1 Koordinatensystem. Grundlagen der Funktionentheorie Lineare Funktionen. Schuljahr 2016/2017. Inhalt

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1 Berufskolleg Marienschule Lippstadt Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt - Schuljahr 06/07 Kurs: Mathematik AHR Kurslehrer: Langenbach Grundlagen der Funktionentheorie Lineare Funktionen Inhalt Koordinatensystem Relationen und Funktionen 6 Punktprobe bei Linearen Funktionen 7 Fehlende y-werte berechnen 7 Fehlende x-werte berechnen 8 4 Zeichnen des Graphen einer LF 8 4 Wertetabellen von LF 9 4 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen (S x und S y ) 0 4 Schnittpunkte mit der y-achse (S y ) bestimmen 4 Schnittpunkte mit der x-achse (S x ) bestimmen 4 Funktionsgraph einer LF mit Hilfe von S x und S y zeichnen 4 Lineare Funktionen mit Hilfe von m und b zeichnen 4 4 Die Steigung m einer LF 4 4 Zeichnen des Graphen einer LF mit Hilfe von m und b 7 Funktionsgleichungen von LF bestimmen 8 Ein Punkt P und der y-achsenabschnitt b gegeben 8 Ein Punkt P und die Steigung m gegeben 9 Zwei Punkte P und P gegeben 9 Steigung m anhand von zwei Punkten P und P bestimmen 0 Funktionsgleichung eine LF anhand von zwei Punkten P und P bestimmen (Beispiel) Koordinatensystem Wird im Folgenden von einem Koordinatensystem (ohne weitere Angaben) gesprochen, so meinen wir damit ein rechtwinkliges Koordinatensystem In der Mathematik sprechen wir auch von einem kartesischen Koordinatensystem Diese Bezeichnung geht auf den französischen Philosophen und Mathematiker René Descartes zurück (96-60) Wir verwenden in der Funktionentheorie das Koordinatensystem zur graphischen Veranschaulichung von Funktionen Dazu werden einzelne Punkte des Graphen einer Funktion, die durch die Angabe zweier Koordinaten in der zweidimensionalen Ebene eindeutig bestimmt sind, in das Koordinatensystem eingezeichnet und miteinander verbunden In der zweidimensionalen Ebene sind die Koordinaten als Abstände von den zwei Achsen definiert Werden die Achsen als x-achse und y-achse (bzw wie in Abb6 mit f(x)-achse) bezeichnet, so gibt die x-koordinate eines Punktes seinen Abstand von der y-achse an und umgekehrt Hat ein Punkt P die x-koordinate und die y-koordinate (kurz: x = und y = ), so schreiben wir kurz: P ( / ) Seine Position ist durch das Zahlenpaar (/) eindeutig festgelegt Der Punkt P kann vom Nullpunkt aus erreicht werden, indem zuerst entlang der x Achse Einheiten nach rechts (d h in positiver x-richtung) und dann parallel zur y Achse Einheiten nach oben (d h in positiver y-richtung) gegangen wird Hat der Punkt negative Koordinaten, so wird entsprechend nach links bzw nach unten gegangen 4 Funktionsgleichung einer parallelen Geraden bestimmen Funktionsgleichung einer orthogonalen Geraden bestimmen 6 Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen 6 7 Anwendungsaufgaben (Textaufgaben) 8

2 Relationen und Funktionen Sowohl Relation als auch Funktion sind Bezeichnungen für Zuordnungen zwischen zwei Mengen Sie unterscheiden sich jedoch in Bezug auf die Eindeutigkeit dieser Zuordnung, sowie der Vollständigkeit mit der zumindest die erste Menge erfasst sein muss Definition (Relation) Eine Zuordnung zwischen Elementen zweier Mengen A und B wird Relation genannt Die Zuordnung kann dabei ganz beliebig erfolgen, wobei nicht alle Elemente der beiden Mengen beteiligt sein müssen Aus dem Alltag kennen wir Zuordnungen: Einem Produkt wird ein Preis zugeordnet, einem Kind eine Schulklasse, einem Spielzeug eine Schublade, einem Kleidungsstück eine Farbe Zuordnungen ordnen Elementen einer Definitionsmenge ein Element einer Wertemenge zu Wertetabelle Eine Wertetabelle ist eine Tabelle mit zwei Spalten, links stehen Elemente der Definitionsmenge, rechts die zugeordneten Elemente der Wertemenge Beispiel: Der Marktstand; ein kg Äpfel soll,0 kosten Paarmenge Menge in kg Preis in,0,, 0,7,4 7,8 6, 0,,7 Eine Menge von Paaren, in denen jeweils ein Element der Definitionsmenge und das zugehörige Element der Wertemenge sind Beispiel: Der Laden, zb ein Drogeriefachmarkt Die Paarmenge könnte sein: {(Deo-Roller,49 ); (Handcreme,79 ); (Waschmittel,9 ); (Lippenstift,79 ); } Beispiele: Zuordnung Definitionsmenge Wertemenge Ein Ladenbesitzer ordnet seinen Produkten Preise zu Kinder sind Mitglied in verschiedenen Vereinen Alle Produkte im Laden Eine Gruppe von Kindern Alle Preise, die vorkommen Die Vereine der Stadt Pfeilbild Definitions- und Wertemenge werden als Blasen dargestellt und die Zuordnung mit Hilfe von Pfeilen veranschaulicht Beispiel: Kinderzimmer aufräumen LKW Bagger Legostein Stoffhund Bilderbuch Teddy Auto- Legokiste Bücherregal Stofftier- Kinderzimmer aufräumen Am Marktstand wird der Preis für Äpfel nach Gewicht berechnet Alle Spielzeuge im Raum Alle möglichen Mengen Schubladen, Regalfächer, Kisten Die Preise, die sich aus der Menge und dem kg- Preis berechnen Koordinatensystem Enthalten sowohl Definitions- als auch Wertemenge Zahlen, so ist die Darstellung in einem Koordinatensystem möglich Auf der waagerechten Achse (x-achse) werden die Elemente der Definitionsmenge, auf der senkrechten (y-achse) die der Wertemenge eingetragen Zahlen wird jeweils das Doppelte ihres Wertes zugeordnet Kleidungsstücken werden ihre Farben zugeordnet Alle reellen Zahlen IR Alle Kleider einer Person Alle reellen Zahlen IR Die vorkommenden Farben Beispiel: Jeder Zahl x wird das Doppelte ihres Wertes zugeordnet, man erhält eine Zahl y Zuordnungen können auf unterschiedliche Arten dargestellt werden:

