Lineare Funktionen Kapitel 7. Lineare Funktionen Kapitel 7 ( ) ( 2) ( 5) P und P auf dem Graphen der Funktion

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1 Schuljahr FOS Schuljahr FOS Bestimmen Sie für folgende Funktionen die fehlenden Koordinaten: Fehlt der -Wert, wird der gegebene -Wert in die Funktionsgleichung eingesetzt Fehlt der -Wert, setzt man und löst die entsprechende Gleichung a) ) + f A 8 / ) b) ) f 8) 8) Der Punkt A hat die Koordinaten 8 / ) A f C / ) c) ) + f ) 7 6 Also C / 6) f E / ) 6 ) B / f 6) Der Punkt B hat die Koordinaten B 6 /) D / 7) Also D 6/ 7) F / ) : f K /,7 ) e) ) 0, 7 + f ),7 + 0,7,7,6 Also K,6 /,7 ) 0,7 : L / 9, ) f ) 9, + 0,7 9, 0 Also L / 9, ) Gegeben ist die lineare Funktion f mit der Funktionsgleichung +, 0,7 a) Berechnen Sie für die ganzen Zahlen von bis + die Funktionswerte von f und erstellen Sie eine Wertetabelle Es gilt zum Beispiel: f ) ) +, 6 +, 7, Wertetabelle: ,0,0,0,0-0,0 -,0 -,0 : f ) ) Also E / 0) f ) + 6 Also F / ) : ) b) Zeichnen Sie den zugehörigen Graphen in ein Koordinatensstem c) Überprüfen Sie rechnerisch, ob die Punkte P /0, ), / 6, ) /, ) 8 P und P auf dem Graphen der Funktion f liegen f G / ) d) ) 8 f ) ) 8 8 Also G / ) H / 0, ) 0, 8, 8 0, Also H / 0, ) + 8 : ) ) /0, P f ) ) +, 0 +,, 0, P liegt nicht auf dem Graphen / 6, ) f ) +, 66 +, 6, liegt auf dem Graphen P /, ) 8 f ) +, 0, +,, 8 8 liegt auf dem Graphen

2 Schuljahr FOS Schuljahr FOS Punkt P 8 / ) : Bestimmung des -Werts durch Einsetzen f 8) 8) 7 8 Die Koordinaten des Punktes sind P 8 / 8) Punkt P / ) : Gesucht ist der -Wert, so dass der -Wert ist Bedingung ist also: 6 + : Die Koordinaten des Punktes sind P 6 /) ) Überprüfen Sie rechnerisch, welche der folgenden Punkte auf den Graphen welcher der drei folgenden Funktionen liegen! P 6) ; P 8 / 0) ; P / ) ; 6 / 8) / P ; / ) ; g ) + 6; h ) P ; P / ) 6 Gegeben ist die lineare Funktion f mit der Funktionsgleichung g ) + 6 h ) a) Berechnen Sie für die ganzen Zahlen von bis + die Funktionswerte von f, erstellen Sie eine Wertetabelle ,00 0, 0,0 0,7,00,,0,7 b) Zeichnen Sie anschließend den zugehörigen Graphen in ein Koordinatensstem P / 6) P 8 / 0) f ) ) 6 6) P / liegt nicht auf der Geraden von f f 8) 8) 0 8 / 0) P liegt nicht auf der Geraden von f g ) ) ) P / liegt nicht auf der Geraden von g g 8) 8) / 0) P liegt auf der Geraden von g h ) ) 8 6 6) P / liegt auf der Geraden von h h 8) 8) / 0) P liegt nicht auf der Geraden von h c) Bestimmen Sie rechnerisch die fehlenden Koordinaten der Punkte P 8/ ) P ) so, dass die Punkte auf dem Graphen der Funktion f liegen / und

