Mathematik Einführungsphase. Plenum Lineare Funktionen. Lineare Funktionen. Eine kurze Wiederholung

Transkript

1 Lineare Funktionen Eine kurze Wiederholung

2 Mathematik Einführungsphase Eine lineare Funktion ist zunächst einmal eine Funktion, d.h. eine eindeutige Zuordnung, bei der jedem x-wert aus einem Definitionsbereich genau ein y-wert aus einem Wertebereich zugeordnet wird. Für lineare Funktionen gilt gegenüber nichtlinearen Funktionen: Die Funktionsgleichung lässt sich auf folgende Form bringen: Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade

3 Mathematik Einführungsphase Beispiel: Ein Mietauto kostet 75 für ein Wochenende plus 0,50 pro gefahrenen Kilometer. Es handelt sich um eine Funktion bzw. um eine eindeutige Zuordnung, da jedem x-wert (Fahrstrecke) genau ein y-wert (Mietpreis) zugeordnet wird. Werden z.b. 100 km gefahren, so müssen = ( ) = 125 gezahlt werden. Beträgt die Fahrstrecke 25 km, so fallen Kosten in Höhe von = (12, ) = 87,50 an.

4 Mathematik Einführungsphase Also ist es eine lineare Funktion da sich die Zuordnung durch folgende Funktionsgleichung beschreiben lässt: m = 0,5 b = 75 In einer Wertetabelle können für verschiedene x-werte die zugeordneten y-werte aufgeführt werden: x [km] y [ ] 75 87, , x Jedes xy-paar kann als Punkt (x y) in ein Koordinatensystem eingetragen werden. Bei linearen Funktionen ergibt sich als Graph eine Gerade.

5 x [km] x y [ ] 75 87, , A(0 75) C(50 100) B(25 87,5) D(75 112,5) Mietpreis y [ ] g E( ) F( ) P(x y) g, falls: P Liegt z.b. P(85 120) auf der Geraden g? Durch Einsetzen erhält man: Also liegt P nicht auf g Fahrstrecke x [km]

6 b ist der y-achsenabschnitt m gibt die Steigung der Geraden g an g Die Steigung m auf der Strecke BF mit B(25 87,5) und F( ) beträgt:

7 Es spielt keine Rolle, auf welcher Strecke d.h. mit welchen 2 Punkten P 1 (x 1 y 1 ) und P 2 (x 2 y 2 ) der Geraden die Steigung berechnet wird. Das sogenannte Steigungsdreieck kann überall eingezeichnet werden. Allgemein gilt: Wählt man z.b. die Punkte C(50 100) und E( ) ergibt sich für m:

8 Beispielaufgaben mit linearen Wie sicher fühlst du dich bei der Bearbeitung der Aufgabe? 1. Ich kann die Gleichung einer Geraden angeben, deren Graph in einem Koordinatensystem abgebildet ist. 2. Ich kann die Gleichung einer Geraden in der Form y = mx+b bestimmen, wenn die Steigung und ein Punkt auf der Geraden gegeben ist o - Aufgaben zum Üben S. 7 Nr.1 S. / Nr. 2 Geübt Funktionen 3. Ich kann die Gleichung einer Geraden in der Form y = mx+b bestimmen, wenn zwei Punkte gegeben sind, die auf der Geraden liegen. S. 8 Nr. 3 Siehe auch Arbeitsblatt Lineare Funktionen Ich kann zu einer gegebenen Geradengleichung der Form y = mx+b die zugehörige Gerade in ein Koordinatensystem einzeichnen. 5. Ich kann die Steigung einer Geraden bestimmen, wenn der Steigungswinkel gegeben ist, und umgekehrt. 6. Ich kann lineare Gleichungen mit einer Unbekannten lösen. 7. Ich kann den Schnittpunkt von zwei Geraden bestimmen, die in der Form y = mx+b gegeben sind. S. 8 Nr. 4 S. 9 Nr. 5 S. 9 Nr. 6 S. 10 Nr Ich kann lineare Funktionen aufstellen, die Anwendungskontexte beschreiben und mithilfe der Funktionsgleichungen Probleme im Anwendungskontext lösen. S. 11 Nr. 8

9 1. Aufgabentyp: gegeben: Graph im KOS gesucht: Funktionsgleichung 1. Möglichkeit: b und m ablesen Gerade a: b = - 4 nach oben gehen nach rechts gehen Also:

10 1. Aufgabentyp: gegeben: Graph im KOS gesucht: Funktionsgleichung 1. Möglichkeit: b und m ablesen Gerade c: b = 3 nach unten gehen Also: nach rechts gehen

11 1. Aufgabentyp: gegeben: Graph im KOS gesucht: Funktionsgleichung 2. Möglichkeit: Sinnvoll, wenn man m und b nicht gut ablesen kann (hier Gerade b) 2 Punkte ablesen, dann die Steigung m berechnen, dann berechnen wie in Aufgabentyp 3 erklärt (s.u.)