3 Zu einer Zuordnung gehören also stets die Angabe einer Definitionsmenge (die Menge A), die Angabe eines Wertebereichs (die Menge B) sowie eine Zuordnungsvorschrift Während eine Relation bzw ihre Zuordnungsvorschrift nicht eindeutig formuliert sein muss, d h einem Wert x einer Menge A können durchaus zwei Werte y und y einer Menge B zugeordnet werden, so ist es bei Funktionen anders: Eine Funktion bzw ihre Funktionsvorschrift ist stets eindeutig formuliert Definition (eindeutige Zuordnung) Eine Zuordnung (Relation) ist eindeutig, wenn jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element des Wertebereichs zugeordnet wird Definition (Funktion) Eine Zuordnung (Relation) einer Menge A zur Menge B, die jedem Element x der Menge A (kurz: x A ) genau ein Element der Menge B (kurz: y B ) zuordnet, bezeichnen wir als Funktion Im Folgenden führen wir wichtige Bezeichnungen bzw Festlegungen auf, die für das Verständnis der weiteren Ausführungen wichtig sind, von uns jedoch nicht als gesonderte Definitionen gekennzeichnet werden Wird eine Funktion in einem Koordinatensystem dargestellt, so ist es üblich, die Definitionsmenge auf der x-achse und die Wertemenge auf der y-achse des Koordinatensystems [auch f(x) -Achse genannt] abzutragen Die Zuordnungsvorschrift erhalten wir in der Regel über eine Funktionsgleichung, in der mit Hilfe des Funktionsterms für jedes x aus der Definitionsmenge der zugehörige Funktionswert y berechnet wird Die Menge aller Funktionswerte bildet die Wertemenge einer Funktion Als Definitionsmenge nehmen wir im Folgenden falls nicht anders festgelegt immer die Menge der reellen Zahlen IR an Betrachten wir noch einmal die Beispiele: Ein Ladenbesitzer ordnet seinen Produkten Preise zu Kinder sind Mitglied in verschiedenen Vereinen Kinderzimmer aufräumen Am Marktstand wird der Preis für Äpfel nach Gewicht berechnet Zahlen wird jeweils das Doppelte ihres Wertes zugeordnet Kleidungsstücken werden ihre Farben zugeordnet Jedes Produkt hat nur einen Preis, daher ist dies eine eindeutige Zuordnung Ein Kind kann Mitglied in verschiedenen Vereinen sein, daher ist dies keine eindeutige Zuordnung Jedes Spielzeug hat einen eindeutigen Platz (oder sollte es zumindest haben), daher ist dies eine eindeutige Zuordnung Eine bestimmte Menge Äpfel hat einen eindeutig bestimmbaren Preis, dies ist eine eindeutige Zuordnung Verdoppelt man eine Zahl, so kommt ein eindeutiger Wert heraus, dies ist eine eindeutige Zuordnung Ein Kleidungsstück kann mehrere Farben haben, die Zuordnung ist nicht eindeutig Funktion keine Funktion Funktion Funktion Funktion keine Funktion Üblicherweise erfolgt in der Mathematik die Angabe von Zuordnungen bei Funktionen in Form von sogenannten Funktionsgleichungen, wie z B: f ( x) = x +, g( x) = x oder h( x) = x + 4x x In manchen Büchern findet sich auch die Schreibweise y = x + 7, anstatt f ( x) = x + 7 Durch Funktionsgleichungen wird jedem x eindeutig ein f(x) bzw y zugeordnet Definition (Funktionsgraph) Die Zuordnungen durch die Funktionsgleichungen ergeben geordnete Paare der Form ( x / f ( x) ), die wir als Punkte in ein Koordinatensystem eintragen Die Menge aller so ermittelten Punkte in einem Koordinatensystem wird als Graph der Funktion f ( Funktionsgraph ) bezeichnet 4