3 Schuljahr FOS Schuljahr FOS P /) P P 6 / 8) / ) P / ) 6 f ),, / ) P liegt nicht auf der Geraden von f f 6) 8 6 / 8) 6 P liegt auf der Geraden von f f ), / ) P liegt nicht auf der Geraden von f f ) ) / ) P liegt nicht 6 auf der Geraden von f g) /) P liegt auf der Geraden von g g6) / 8) P liegt nicht auf der Geraden von g g ) / ) P liegt nicht auf der Geraden von g g ) ) / ) P liegt nicht 6 auf der Geraden von g h) / ) P liegt nicht auf der Geraden von h h6) / 8) P liegt nicht auf der Geraden von h h ) / ) P liegt auf der Geraden von h h ) ) 8 6 / ) P liegt nicht 6 auf der Geraden von h Für zwei bestimmte lineare Funktionen f und g ergeben sich die folgenden beiden Wertetabellen f g a) Zeichnen Sie anhand dieser Wertetabellen die beiden Funktionsgraphen in ein Koordinatensstem ein b) Zeichnen Sie zu beiden Funktionsgraphen je ein Steigungsdreieck in Ihrer Skizze ein und geben Sie die zugehörige Steigung m an Erläutern Sie ausführlich Ihre Vorgehensweise c) Überprüfen Sie rechnerisch, ob eine der beiden Funktionsgleichungen + 7, oder g ), zu einer der durch die Wertetabellen gegebene Funktionen gehört oder nicht Begründen Sie! 0,,,,,, 6, 0, a) b) Die Steigung m gibt an, um wie viel sich der - Wert verändert, wenn der -Wert um vergrößert wird Beim ersten Graphen f) kann man diesen Wert auch aus der Wertetabelle ablesen Zeichnet man das Steigungsdreieck vom c) Schnittpunkt mit der -Achse P 0 / ) ) an ein und geht zum nächsten Punkt -Wert um größer, dh P /, ) um 0, größer Daher gilt: m 0, ), so ist der -Wert hier genau Beim zweiten Graphen kann die Steigung nicht unmittelbar der Wertetabelle entnommen werden Zeichnet man das Steigungsdreieck für die -Werte 0 und, so wird das Steigungsdreieck ungenau, da die eakten Angaben fehlen Zeichnet man das Steigungsdreieck von P /, ) bis P / 6, ), so ergibt sich ein Steigungsdreieck mit einer negativen Steigung Die Seite des Steigungsdreiecks in Richtung der -Achse hat die Länge von, bis 6, ), die Seite in Richtung der -Achse die Länge von bis ) Daher gilt: m Eine Gerade Lineare Funktion) ist bereits durch zwei Punkte eindeutig festgelegt, es genügt also, aus jeder Wertetabelle je zwei Punkte zu überprüfen Diese zwei Punkte können beliebig ausgewählt werden, hier nehmen wir aus der ersten Tabelle P ) und /, ) / Für + 7, gilt: Erste Tabelle: P, aus der zweiten Tabelle Q /, ) und Q / 6, ) P liegt also nicht auf dem Graphen von f, daher gehört die erste Wer- f ) ) + 7, + 7,, Der Punkt / ) tetabelle nicht zur Funktion f Der Punkt /, ) Zweite Tabelle: ) + 7, 6 + 7,, f ) f ) + 7, + 7, 9, 6, P muss nicht mehr überprüft werden

4 Schuljahr FOS Schuljahr FOS Der Punkt Q /, ) liegt auf dem Graphen von f, aber nicht Q / 6, ) Daher gehört auch die zweite Wertetabelle nicht zur Funktion f Für g ), gilt: Erste Tabelle: g ) ),, 0, P liegt also nicht auf dem Graphen von g, daher gehört die erste Wer- Der Punkt / ) tetabelle nicht zur Funktion g Der Punkt /, ) Zweite Tabelle: g ) ), 6,, g ),, 6, P muss nicht mehr überprüft werden 7 Zeichnen Sie die Graphen der folgenden Funktionen mit Hilfe der Steigung m und des -Achsenabschnitts b in ein Koordinatensstem ein und erläutern Sie ausführlich Ihre Vorgehensweise + a) k ) + b) l ) c) p ), Erläuterung s Aufgabe 6 Da sowohl Q /, ) also auch Q / 6, ) auf dem Graphen von g liegen, gehört die zweite Wertetabelle zur Funktion g 6 Zeichnen Sie die Graphen der folgenden Funktionen mit Hilfe der Steigung m und des -Achsenabschnitts b in ein Koordinatensstem ein, g ) 0, h ) + Zunächst wird jeweils der -Achsen-Abschnitt eingezeichnet, anschließend ausgehend von diesem Punkt das Steigungsdreieck Ist die Steigung m ein Bruch, so geht man um den Wert des Nenners nach rechts, anschließend um den Wert des Zählers nach oben oder unten, je nachdem, ob die Steigung positiv oder negativ ist Bei ganzen Zahlen oder Dezimalzahlen geht man um eins nach rechts, anschließend um den Wert der Steigung nach oben oder unten, je nachdem, ob die Steigung positiv oder negativ ist Anhand dieses Steigungsdreiecks kann dann der Graph der Funktion gezeichnet werden 8 Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen der folgenden linearen Funktionen, indem Sie ein Steigungsdreieck einzeichnen und die Steigung m sowie den -Achsenabschnitt b aus der Zeichnung ablesen Funktion f Der Schnittpunkt mit der -Achse ist S 0 / ) Ausgehend vom diesem Punkt kann man ein Steigungsdreieck einzeichnen, indem man um eine Einheit nach rechts geht und dann nach oben, bis man auf den Graphen trifft Es ergibt sich ein Dreieck der Höhe, die Steigung ist also m Die Funktionsgleichung ist

