Berechnungen$am$Kreis$!!! Kreisumfang$

Transkript

1 GrundwissenimFachMathematik 8/1 BerechnungenamKreis Kreisumfang U Kreis = d π = 2r π mitkreiszahl π 3,14 Kreisfläche A Kreis = r 2 π Bsp.:FüreinenKreismitdemRadius r = 3 cm unddamiteinemdurchmesser d = 6 cm gilt: U =6cm π 6 cm 3,14 18,8 cm A = ( 3cm) 2 π 9cm 2 3,14 28,3cm 2 oder U =2 3cm π 6 cm 3,14 18,8 cm GrundwissenimFachMathematik 8/2 FunktionenI Definition Eine eindeutige Zuordnung f : x y, die jedem Wert x genau) einen Wert y zuordnet, heißt Funktionf. WirkungsweiseeinerFunktion DieMengederZahlen,diefürxeingesetztwerdendürfen,heißtDefinitionsmengeDf. DieMengederZahlen,diezugeordnetwerden,heißtWertemengeWf.

2 GrundwissenimFachMathematik 8/3 FunktionenII FunktionenkönnenaufverschiedeneArtenbeschriebenwerden. Bsp.: Text Graph EineKerzeistanfangs12cmlangundwirdin jederstunde2cmkürzer.dabeiistxdie Brenndauer(inh)undydieKerzenlänge(in cm). Wertetabelle (Quelle: x y Funktionsgleichung y =12 2x GrundwissenimFachMathematik 8/4 FunktionenIII Bsp.: f : x 2x +1 Funktionsgleichung: y = 2x +1 DurcheinenFunktionsterm f ( x) wirdjedem WertxgenaueinTermwertyzugeordnet. Funktionsterm: 2x +1 f ( x) DervonxabhängigeWertyheißtFunktionswert DemxWWert 3wirdderyWWert 5 undwirdauchmit f x ( ) bezeichnet. zugeordnet: ( ) = 2 ( 3) +1= 6 +1= 5 f 3 EinPunkt P( x P / y P ) liegtaufdemgraphender Liegt P 1, 5 / 3 Funktionf(kurzGf),wenndieKoordinatenvonP P G f,da: diefunktionsgleichung y = f ( x) erfüllen. f 1, 5 ( ) aufgf? ( ) = 2 1, 5+1= 3+1= 4 aber : y P = 3

3 GrundwissenimFachMathematik 8/5 ProportionalitätI Gehört zum nwfachen Wert der einen Größe der nwfache Wert der anderen Größe, so sind die beidengrößen(direkt)proportionalzueinander. Bsp.: Text Graph ZusammenhangzwischenBenzinmengex(in ) undpreisy(in ), z.b.kostet1literbenzin1,65. Halbgerade,dieim Ursprungbeginnt (Quelle: Wertetabelle x y 1,65 3,30 4,95 6,60 Funktionsgleichung y =1, 65 x da y x 1, 65 = 1 = 3,30 =... =1, 65 ("quotientengleich") 2 GrundwissenimFachMathematik 8/6 ProportionalitätII Gehört zum nwfachen Wert der einen Größe der 1 Wfache Wert der anderen Größe, so sind die n beidengrößenindirektproportionalzueinander. Bsp.: Text Graph ZusammenhangzwischenAnzahlderArbeiterx undderarbeitsdauery(inh), z.b.benötigt1arbeiter12stunden. Hyperbel Wertetabelle x y (Quelle: Funktionsgleichung y = 12 x da x y =1 12 = 2 6 =... =12 ("produktgleich")

4 GrundwissenimFachMathematik 8/7 LineareFunktionI Eine Funktion mit der Funktionsgleichung der Form y = m x + t (mit m, t Q ) heißt lineare Funktion. Ihr Graph ist eine Gerade mit der Steigung m und dem ywachsenabschnitt t, d.h. der SchnittpunktmitderyWAchsehatdieKoordinaten 0 / t ( ). Bsp.: y = 3 x 1 Steigungsdreieck Die xwkoordinate des Schnittpunktes eines Graphen Gf mit der xwachse heißt Nullstelle derfunktionf. Bsp.: 3x 1= 0 x = 1 3 GrundwissenimFachMathematik 8/8 LineareFunktionII RechnerischeBestimmungderGleichungeinerGeradendurchzweigegebenePunkte P1(x1/y1) undp2(x2/y2) Schritt1: Bsp.:GeradedurchdiePunkte A 1/1, 5 ( ) AllgemeineForm: y = m x + t und B 6 / 1 Schritt2: Esgilt: m = y 2 y 1 m = 1 1, 5 x 2 x = 2, 5 = 0, 5 5 Schritt3: AuflösenderGleichung y 1 = m x 1 + t y = 0, 5 x + t nacht 1= 0, t t = 2 y = 0, 5 x + 2 ( )