4 Anmerkungen I Man kann die Koordinaten der Paare auch als Lösungen der Funktionsgleichung auffassen D h wenn wir die Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzen, ergibt sich eine wahre Aussage II Betrachtet man die Funktion f mit der Funktionsgleichung f ( x ) = x +, so bedeutet dies, dass jeder Stelle x 0 ( x 0 IDf ) eindeutig der Funktionswert f x ) = x zugeordnet wird ( III Der Funktionswert an der Stelle x = wird bezeichnet als f () Diesen Funktionswert ermitteln wir, indem wir die statt des x in die Funktionsgleichung einsetzen: ( ) + = 0 + f ( ) = = Damit liegt der Punkt P ( / ) auf dem zugehörigen Funktionsgraphen Definition (lineare Funktion) Eine Funktion f, deren Funktionsgleichung (Zuordnungsvorschrift) in der Form f ( x ) = m x + b mit m, b IR geschrieben werden kann, heißt lineare Funktion Punktprobe bei Linearen Funktionen In diesem Abschnitt geht es darum zu ermitteln, ob ein bestimmter Punkt auf dem Graphen einer linearen Funktion f (dh auf der zugehörigen Geraden) liegt, die durch Funktion beschrieben wird Zeichnerisch ist das recht einfach: Man zeichnet die Gerade und den Punkt und sieht sofort, ob der Punkt auf der Geraden liegt zumindest ungefähr Wollen wir rechnerisch überprüfen, ob ein Punkt P (a / b ) auf dem Graphen zur Funktion f liegt, muss geprüft werden, ob der Funktionswert f (a) dieser Funktion an der Stelle a dem Wert b des Punktes P entspricht, d h ob gilt: f (a) = b Dieses Verfahren bezeichnen wir als Punktprobe Erhält man so den y-wert b des Punktes, so liegt der Punkt auf dem Funktionsgraphen Kommt ein anderer Wert heraus, so gehört P nicht zum Graphen der Funktion f Beispiel (Punktprobe) Wir wollen überprüfen, ob bei der aus dem vorherigen Beispiel schon bekannten Funktion f mit f ( x ) = 0, x + der Punkt P( /, ) auf dem Graphen von f liegt oder nicht Dazu überprüfen wir, ob f ( ) =, Es ist f ( ) = 0, ( ) + =, + =, Der Funktionswert dieser Funktion an der Stelle x = ist also nicht, Somit liegt der Punkt P ( /, ) nicht auf dem Graphen von f Als Definitionsbereich einer linearen Funktion wird meist IR (die Menge der reellen Zahlen) gewählt Satz (Funktionsgraph linearer Funktionen) Der Funktionsgraph einer linearen Funktion ist eine Gerade Anmerkungen IV Der Verlauf einer Geraden ist bereits durch zwei Punkte eindeutig festgelegt Das bedeutet, dass wir den Graphen einer linearen Funktion zeichnen können, wenn wir lediglich zwei Punkte einer Geraden kennen Dennoch werden wir, um das Verfahren zu verdeutlichen, zunächst im Folgenden mehrere Funktionswerte bestimmen V Wie sich später zeigen wird, reichen zwei Punkte aus, um die zugehörige Funktionsgleichung eindeutig bestimmen zu können Fehlende y-werte berechnen Soll nun für einen Punkt zb Q( 0 / y ) die fehlende y-koordinate so berechnet werden, dass dieser Punkt auf dem Graphen einer vorgegebenen (Linearen) Funktion f liegen soll, so verfährt man wie in der Anmerkung III auf Seite 6 beschrieben Soll also der Punkt Q( 0 / y ) auf dem Graphen der Funktion f mit f ( x ) = 0, x + aus dem obigen Beispiel liegen, dann muss für diese Funktion der Funktionswert an der Stelle x = 0 bestimmt werden, indem wir die 0 statt des x in die Funktionsgleichung einsetzen: ( 0 ) = 0, ( 0) + = 0 + = f Damit liegt dann der Punkt Q( 0 / ) auf dem zugehörigen Funktionsgraphen 6 7

5 Fehlende x-werte berechnen Soll nun für einen Punkt zb R( x / 8) die fehlende x-koordinate so berechnet werden, dass dieser Punkt auf dem Graphen einer vorgegebenen (Linearen) Funktion f liegen soll, so muss man auch hier Werte in die vorgegebene Funktionsgleichung einsetzen In diesem Fall ist der Funktionswert (y-wert) des Punktes bekannt, so dieser Wert für f( x ) eingesetzt werden kann Dadurch erhält man eine lineare Gleichung, die man nach x auflösen muss, um die gesuchte Lösung zu erhalten Beispiel (Berechnung der x-koordinate) Gegeben sei die Funktion f mit f ( x) = 0, x + und der Punkt R( x / 8) Dann gilt: y = f( x ) = 8, also 8 = 0, x + = 0, x 0, = x : 0, Die gesuchte x-koordinate ist also 0, Somit ist f ( 0, ) = 8 Folglich liegt der Punkt R( 0, / 8) auf dem Graphen der Funktion f 4 Wertetabellen von LF Eine dieser Möglichkeiten ist das Anlegen einer Wertetabelle Dazu werden zu vorgegebenen x-werten (Stellen) die zugehörigen Funktionswerte durch Einsetzen in die Funktionsgleichung ermittelt und in Form einer Tabelle erfasst In der Regel wählen wir das Intervall von bis + als Vorgabe für die zu erfassenden Werte Beispiel (Wertetabelle und Funktionsgraph) Gegeben ist die Funktion f mit f ( x ) = 0, x + Wir wählen als Ausgangsintervall die Zahlen von bis, wobei wir nur die ganzen Zahlen innerhalb des Intervalls betrachten Zu berechnen sind dann: f( ) = 0, ( ) + =, f( ) = 0, + =, f( ) = 0, ( ) + = f( ) = 0, + = 4 f ( ) = 0, ( ) + =, f ( ) = 0, + = 4, f ( 0) = 0, 0 + = Wir stellen diese Ergebnisse in einer Wertetabelle zusammen: Wertetabelle zur Funktion f ( x) = 0, x + x 0 f (x),,, 4 4, Um den Graphen der Funktion f zu zeichnen, sind somit die folgenden Punkte in ein Koordinatensystem einzutragen: P( /, ), P ( / ), P ( /, ), P4 ( 0 / ), P ( /, ), P6 ( / 4) und P7 ( / 4, ) 4 Zeichnen des Graphen einer LF Für die Veranschaulichung der funktionalen Zusammenhänge ist das Zeichnen des Funktionsgraphen (dh bei Linearen Funktionen: der zur Funktion gehörenden Geraden) erforderlich Es gibt jedoch eine Reihe von unterschiedlichen Möglichkeiten dieses Vorhaben zu verwirklichen 8 9