12 2. Aufgabentyp: gegeben: Steigung m und ein Punkt P auf der Geraden gesucht: Funktionsgleichung Beispiel: P(3 1) Lösungsweg: m und die Koordinaten von P in die Gleichung y = mx + b einsetzen und Gleichung nach b umstellen. Ergibt hier: Also: ist die gesuchte Funktionsgleichung

13 3. Aufgabentyp: gegeben: Zwei Punkte A und B auf der Geraden gesucht: Funktionsgleichung Beispiel: A( 3-1) B(12-6) Lösungsweg: m berechnen mit der Formel Anschließend m und die Koordinaten eines Punktes A oder B in die Gleichung y = mx + b einsetzen und nach b umstellen (wie 2. Aufgabentyp). Ergibt hier: ====> Also: ist die gesuchte Funktionsgleichung

14 4. Aufgabentyp: gegeben: Funktionsgleichung Aufgabe: Gerade in KOS zeichnen 1. Möglichkeit: Man berechnet die Koordinaten dreier Punkte und überträgt die Punkte in ein Koordinatensystem (beliebiges x einsetzen, f(x) berechnen). Diese Möglichkeit ist insbesondere dann sinnvoll, wenn m und b Dezimalzahlen mit mehreren Nachkommastellen sind. (z.b. y = 3,112 x 2,045)

15 4. Aufgabentyp: gegeben: Funktionsgleichung Aufgabe: Gerade in KOS zeichnen 2. Möglichkeit: Man markiert den y-achsenabschnitt b auf der y-achse und zeichnet von dort einige Steigungsdreiecke ein mit der angegebenen Steigung m. Beispiel: Die so gewonnenen Punkte verbinden.

16 5. Aufgabentyp: gegeben: Steigung m einer Geraden gesucht: Steigungswinkel der Geraden (oder umgekehrt) Wir wissen bereits: Das gleiche gilt für den Tangens von im Steigungsdreieck, denn Daher gilt die Formel: und umgestellt:

17 5. Aufgabentyp: gegeben: Steigung m einer Geraden gesucht: Steigungswinkel der Geraden (oder umgekehrt) Steigungswinkel tan -1 (0,5) = 26,6 tan -1 (-2) = - 63,4 Steigung m tan(30 ) = 0,58 tan(45 ) = 1 0,5-2

18 6. Aufgabentyp: Umstellen von linearen Gleichungen thematisieren wir hier nicht mehr. Bei Problemen kommt in die Sprechstunden der Kurslehrer aus dem EP-Jahrgang.

19 7. Aufgabentyp: gegeben: Zwei Geradengleichungen gesucht: Schnittpunkt S der beiden Geraden Beispiel: Lösungsidee: Funktionsterme gleichsetzen und nach x umstellen. Die Lösung für x in eine der Funktionsgleichungen einsetzen und nach y umstellen.

20 7. Aufgabentyp: gegeben: Zwei Geradengleichungen gesucht: Schnittpunkt S der beiden Geraden Beispiel: Ergibt hier: Einsetzen in a: Also: S( )

21 8. Aufgabentyp: Lineare Funktionen im Anwendungskontext Tipps: Übung macht den Meister! Skizze anfertigen; Graphen skizzieren. Gegebene Größen in die Skizze/den Graphen einzeichnen. Beispiele/einzelne Punkte oder die Steigung = Änderungsrate bestimmen und so auf eines der oben genannte bekannten Probleme zurückführen! Viel Erfolg!!!

22 Ob ich das alles behalten kann??? Du kannst es jederzeit auf unserer Homepage nachsehen

23 Aufgaben : Arbeitsblätter Lineare Funktionen AB 02 und AB 03 Zwei nette Filme zum Thema im Netz: &feature=endscreen