5 GrundwissenimFachMathematik 8/9 LineareUngleichungen Beim Lösen lineare Ungleichungen kann man die von den linearen Gleichungen bekannten Äquivalenzumformungenverwenden miteinerausnahme: Beim Multiplizieren oder Dividieren einer Ungleichung mit einer oder durch eine negative(n) ZahlmussmandasUngleichheitszeichenumkehren. Bsp.: 5x 7( x + 4) 4x 10 5x 7x 28 4x 10 2x 28 4x 10 4x x 18 : ( 6) x 3 LösungsmengeinIntervallschreibweise: IL = ] ; 3] GrundwissenimFachMathematik 8/10 LinearesGleichungssystemmitzweiVariablen(I) Zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Bsp.: ( I) 2x + y = 5 ( II) x y =1 EinZahlenpaar,dasjedeGleichungeinesGleichungssystemsmitzweiVariablenerfüllt,heißt LösungdiesesGleichsystems. LösungmitdemGleichsetzverfahren: ( I) 2x + y = 5 y = 2x + 5 GraphischeLösung: ( II) x y =1 y = x 1 (*) 2x + 5 = x 1 x = 2 in(*)eingesetzt: 6 = 3x y = 2 1=1 2 = x IL = 2 /1 {( )} IL = {( 2 /1)}

6 GrundwissenimFachMathematik 8/11 LinearesGleichungssystemmitzweiVariablen(II) Bsp.: ( I) 2x + y = 5 ( II) x y =1 LösungmitdemEinsetzverfahren: ( I) 2x + y = 5 ( II) x y =1 y = x 1 (*) (*)in I ( ) : 2x + ( x 1) = 5 3x 1= 5 x = 2 in(*)eingesetzt: x = 2 y = 2 1=1 {( )} IL = 2 /1 LösungmitdemAdditionsverfahren: I ( ) 2x + y = 5 ( II) x y =1 ( I) + ( II) 3x = 6 x = 2 x = 2 in(*)eingesetzt: y = 2 1=1 {( )} IL = 2 /1 GrundwissenimFachMathematik 8/12 GebrochenZrationaleFunktionen Funktionen,derenFunktionstermeinBruchtermist,nenntmangebrochenWrationaleFunktionen. DadieVariableimNennervorkommt,dürfendieZahlen,fürdiederNennernullwird,nicht eingesetztwerdenundgehörensomitnichtzurdefinitionsmenged. Beispiele: f x ( ) = 1 x mitd f = Q \ 0 g( x) = x mitd = Q \ 1 g h( x) = x2 +x 0,5x+2 mitd =Q \ 4 h { } GraphderFunktiong: { } { } DerGraphGgnähertsichindiesemBeispiel derwaagrechtenasymptotemitdergleichung y = 2 unddersenkrechtenasymptotemitder Gleichung x = 1beliebignahean. IhrGraph isteine Hyperbel.

7 GrundwissenimFachMathematik 8/13 RechnenmitBruchtermenI Erweitern MultiplizierenvonZählerundNennermit demselbenfaktor 1 Bsp.: 1 x = 1 ( 2x) ( 1 x) ( 2x) = 2x 2x + 2x = 2 2x 2x 2 2x AddierenundSubtrahieren Kürzen DividierendesZählersundNennersdurch denselbenterm Bsp.: 9t 3t 6t 2 = Vorgehensweise: Bsp.: 1 1 y y = 1. ErweiterungaufeinengemeinsamenNenner 2. Additionbzw.SubtraktionderZähler 3. Vereinfachung(soweitmöglich) 3t 3 3t ( 1 2t) = 3 1 2t Tipp: ZuerstZählerundNenner faktorisieren y y 1 y y = y 1+ y = y 2y 1 y GrundwissenimFachMathematik 8/14 RechnenmitBruchtermenII Multiplikation MultiplikationderZählerundMultiplikationderNenner a 3 Bsp.: a 2 3a 2a a + 3 = ( a 3) 2a ( a 2 3a) ( a + 3) = ( a 3) 2a a ( a 3) a + 3 Division MultiplikationmitdemKehrbruch x 3 Bsp.: x + 2 : 3 x x + 2 = x 3 x + 2 x x = x 3 x + 2 x x 3 ( ) = 2 ( a + 3) ( ) = ( 1) = 1

8 GrundwissenimFachMathematik 8/15 Bruchgleichungen Vorgehensweise: Bsp.: 1 x = 2 6 x 1. Definitionsmengebestimmen D= Q \{ 0;6} 2. MitdemHauptnennermultiplizieren 3. Kürzen 6 x = 2x 1 x = 2 6 x x 6 x 1 x ( 6 x) = 2 x ( 6 x ) x 6 x ( ) 4. BruchtermfreieGleichunglösen 6 x = 2x 2x 6 3x = 6 :( 3) x = 2 5. Lösungsmengeangebenunddabeiauf diedefinitionsmengeachten x = 2 D IL = { 2} GrundwissenimFachMathematik 8/16 PotenzenmitganzzahligenExponenten Füra Q\ { 0}, n IN gilt: a n = 1 a n unda0 =1 AllebisherbekanntenRechenregelnfürPotenzen (siehegw7/11)behaltenihrgültigkeit. Beispiele: Beispiele: a 2 a 3 = 1 a = a 1 b 3 b 5 b 3 = b3 5 b 2 = 3 b b = 3 b 2 b 3 = b 2+3 = b 1 2. Regel: Potenzieren von Produkten Beispiele: Anwendung:Gleitkommadarstellung ( 3b) (wissenschaftlicheschreibweisesehr 2 = 3 2 b 2 = 9b 2 ( 2x) 4 = ( 2) 4 x 4 =16x 4 großer/kleinerzahlen) Grundwissen Mathematik 7. Klasse 7 / 11 Rechenregeln für Potenzen 1. Regel: gleiche Basis = Regel: Potenzieren von Potenzen Beispiele: = 2, = 2, ( a 2 ) 3 = ( a a) ( a a) ( a a) = a 2 3 = a 6 ( 5 3 ) 3 = = 5 9 0,00041= 4,1 0,0001= 4,1 10 4