5 Schuljahr FOS Schuljahr FOS Funktion g Der Schnittpunkt mit der -Achse ist S 0 / ) Ausgehend vom diesem Punkt kann man ein Steigungsdreieck einzeichnen, indem man um eine Einheit nach rechts geht und dann nach oben, bis man auf den Graphen trifft Es ergibt sich ein Dreieck der Höhe 0,, die Steigung ist also m 0, Alternativ genauer): Ein größeres Dreieck, also zb um Einheiten nach rechts und dann um Einheit nach oben Es ergibt sich m 0, Die Funktionsgleichung ist g ) 0, + Funktion h Der Schnittpunkt mit der -Achse ist S 0 /, ) Ausgehend vom diesem Punkt kann man ein Steigungsdreieck einzeichnen, indem man um eine Einheit nach rechts geht und dann nach unten negative Steigung), bis man auf den Graphen trifft Es ergibt sich ein Dreieck der Höhe, die Steigung ist also m Die Funktionsgleichung ist h ) +, 9 Gegeben sind die beiden linearen Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen m und g ) 0, 7 a) Welchen Wert müssen die beiden Variablen m und b annehmen, damit der Punkt / 6) P auf den Funktionsgraphen von beiden Funktionen liegt? Falls P auf dem Graphen von f liegen soll, muss gelten: f ) 6 6 m ) 8 m ) m + : ) Die Funktionsgleichung lautet dann: b) Zeichnen Sie die beiden Funktionsgraphen unter Berücksichtigung Ihrer Ergebnisse für m und b in ein Koordinatensstem ein Falls P auf dem Graphen von g liegen soll, muss gelten: g ) 6 6 0,7) ) + b 6 + b b Die Funktionsgleichung lautet dann: g ) 0,7 + 0 Gegeben sind die Punkte P / ) ; P /) und P 6 / ) a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Geraden f, die durch P und Die Funktion f hat die allgemeine Form Steigung durch Einsetzen von P und P : Also ist m m Der Punkt P / ) liegt auf dem Graphen von f, also gilt: f ) + b 0, + b b, 0, 6 8 P verläuft + Die Funktionsgleichung ist, b) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Geraden g, die durch P und P verläuft Die Funktion g hat die allgemeine Form g ) m 8 Steigung durch Einsetzen von P und P : m Also ist g ) Der Punkt P / ) liegt auf dem Graphen von g, also gilt: g) + b + b b 8 + Die Funktionsgleichung ist g ) + 8

6 Schuljahr FOS Schuljahr FOS c) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Geraden h, die durch P und P verläuft Die Funktion h hat die allgemeine Form h ) m 0 Steigung durch Einsetzen von P und P : m, 6 ) Also ist h ), Der Punkt P /) liegt auf dem Graphen von h, also gilt: b 7 h ), ) + b + b Skizze zur Kontrolle: + Die Funktionsgleichung ist h ), + 7 a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der linearen Funktion f, deren Graph durch den Punkt P / ) verläuft und die Steigung m 0, 7 hat Die Funktion f hat die allgemeine Form m + b Da hier m 0, 7, gilt 0, 7 Der Punkt P / ) liegt auf dem Graphen von f, also gilt: f ) 0,7 + b + b b Die Funktionsgleichung ist 0,7 + b) Prüfen Sie rechnerisch, ob die Punkte Q / 6) und R /,7 ) auf dem Graphen von f liegen Um zu überprüfen, ob die Punkte Q / 6) und R /,7 ) auf dem Graphen liegen, setzt man jeweils den -Wert ein Q: f ) 0,7 +,7 +, 7 Q liegt nicht auf dem Graphen von f R: f ) 0,7 ) +,7 +, 7 R liegt auf dem Graphen von f c) Zeichnen Sie anschließend den Graphen der Funktion sowie die Punkte P, Q und R in ein Koordinatensstem

