchterme. Bruchgleichungen entstehen u.a. bei der Bestimmung von Schnittstellen gebrochenrationaler Funktionen. Beispiel: Gegeben sind die Funktionen f () und g (). Bestimme den Schnittpunkt ihrer Graphen. Zur Bestimmung der Schnittstelle, also der -Koordinate des Schnittpunkts, setzt man die Funktionsterme gleich. Man erhält eine Bruchgleichung: ( ) D Q \ {0 ; } ( ) Zur Bestimmung der y-koordinate des Schnittpunkts muss man die berechnete -Koordinate in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen : f( ) Der Schnittpunkt der beiden Graphen ist S( ). Potenzen mit ganzzahligen Eponenten Ist n eine natürliche Zahl, so bedeutet a n a a a... a (Produkt mit n Faktoren vom Wert a) n und a. n a Mit dieser Festlegung gelten folgende Potenzgesetze:. Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert (dividiert), indem man ihre Eponenten addiert (subtrahiert): n n m n+ m a n m a a a a m a. Potenzen mit gleichem Eponenten werden multipliziert (dividiert), indem man die Basen multipliziert (dividiert) und den gemeinsamen Eponenten beibehält: a n b n ( ab) n a a n b b. Eine Potenz wird potenziert, indem man die Eponenten multipliziert: n m n m ( a ) a n n Die Potenzgesetze gelten hier für rationale Basen und ganzzahlige Eponenten. Dabei ist zu beachten, dass im Nenner nicht Null stehen darf. Auch die Basis einer Potenz mit negativem Eponenten darf nicht Null sein.

12 GM 8.8 Strahlensätze und Ähnlichkeit. Strahlensatz Werden zwei Geraden mit dem gemeinsamen Punkt Z von zwei zueinander parallelen Geraden g und h geschnitten, dann verhalten sich die Längen zweier Abschnitte auf der einen Geraden wie die Längen der entsprechenden Abschnitte auf der anderen Geraden.. Strahlensatz Werden zwei Geraden mit dem gemeinsamen Punkt Z von zwei zueinander parallelen Geraden g und h geschnitten, dann verhalten sich die Längen der Parallelstrecken wie die Längen der vom Punkt Z bis zu ihnen hin verlaufenden Abschnitte auf der einen bzw. der anderen Geraden. B A B B Z A A Z B g A g h h Falls g und h zueinander parallel sind, gilt demnach in den abgebildeten Figuren: ZA ZB ZA ZB ZA ' ZB'. und und ZA' ZB' AA' BB' AA' BB'. AB ZA AB ZB und A'B' ZA' A'B' ZB' Es gilt auch die Umkehrung des. Strahlensatzes: Wenn zwei Geraden mit gemeinsamem Punkt Z von zwei Geraden g und h so geschnitten werden, dass das Verhältnis der Längen zweier Abschnitte auf der einen Geraden gleich dem Verhältnis der Längen der entsprechenden Abschnitte auf der anderen Geraden ist, dann sind die Geraden g und h zueinander parallel. Die Umkehrung des. Strahlensatzes gilt dagegen nicht. Wenn eine Figur im Maßstab k (k Q + \{}) vergrößert bzw. verkleinert wird, so nennt man die Bildfigur und die Originalfigur zueinander ähnlich. Der Maßstab k heißt Ähnlichkeitsfaktor. Für zueinander ähnliche Figuren gilt: Einander entsprechende Winkel sind gleich groß. Längenverhältnisse einander entsprechender Strecken sind stets gleich. Ähnlichkeitssätze für Dreiecke: Wenn zwei Dreiecke in allen Längenverhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen, dann sind sie zueinander ähnlich. (S:S:S-Satz) Wenn zwei Dreiecke in den Größen zweier (und damit aller drei) Innenwinkel übereinstimmen, dann sind sie zueinander ähnlich. (WW-Satz) 5

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