9 GrundwissenimFachMathematik 8/17 Strahlensätze WerdenzweiGeraden,diesichineinemPunktZschneiden,vonzweiParallelengeschnitten,sogilt z.b.: ZA ZA' = ZB ZB' ZA ZA' = AB A'B' (1.Strahlensatz) (2.Strahlensatz) VWFigur XWFigur GrundwissenimFachMathematik 8/18 Ähnlichkeit Zwei Figuren F und G sind zueinander ähnlich (kurz: F G ), wenn man F maßstäblich so verkleinern/vergrößernkann,dassdasbildvonf zugkongruentist(siehegw7/13). ÄhnlichkeitssätzefürDreiecke: Dreieckesindähnlich,wennsie inzweiwinkelnübereinstimmenoder imverhältnisihrerseitenübereinstimmen. Beispiel: A1B1C1 A2B2C2 Begründung: α 1 = α 2 undβ 1 =β 2 undsomitauch γ 1 = γ 2 (IWSimDreieck) a 1 = b 1 = c 1 a 2 b 2 c 2

10 GrundwissenimFachMathematik 8/19 Zufallsexperimente Beispiel: EinExperiment,beidemdereinzelne Ausgangnichtvorhersehbarist,heißt einmaligeswürfeln Zufallsexperiment. JedermöglicheAusgangdesZufallsexW perimentsheißtergebnis. 1,2,3,4,5,6 DieMengeΩallermöglichenErgebnisse eineszufallsexperimentsheißt Ergebnisraum. Ω={1,2,3,4,5,6} JedeTeilmengevon ΩheißtEreignis. EreignisA: höchstensaugenzahl4 A={1,2,3,4} JedesEreignishateinGegenereignis. EsbestehtausdenErgebnissenvon Ω,dienichtzumEreignisgehören. Gegenereignis A: mindestensaugenzahl5 A={5,6} GrundwissenimFachMathematik 8/20 LaplaceZExperimente Ein Zufallsexperiment, bei dem jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist, bezeichnet man als LaplaceZExperiment. Beispiel: Bei einem normalen Würfel geht man aufgrund seiner Symmetrie davon aus, dass alle Ergebnissegleichwahrscheinlichsind,alsojedesErgebnismitderWahrscheinlichkeit 1 6 eintritt: P( 1) = P( 2) = P( 3) = P( 4) = P( 5) = P( 6) = 1 6 FürdieWahrscheinlichkeiteinesEreignissesAbeieinemLaplaceWExperimentgilt: P( A) = "Anzahl der günstigen Ergebnisse" "Anzahl aller möglichen Ergebnisse" Beispiel: WahrscheinlichkeitfürdasEreignisA: geradeaugenzahl,also A = { 2, 4, 6} P( A) = 3 6

11 GrundwissenimFachMathematik 8/21 MehrstufigeZufallsexperimenteI Ein Zufallsexperiment heißt mehrstufiges Zufallsexperiment, wenn es aus mehreren Schritten besteht. Mehrstufige Zufallsexperimente kann man mit Hilfe eines Baumdiagramms(siehe rechts unten) darstellen. Beispiel: ZweimaligesWerfeneinerMünze(K=Kopf,Z=Zahl) Ω = { KK, KZ, ZK, ZZ} P KK ( ) = 1 4 dagilt: Anzahl der günstigen Ergebnisse Anzahl aller möglichen Ergebnisse = KK KK,KZ, ZK, ZZ GrundwissenimFachMathematik 8/22 MehrstufigeZufallsexperimenteII Die Wahrscheinlichkeiten mehrstufiger Zufallsexperimente kann man auch mit Hilfe des Zählprinzipsbestimmen: Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment erhält man die Anzahl der möglichen Ergebnisse, indemmandieanzahldermöglichkeitendereinzelnenstufenmiteinandermultipliziert. Beispiel: DreimaligesWürfeln Ω = 111, 112, 113,..., 666 { } P( 3 gleiche Augenzahlen) = P( 111, 222, 333, 444, 555, 666) = P( nur Augenzahlen 5 und 6) = P( 555, 556,..., 666) = = = 1 36