6 4 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen (S x und S y ) In Anmerkung IV auf Seite 6 ist bereits darauf hingewiesen worden, dass der Verlauf einer Geraden (und damit der Verlauf des Graphen einer Linearen Funktion) bereits durch zwei Punkte eindeutig festgelegt ist Das bedeutet, dass wir den Graphen einer linearen Funktion zeichnen können, wenn wir lediglich zwei Punkte einer Geraden kennen Geeignet sind dabei vor allem besonders markante Punkte des Funktionsgraphen Dazu gehören sicherlich die Schnittpunkte mit den beiden Koordinatenachsen, der Schnittpunkt mit der y-achse ( S y ) und der Schnittpunkt mit der x-achse ( S x ) In Abb stellen wir eine Reihe von Punkten vor, die auf einer der Koordinatenachsen liegen Dabei fällt auf, dass die Punkte, die auf der x-achse liegen, alle die y-koordinate 0 und die Punkte, die auf der y-achse zu finden sind, alle die x-koordinate 0 gemeinsam haben Diese Eigenschaften werden benutzt, um die exakten Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen von beliebigen Funktionen bestimmen zu können Anmerkung: Es gibt auch Funktionen, die keinen Schnittpunkt mit der x-achse besitzen Dies ist dann der Fall, wenn diese Funktionen bzw der Funktionsgraph dieser Funktionen stets den gleichen Abstand zur x-achse einhält und sich dieser nicht weiter nähert Man sagt in diesem Fall der Graph einer solchen Funktion (die zugehörige Gerade) verläuft parallel zur x-achse Funktionen mit dieser Eigenschaft werden konstant Funktionen genannt Satz und Definition (konstante Funktion) Eine Funktion f mit f ( x) = c (mit c IR ) heißt konstante Funktion Eine konstante Funktion besitzt für c 0 keinen Schnittpunkt mit der x-achse Für c = 0 ist f identisch mit der x-achse, d h sie besitzt unendlich viele gemeinsame Punkte mit der x-achse P (0/) P (0/) P (0/) Beispiel: f ( x) =, Bei dieser Funktion sind alle Funktionswerte (y-werte), unabhängig vom eingesetzten x-wert Die Gerade zu f verläuft auf der Höhe von y =, parallel zur x-achse P (/0) P (/0) P (/0) P ( 6/0) P ( 4/0) P ( /0) 4 Schnittpunkte mit der y-achse (S y ) bestimmen P (0/ ) P (0/ 4) Abb: Punkte auf den Koordinatenachsen In der Abbildung auf Seite 0 kann man erkennen, dass der Schnittpunkt S y des Graphen einer Funktion f mit der y-achse stets die x-koordinate 0 hat Dies gilt für jede beliebige Funktion Um die exakte y-koordinate des Schnittpunkt Sy herauszufinden, setzt man den Wert Null für x in die Funktionsgleichung ein, man bestimmt also den Wert von f( 0 ) 0

7 Satz (Schnittpunkt mit der y-achse) Der Schnittpunkt S y des Graphen einer Funktion f mit der y-achse hat stets die x-koordinate 0 Damit erfüllt er die Bedingung: x = 0 Bei einer linearen Funktion f mit f ( x) = mx + b ergibt sich daraus: f ( 0) = m 0 + b = b Somit schneidet der Graph der Funktion die y-achse im Punkt ( 0 / b) Das Bedeutet, dass bei einer Lineare Funktion f mit f ( x) = mx + b der y-achsenabschnitt b stets angibt, wo diese Funktion die y-achse schneidet Da die Bedingung x = 0 universelle Gültigkeit hat bei der Bestimmung des Schnittpunktes mit der y-achse (dh diese Bedingung gilt für alle Funktionen), soll für die Bestimmung der Koordinaten dieses Schnittpunktes auch bei Linearen Funktionen der folgende Ablauf eingehalten werden: Beispiel Gegeben sei die Funktion f mit f ( x) = 4x Bedingung: x = 0 f ( 0) = 4 0 =, S y Die Bedingung f ( x) = 0 führt für m 0 stets zu einer linearen Gleichung, deren Lösung die x-koordinate des gesuchten Schnittpunktes ist Beispiel Gegeben sei die Funktion f mit f ( x) = 4x Bedingung: f ( x) = 0 Somit ist S x ( / 0) Anmerkung: 4x = 0 4x = x = + :4 Gilt bei einer Linearen Funktion m = 0, so liegt eine konstante Funktion mit f ( x ) = c vor Auf Seite wurde bereits festgestellt, dass eine konstante Funktion für c 0 keinen Schnittpunkt mit der x-achse besitzt für c = 0 wird die konstante Funktion zu f ( x ) = 0 und hat dann unendlich viele gemeinsame Punkte mit der x-achse (sie ist mit ihr identisch) also: S ( 0 / ) y 4 Funktionsgraph einer LF mit Hilfe von S x und S y zeichnen 4 Schnittpunkte mit der x-achse (S x ) bestimmen In der Abbildung auf Seite 0 kann man auch erkennen, dass der Schnittpunkt Graphen einer Funktion f mit der x-achse stets die y-koordinate 0 hat Dies gilt für jede beliebige Funktion S x des Um die exakte x-koordinate des Schnittpunkt Sx herauszufinden, setzt man den Wert Null für f ( x ) in der Funktionsgleichung ein Satz und Definition (Schnittpunkt mit der x-achse; Nullstelle) Der Schnittpunkt y-koordinate 0 S x des Graphen einer Funktion f mit der x-achse hat stets die Damit erfüllt er die die Bedingung: f ( x) = 0 Eine Stelle x 0, die diese Gleichung erfüllt, wird auch Nullstelle genannt Da der Verlauf einer Geraden (und damit der Verlauf des Graphen einer Linearen Funkti- S on) durch die beiden Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ( y und S x ) eindeutig festgelegt ist, kann man den Graphen jeder Linearen Funktion mit Hilfe dieser beiden Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnen Beispiel Gegeben sei die Funktion f mit f ( x ) = x + Schnittpunkt mit der y-achse Bedingung: x = 0 f ( 0) = 4 0 =, ( 0) + f ( 0) = = also: S y ( 0 / ) Schnittpunkt mit der x-achse Bedingung: f ( x) = 0 Somit ist S x ( 4 / 0) x + = 0 x = x = 4 : ( )