7 Schuljahr FOS Schuljahr FOS Gegeben sind die linearen Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen + und g ) + a) Bestimmen Sie für beide Funktionen jeweils die Schnittpunkte mit den beiden Koordinatenachsen S und S ) Funktion f Funktion g Gegeben sind die linearen Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen 7 und g ),7 + a) Bestimmen Sie für beide Funktionen jeweils die Schnittpunkte mit den beiden Koordinatenachsen S und S ) Funktion f Funktion g Schnittpunkte -Achse Schnittpunkte -Achse Bed 0 Bed 0 Bed 0 Bed 0 f 0) 0 + g 0) 0 + f 0) g 0),7 0 + also S 0 / ) f also S 0 / ) g also S 0 / 7) f also S 0 / ) g Schnittpunkte -Achse Schnittpunkte -Achse Bed 0 Bed g ) 0 Bed 0 Bed g ) also S 6 / 0) f + 0, also S, / 0) g : ) also S / 0) f + 7 : ),7 + 0,7 0 also S 0 / 0) g :,7 b) Zeichnen Sie beide Graphen in ein geeignetes Koordinatensstem b) Zeichnen Sie beide Graphen in ein geeignetes Koordinatensstem

8 Schuljahr FOS Schuljahr FOS a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der linearen Funktion g, die durch die Punkte P /,) und P /,7 ) verläuft Die Funktion g hat die allgemeine Form g ) m,7,,7 Steigung durch Einsetzen der Punkte: m 0, 6 ) 6 Also ist g ) 0, 6 Der Punkt P /, ) liegt auf dem Graphen von g, also gilt: g ), 0,6 ) + b,, + b, b, Die Funktionsgleichung ist g ) 0,6 + b) Bestimmen Sie die beiden Schnittpunkte des Funktionsgraphen von g mit den Koordinatenachsen Schnittpunkt mit der -Achse Bed: 0 g 0) 0,6 0 +, also ist S 0/ ) Schnittpunkt mit der -Achse Bed: g ) 0 0, ,6,8 : 0,6) also ist S,8 / 0) c) Zeichnen Sie anschließend den Graphen der Funktion sowie alle bekannten Punkte in ein Koordinatensstem 6 a) Bestimmen P, / Sie die Funktionsgleichung, / 7 der linearen Funktion k, die durch die Punkte und ))0 P verläuft b) Bestimmen Sie die beiden Schnittpunkte des Funktionsgraphen von k mit den Koordinatenachsen c) Zeichnen Sie anschließend den Graphen der Funktion k sowie alle bekannten Punkte in ein Koordinatensstem Lösung: k ) + S 0 / ) S 0, / 0) Ausführlicher Lösungsweg siehe Aufgabe a) Bestimmen Sie die P Funktionsgleichung /, der linearen Funktion g, die durch die Punkte P /,) und verläuft ) 6 b) Bestimmen Sie die beiden Schnittpunkte des Funktionsgraphen von g mit den Koordinatenachsen c) Zeichnen Sie anschließend den Graphen der Funktion g sowie alle bekannten Punkte in ein Koordinatensstem Lösung: g ), +, S 0 /,) S / 0) Ausführlicher Lösungsweg siehe Aufgabe

9 Schuljahr FOS Schuljahr FOS 7 Gegeben sind die linearen Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen f ) und g ) +, a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt S der beiden Funktionsgraphen Bedingung für den Schnittpunkt: g ) +, + 7,, 7, + + :, Der -Wert des Schnittpunktes ist Zur Berechnung des -Wertes setzt man den - Wert in eine der Funktionen ein: f ),, Der Schnittpunkt ist also S /,) b) Zeichnen Sie beide Graphen mit Hilfe der -Achsenabschnitte und des Schnittpunktes S in ein geeignetes Koordinatensstem ein Die Schnittpunkte mit der -Achse sind S 0 / ) und S 0 /, ) - erkennbar am - f Achsen-Abschnitt Mit den bekannten drei Punkten kann man die Graphen der Funktionen zeichnen g 8 Gegeben sind die linearen Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen 0 und g ) + a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt S der beiden Funktionsgraphen Bedingung für den Schnittpunkt: g ) 0, :,8 Der -Wert des Schnittpunktes ist Zur Berechnung des -Wertes setzt man den - Wert in eine der Funktionen ein: f ) 0 0 Der Schnittpunkt ist also S / 0) b) Zeichnen Sie beide Graphen mit Hilfe der -Achsenabschnitte und des Schnittpunktes S in ein geeignetes Koordinatensstem ein