8 Aus den beiden oben durchgeführten Rechnungen ergeben sich die beiden Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: S y ( 0 / ) und S x ( 4 / 0) Mit Hilfe dieser beiden Punkte erhält man den folgenden Graphen: Wenn wir bei Funktionen die Steigung angeben wollen, so entspricht der zurückgelegte Weg der Distanz auf der x-achse, der Höhenunterschied der auf der y-achse Eine Steigung von 00 bedeutet, dass auf einer Strecke von 00 Einheiten auf der x-achse der Höhenunterschied auf der y-achse Einheiten beträgt Im Koordinatensystem sieht das so aus: Es gilt für die Steigung m: S y S x 6 m = = = 0, Lineare Funktionen mit Hilfe von m und b zeichnen Man kann lineare Funktionen mit Hilfe des y-achsenabschnitts b und der Steigung m zeichnen Damit dies möglich ist, muss man sich über die Bedeutung der Steigung und des y-achsenabschnittes im Klaren sein Auf die Bedeutung des y-achsenabschnittes ist im Zusammenhang mit dem Schnittpunkt mit der y-achse auf Seite bereits hingewiesen worden 4 Die Steigung m einer LF Den Begriff der Steigung kennen wir aus dem Alltag Eine starke Steigung bedeutet, dass es steil bergauf geht Es wird also bezogen auf den zurückgelegten Weg ein großer Höhenunterschied überwunden Wenn an einer Straße vor einer starken Steigung gewarnt wird, so wird die Steigung in Prozent angegeben Im Beispiel beträgt die Steigung % =, dh auf einer Strecke von 00 00m steigt der Weg um m an Definition und Satz (Steigung) Die Steigung m einer linearen Funktion f mit f ( x ) = m x + b gibt an, um wie viel sich der Funktionswert (y-wert) verändert, wenn man den x-wert genau um vergrößert, wenn man also einen Schritt nach rechts geht Der Funktionswert wird erhöht oder verringert je nachdem, welches Vorzeichen die Steigung m besitzt Die obige Definition macht deutlich, dass man den Wert der Steigung auch in der Wertetabelle einer Linearen Funktion erkennen kann Beispiel: Für die Funktionen f und f mit f ( x ) = x und f ( x ) = 0, x + erhält man die folgende Wertetabellen: x 0 f (x)

9 x 0 f (x),,, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, Eine negative Steigung bedeutet, dass es bergab geht, man zeichnet also das Steigungsdreieck nicht nach oben, sondern nach unten ein f ( x) = x m = = Eine Einheit in Richtung der x-achse nach rechts, eine in Richtung der y-achse nach unten g( x) = x 4 m = 4 Vier Einheiten nach rechts, drei nach unten h( x) = x m = = Eine Einheit nach rechts, drei nach unten Ist der Funktionsgraph (die Gerade) in ein Koordinatensystem eingezeichnet, so wird die Steigung oft mit Hilfe des sogenannten Steigungsdreiecks veranschaulicht Dabei gilt stets, dass sich der Wert der Steigung ergibt, wenn man die Länge der senkrechten Seite des Steigungsdreiecks (in Richtung der y-achse) durch die Länge der waagerechten Seite (in Richtung der x-achse) dividiert Für das unten dargestellte Steigungsdreieck zwischen zwei Punkten P und P gilt demnach: a m = c P P a c 4 Zeichnen des Graphen einer LF mit Hilfe von m und b Um eine lineare Funktionen mit Hilfe des y-achsenabschnitts b und der Steigung m zu zeichnen, wird zunächst der y-achsenabschnitt auf der y-achse markiert Dann zeichnet man ausgehend von diesem Punkt das Steigungsdreieck ein und erhält mit Hilfe des Steigungsdreiecks einen Zweiten Punkt P des Funktionsgraphen Beispiele: Bei den folgenden Funktionen ist jeweils b = 0, dh y = mx f ( x) = x m = Zwei Einheiten in Richtung der x-achse und eine in die der y-achse g( x) = x m = = Eine Einheit in Richtung der x-achse und drei in die der y-achse h ( x) = x m = = Eine Einheit in Richtung der x-achse und eine in die der y-achse k( x) =, x m =, = Zwei Einheiten in Richtung der x-achse und drei in die der y-achse Beispiel: f ( x) = x +, es ist also b = und m = y-achsenabschnitt einzeichnen: Punkt P (0 / ) Steigungsdreieck zeichnen: Einheiten nach rechts, Einheiten nach oben Gerade zeichnen P P 6 7

10 Funktionsgleichungen von LF bestimmen Um die Funktionsgleichung einer Linearen Funktion mit f ( x ) = mx + b eindeutig bestimmen zu können, muss man immer mindestens einen Punkt des Funktionsgraphen kennen Ist dann eine der beiden Variablen m oder b bekannt (also entweder die Steigung oder der y-achsenabschnitt gegeben), so kann die jeweils fehlende Variable bestimmt werden, indem man alle bekannten Werte in die allgemeine Funktionsgleichung (so) einsetzt und dann nach der noch unbekannten Variable auflöst Ein Punkt P und die Steigung m gegeben Auch dieses Verfahren wird hier anhand eines Beispiels vorgestellt Beispiel Gesucht ist die Funktionsgleichung derjenigen Linearen Funktion f, die durch den Punkt ( / 8 ) P verläuft und die Steigung m = besitzt Lösung: Ein Punkt P und der y-achsenabschnitt b gegeben Die allgemeine Vorgehensweise ist oben bereits beschrieben worden Aus diesem Grund wird das Verfahren hier lediglich anhand eines Beispiels vorgestellt Beispiel Gesucht ist die Funktionsgleichung derjenigen Linearen Funktion f, die durch den Punkt ( / ) P verläuft und den y-achsenabschnitt b = besitzt Lösung: Allgemein gilt für eine Lineare Funktion: f ( x ) = mx + b Allgemein gilt für eine Lineare Funktion: f ( x ) = mx + b Einsetzen der x-koordinate (von P) für x, der y-koordinate 8 (von P) für f ( x ) und der Steigung für m ergibt die folgende Gleichung: 8 = + b 8 = + b 7 = b Setzt man nun den bekannten Wert m = und den nun bestimmten Wert b = 7 in die allgemeine Funktionsgleichung ein, so erhält man die gesuchte Gleichung: f ( x ) = x 7 Einsetzen der x-koordinate (von P) für x, der y-koordinate (von P) für f ( x ) und des y-achsenabschnitt für b ergibt die folgende Gleichung: = m + 6 = m = m : Setzt man nun den bekannten Wert b = und den nun bestimmten Wert m = in die allgemeine Funktionsgleichung ein, so erhält man die gesuchte Gleichung: f ( x ) = x + Zwei Punkte P und P gegeben Anhand von zwei Punkten des Graphen einer Linearen Funktion (der zugehörigen Geraden) kann man anhand der Überlegungen zum Steigungsdreieck die Steigung m dieses Graphen (bzw dieser Geraden) bestimmen Ist diese bekannt, so kann mit dem aus bekannten Verfahren der fehlende Wert für den y-achsenabschnitt b bestimmt werden Da beide Punkte auf dem Graphen der Funktion liegen sollen, kann man auswählen, welchen der beiden Punkte man zum Einsetzen der Koordinaten in die allgemeine Funktionsgleichung benutzt 8 9

11 Steigung m anhand von zwei Punkten P und P bestimmen Auf Seite 6 ist bereits darauf hingewiesen worden, dass die Steigung des Funktionsgraphen (einer Gerade) in einem Koordinatensystem oft mit Hilfe des sogenannten Steigungsdreiecks veranschaulicht wird Dabei gilt stets, dass sich der Wert der Steigung ergibt, wenn man die Länge der senkrechten Seite des Steigungsdreiecks (in Richtung der y-achse) durch die Länge der waagerechten Seite (in Richtung der x-achse) dividiert Dies wird in der folgenden Abbildung veranschaulicht Satz (Steigung einer Geraden) ( y ( y Ist eine Gerade f durch zwei Punkte P x / ) und P x / ) gegeben, so ist die Steigung m dieser Geraden gleich dem Quotienten aus der Differenz der y-werte ( y y) und der Differenz der x-werte ( x x) der beiden Punkte: y y m = x x Hinweis: y y P (x / y ) P (x / y ) Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, das heißt der Graph enthält keine Kurve oder einen Knick, an dem sich das Steigungsverhalten ändern könnte Dies hat zur Folge, dass die Steigung für den gesamten Verlauf des Graphen (der Geraden) gleich bleibt Zudem bedeutet, dass die Steigung mit einem Steigungsdreieck von zwei völlig beliebigen Punkten bestimmt werden kann, das Ergebnis ist stets das gleiche Dies soll mit der Abbildung unten verdeutlicht werden x x 0, Sind also zwei Punkte P ( x / ) und ( x / ) y P y gegeben, so kann mit Hilfe des Steigungsdreiecks, das durch diese beiden Punkte festgelegt ist, die Steigung berechnet werden Dazu muss man den Abstand der beiden Punkte in Richtung der y-achse ermitteln und dieser Wert durch den Abstand der Punkte in Richtung der x-achse dividieren Das Ergebnis dieser Division gibt dann den Wert der Steigung m an Den Abstand in Richtung der y-achse bestimmen wir durch die Differenz der y-koordinaten der beiden gegebenen Punkte y y Entsprechend kann man den Abstand der Punkte in Richtung der x-achse zu bestimmen, indem die Differenz der x-koordinaten der gegebenen Punkte x x berechnet wird Ist mit Hilfe des oben beschriebenen Verfahren die Steigung m bestimmt worden, so kann für die Bestimmung der Funktionsgleichung einer gesuchten Linearen Funktion (von der nur die beiden Punkte P und P bekannt sind) weiter das bereits aus bekannte Verfahren verwendet werden, Das gesamte Verfahren soll nun in anhand eines Beispiels veranschaulicht werden 0,, m = = = = 0, Bildet man nun den Quotienten dieser beiden Werte, so gilt allgemein für eine Gerade, die durch die Punkte P und P verläuft: y y m = x x 0

12 Funktionsgleichung eine LF anhand von zwei Punkten P und P bestimmen (Beispiel) Um die Vorgehensweise bei Bestimmung der Funktionsgleichung einer LF anhand von zwei gegebenen Punkten zu verdeutlichen wird das folgende Beispiel behandelt: Beispiel Bestimmen Sie die Funktionsgleichung derjenigen Linearen Funktion f, deren Graph durch P ( / ) und P (0 / 9 ) verläuft 4 Funktionsgleichung einer parallelen Geraden bestimmen Betrachtet man die Graphen von zwei verschiedenen Linearen Funktionen f und g, so schneiden sich die zugehörigen Funktionsgraphen (Geraden) in aller Regel Die Bestimmung dieses Schnittpunktes wird in Kapitel 6 behandelt Es gibt jedoch zwei Sonderfälle für den Verlauf von zwei Geraden Zwei Geraden können parallel zueinander oder orthogonal zueinander verlaufen Hier soll nun zunächst auf parallel Geraden eingegangen werden Lösung: Allgemein gilt: f ( x ) = mx + b I Bestimmung der Steigung m: y Es ist y m = = 9 = 4 x x 0 8 = II Bestimmung des y-achsenabschnittes b: Einsetzen von x =, y = (also P ) und m = III = + b = 6 + b 6 = b Aufstellen der Funktionsgleichung: Die gesuchte Gerade hat die Funktionsgleichung f ( x) = x In der obigen Abbildung sind zwei parallele Geraden dargestellt Offensichtlich ist die Steigung der beiden parallelen Geraden gleich Dies ist geometrisch gleichbedeutend damit, dass die Funktionsgraphen an jeder Stelle denselben Abstand voneinander besitzen Satz (Steigung paralleler Geraden; gemeinsame Punkte paralleler Geraden) Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion kann man mit Hilfe der folgenden Strategie bestimmen: Zwei Geraden f und g mit f ( x ) = m x + b und g ( x ) = m x + b sind genau dann parallel zueinander, wenn gilt: m = m I die Steigung m mit der bekannten Formel bestimmen, II den y-achsenabschnitt b durch Einsetzen bestimmen und dann III die Funktionsgleichung aufstellen Hinweis: Für b b sind die beiden Geraden echt parallel, d h sie haben keinen gemeinsamen Punkt ( Abb oben) Für b b = sind die beiden Geraden identisch, d h sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte

13 Um die Vorgehensweise bei Bestimmung der Funktionsgleichung einer parallelen Geraden zu verdeutlichen wird das folgende Beispiel behandelt: Beispiel 4 Gegeben sei die Funktion f mit der Funktionsgleichung f ( x) = 4x Bestimmen Sie die Gleichung der Linearen Funktion g, deren Gerade (dh deren Graph) parallel zur Geraden von f durch den Punkt P ( /) verläuft Lösung: Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion kann in Schritten bestimmt werden: I Bestimmung der Steigung m, II III Bestimmung des y-achsenabschnitts b und Aufstellen der Funktionsgleichung Funktionsgleichung einer orthogonalen Geraden bestimmen Orthogonale Geraden sind Sonderfälle von zwei Geraden, die sich in einem gemeinsamen Punkt S schneiden ( Kapitel 6): Sie schließen einen Winkel von 90 ein (einen sogenannten rechten Winkel ) Eine andere Bezeichnung sagt dass diese Geraden senkrecht aufeinander stehen Die Steigung der orthogonalen Geraden ergibt sich durch das Drehen des Steigungsdreiecks am Schnittpunkt S um 90 In der Abbildung unten wird dies dargestellt S + Drehung um 90 m m I) Bestimmung der Steigung m: Die Gerade g verläuft parallel zur Geraden f mit f ( x) = 4x Auf Grund der Parallelität gilt: m = m = 4 II) Bestimmung des y-achsenabschnittes b: Die Gerade verläuft durch den Punkt P ( /) Einsetzen von x =, y = und m = 4 = 4 + b = 8 + b = b 8 Satz (Steigung zweier orthogonaler Geraden) Zwei Geraden f und g mit f ( x ) = mx + b bzw g ( x ) = mx + b sind genau dann orthogonal zueinander, wenn gilt: m = bzw m m = m III) Aufstellen der Funktionsgleichung Die zu f durch den Punkt P parallele Gerade hat die Funktionsgleichung g ( x) = 4x + Um die Vorgehensweise bei Bestimmung der Funktionsgleichung einer parallelen Geraden zu verdeutlichen wird das folgende Beispiel behandelt: Beispiel Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g, die orthogonal zur Geraden von f mit der Funktionsgleichung f ( x) = 4x ist und durch den Punkt P (0 / ) verläuft Lösung: Wir folgen auch hier dem bekannten Dreischritt 4

14 I Bestimmung der Steigung m : Die Gerade g verläuft orthogonal zur Geraden f mit f ( x) = 4x, somit ist m = = = 0, m 4 S II Bestimmung des y-achsenabschnitts b : Die gesuchte Gerade g verläuft durch den Punkt P (0 / ) Einsetzen von x = 0, y = und m = 4 = 0, 0 + b = + b 8 = b + III Aufstellen der Funktionsgleichung: Die gesuchte Gerade hat die Funktionsgleichung g ( x) = 0, x + 8 Beispiel (Bestimmung des Schnittpunktes zweier LF) Bestimmen Sie den Schnittpunkt S der Graphen der beiden linearen Funktionen f und g + mit f ( x) = x und g ( x) = x Lösung: I Schnittstelle bestimmen (x-wert): 6 Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen Es wurde bereits darauf hingewiesen, dass die Graphen von zwei verschiedenen Linearen Funktionen sich oft in einem gemeinsamen Punkt schneiden Die Abbildung auf der nächsten Seite macht deutlich, dass sich die Funktionswerte (y- Werte) der beiden dort abgebildeten linearen Funktionen f und g an fast allen Stellen unterscheiden Es gibt lediglich eine einzige Ausnahme, den Schnittpunkt S Dort besitzen f und g nicht nur die gleiche x- Koordinate, sondern auch die gleiche y- Koordinate (dh den gleichen Funktionswert) Setzt man also den gemeinsamen x-wert in beide Funktionsgleichungen ein, so gilt demnach für den Schnittpunkt S : f ( x ) = g( x ) Dieser Ansatz führt zu einer linearen Gleichung mit deren Hilfe man die gemeinsame x-koordinate bestimmen kann Setzt man diesen x-wert dann in eine der beiden Funktionsgleichungen ein, so erhält man die y-koordinate des Schnittpunktes II III Bedingung: f ( x ) = g( x ) x =, x =, x = x = y-koordinate bestimmen x + + x + :, Die y-koordinate wird bestimmt, indem man die ermittelte x-koordinate in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzt: f ( ) = = 4 = Schnittpunkt angeben: Der Schnittpunkt der Graphen von f und g ist der Punkt S( / ) 6 7

15 7 Anwendungsaufgaben (Textaufgaben) Im Zusammenhang mit den Linearen Funktionen gibt es eine Reihe von verschiedenen Anwendungsmöglichkeiten In vielen Fällen ist die Realität jedoch wesentlich komplexer, so dass man sich oft auch mit vereinfachten Modellannahmen begnügen muss, um die jeweiligen Problemstellungen lösen zu können Die verschiedenen Anwendungsmöglichkeiten sollen im Folgenden anhand von vier Beispielen demonstriert werden Beispiel (Energiekosten) Ein Energieversorgungsunternehmen bietet seinen Kunden zu folgenden Bedingungen Strom an: Eine kwh (Kilowattstunde) kostet 0,4, bei einer monatlichen Grundgebühr von 7,0 a) Erstellen Sie eine Funktionsgleichung mit der der monatliche Strompreis in Abhängigkeit von der verbrauchten Strommenge (in kwh) angegeben werden kann b) Die Stromrechnung im Monat Mai beläuft sich auf,60 Wie viel Strom (in kwh) wurde verbraucht? c) Ein anderer Versorger bietet den Strom für 0,0 pro kwh an, bei einer monatlichen Grundgebühr von 9,80 Wie groß muss der durchschnittliche monatliche Stromverbrauch mindestens sein, damit sich ein Wechsel des Stromanbieters lohnt? Lösung: a) Für jede kwh muss 0,4 gezahlt werden, d h für x kwh müssen x mal 0,4 bezahlt werden Zuzüglich zum Verbrauch muss stets eine Grundgebühr in einer Höhe von 7,0 gezahlt werden Somit ergibt sich folgende Funktionsgleichung: f ( x ) = 0, 4 x + 7, b) Die Funktionsgleichung gibt die Kosten in Abhängigkeit vom Stromverbrauch an Somit entspricht der Betrag von,60 dem Funktionswert (y) und der zugehörige x-wert (Stromverbrauch) muss bestimmt werden f( x ) =, 6 0, 4 x 04, x x = 4 + 7, =, 6 = 48, Der Verbrauch im Mai betrug also 4 kwh 7, : 0, 4 c) Die Funktionsgleichung wird analog zu a) bestimmt: g ( x ) = 0, x + 9, 8 Die Kosten sind gleich beim Schnittpunkt der Graphen von f und g Bei einem höheren Verbrauch ist der zweite Anbieter günstiger, da dieser Vertrag eine höhere Grundgebühr, jedoch geringere Verbrauchskosten beinhaltet f( x ) 0, 4 x 0, 04 x + 7, = 0, x =, x = 6, = g( x ) + 9, 8 0, x : 0, 04 7, Bei einem monatlichen Stromverbrauch von mehr als 6, kwh ist also der Anbieter II günstiger als der Anbieter I Beispiel (Schwimmbecken) Aus einem Schwimmbecken wird zu Reinigungszwecken das Wasser abgelassen Pro Minute werden 600 Liter abgepumpt Nach 60 Minuten sind noch Liter Wasser im Becken a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung mit der die Wassermenge nach x Minuten bestimmt werden kann b) Wie viel Wasser war ursprünglich im Becken? c) Wann ist das Becken leer? Lösung a) Bei der gesuchten Funktionsgleichung ist x die Zeitangabe in Minuten und der Funktionswert (y) entspricht der im Becken verbliebenen Wassermenge Somit liegt P ( 60 / ) auf dem Graphen Die pro Minute abgelassene Wassermenge entspricht der Steigung der Funktion Es gilt: m = 600 Mit f ( x) = mx + b erhalten wir die lineare Gleichung = = = Also: f ( x) = 600 x b + b + b

16 Lösung b) Die ursprüngliche Füllmenge entspricht der Wassermenge zum Zeitpunkt x = 0 : f ( 0) = = Somit waren ursprünglich Liter Wasser in dem Becken Lösung c) Das Becken ist leer, wenn f ( x) = 0 ist f ( x) = 0 600x = 0 600x = x = 0 Das Becken ist somit nach 0 Minuten vollständig geleert :( 600) Beispiel (Black Label) Die Firma Black Label produziert Sonderanfertigungen von T-Shirts Die bei der Produktion entstehenden Kosten K sind abhängig von der produzierten Stückzahl Bei der Produktion von 00 Stück entstehen Kosten von 8, bei der Produktion von 00 Stück entstehen Kosten von 40 Zwischen der Stückzahl und den Kosten besteht ein linearer Zusammenhang a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Kostenfunktion K b) Wie hoch sind die Kosten bei einer Produktion von 6 T-Shirts? c) Geben sie die Funktionsgleichung der Erlösfunktion E an, wenn ein Verkaufspreis von,0 pro T-Shirt erzielt wird? d) Bei welcher Menge x liegt die Gewinnschwelle, dh wann liegen die Erlöse über den Kosten? Lösung a) Wir nehmen an, dass die Kostenfunktion K linear ist Auf ihrem Graphen liegen die Punkte P ( 00 / 8 ) und P ( 00 / 40 ) Die Funktionsgleichung bestimmen wir dann in altbewährter Manier: II Einsetzen der Koordinaten von P und der Steigung m k : III 0, 00 + b = b = 40 b = 60 Aufstellen der Funktionsgleichung: K ( x) = 0, x Lösung b) Hier suchen wir den Funktionswert an der Stelle x = 6 : 4 = K ( 6) = = Die Kosten bei der Produktion von 6 T-Shirts betragen also 94 Lösung c): Pro verkauftes T-Shirt erzielen wir einen Erlös von,0 Daher ist E ( x ) =, 0x Offensichtlich ist die Erlösfunktion E, wie die Kostenfunktion K, eine lineare Funktion Lösung d) Die Gewinnschwelle liegt dort, wo sich die Graphen von K und E schneiden Es geht hier also um den Schnittpunkt zweier linearer Funktionen 0, x + 60 =,0 x 60 = 4,8 x 7 = x K( x) = E( x) 0, x Interpretation: Bei einer Produktion von mehr als 7 T-Shirts wird ein Gewinn erwirtschaftet, d h ab 7 T-Shirts ist der Erlös größer als die Kosten :4,8 y I y 40 8 m = = = = 0, x x = K 0

17 Beispiel 4 (Überprüfung der Rechtwinkligkeit) Ein Dreieck ist gegeben durch die Punkte A( / 4 ), B( 7 / ) und C ( / ) Zeigen Sie, dass das Dreieck rechtwinklig ist Lösung: Die Steigungen der Dreiecksseiten werden bestimmt: Für die Steigung der Dreiecksseite AB gilt y ( 4) 9 9 = B y m A AB = = = = x x 7 6 B A Für die Steigung der Dreiecksseite BC gilt m = = = BC = 7 6 Für die Steigung der Dreiecksseite AC gilt Es gilt also ( 4) 6 6 m AC = = = = 6 m AC =, m da die Steigung der Strecke AC der negative Kehrwert der Steigung der Strecke BC ist, somit sind die Seiten AC und BC orthogonal, d h sie bilden einen rechten Winkel BC