10 Schuljahr FOS Schuljahr FOS 9 Berechnen Sie jeweils den Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen a) + g ), +, b) + g ) c) g ) a) g ) +, +, +,, +,,,, 0,6 :, Einsetzen in eine der Funktionen: f 0,6) 0,6 +, Der Schnittpunkt ist S 0,6 /,) b) g ) + Diese Aussage ist falsch, daher gibt es hier keine Lösung und damit auch keinen Schnittpunkt An der gleichen Steigung der beiden Geraden kann man erkennen, dass sie parallel sind c) g ),, 7 Einsetzen: f 7 ) 7 0, ) :,),9 Der Schnittpunkt liegt ungefähr bei S 0, /,9) 0 Gegeben sind die linearen Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen, + b und g ) m + 6 a) Bestimmen Sie die fehlenden Variablen m und b so, dass die Funktionsgraphen sich im Punkt / ) S schneiden Da der Graph von, + b durch den Punkt / ) S gehen soll, muss gelten: f ), + b + b b Es ist also, + Da der Graph von g ) m + 6 durch den Punkt / ) g) S gehen soll, muss gelten: m + 6 m m 6 : Es ist also g ) + 6 b) Zeichnen Sie beide Graphen mit Hilfe der -Achsenabschnitte und des Schnittpunktes S in ein geeignetes Koordinatensstem ein

11 Schuljahr FOS Schuljahr FOS a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der linearen Funktion h, die durch die Punkte S /,) und T / 0,7 ) verläuft Die Funktion h hat die allgemeine Form h ) m 0,7,) Steigung: m, ) Also ist h ), + b Der Punkt S /,) liegt auf dem Graphen von h, also gilt: h ),, ) + b, 6, + b, b + 6, Die Funktionsgleichung ist h ), + b) Berechnen Sie anschließend die Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen von h mit dem der Funktion k ) 0,7 + Gleichsetzen: h ) k ), + 0,7 +, 0,7 + : + 0,7 Um die -Koordinate zu erhalten wird eingesetzt zb in h) h ), +, +, Der Schnittpunkt ist also SP /, ) c) Zeichnen Sie die Graphen von h und k in ein Koordinatensstem und markieren und benennen Sie alle bekannten Punkte Gegeben ist die Funktion f mit f ) +, a) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g, die parallel zur Geraden von f durch den Punkt Q / ) verläuft Da die Gerade g parallel zu f verläuft, hat sie die gleiche Steigung m g, es ist also g ) + b g Der Punkt Q / ) liegt auf dem Graphen von g, also gilt: g) + b + b b g g g + Die Funktionsgleichung ist g ) b) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden h, die orthogonal zur Geraden von f durch den Punkt R / 0,) verläuft Da die Gerade h orthogonal zu f verläuft, gilt für die Steigung m m h f also ist h ) + b h Der Punkt R / 0,) liegt auf dem Graphen von h, also gilt: h) 0, + b b h h, 0, Die Funktionsgleichung ist h ), c) Berechnen Sie den Schnittpunkt der Orthogonalen h mit dem Graphen von f Gleichsetzen: h ),, + +, +, + 0, :, Um die -Koordinate zu erhalten wird eingesetzt zb in h) h ),,, Der Schnittpunkt ist also S /, )

12 Schuljahr FOS Schuljahr FOS d) Zeichnen Sie die drei Graphen in ein Koordinatensstem und bezeichnen Sie alle bekannten Punkte 0 + ) also ist S / 0 ) c) Zeichnen Sie den Graph von g in ein Koordinatensstem ein Markieren und bezeichnen Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen d) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Geraden p, die parallel zur Geraden g aus b) durch den Punkt / ) P verläuft und fügen Sie auch diesen Funktionsgraphen in Ihre Zeichnung ein Da die Gerade p parallel zu g verläuft, hat sie die gleiche Steigung m, es ist also p a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Geraden g, die durch die Punkte R / ) und Q / 6) verläuft Die Funktion g hat die allgemeine Form g ) m p + ) b p bzw p ) + bp Der Punkt P / ) p) + b + b b p p 6 p liegt auf dem Graphen von p, also gilt: + Die Funktionsgleichung ist p ) ) Steigung: m ) Also ist g ) + b Der Punkt / ) R liegt auf dem Graphen von g, also gilt: g ) ) + b + b b Die Funktionsgleichung ist g ) b) Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Funktionsgraphen von g mit den beiden Koordinatenachsen Schnittpunkt mit der -Achse Bed: 0 g 0) 0, also ist S 0/ ) Schnittpunkt mit der -Achse Bed: g ) 0

13 Schuljahr FOS Schuljahr FOS Gegeben ist die Funktion f mit f ) +, und der Punkt P / ) a) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g, die parallel zur Geraden von f durch den Punkt P / ) verläuft Da die Gerade g parallel zu f verläuft, hat sie die gleiche Steigung m, es ist also g ) + b g Der Punkt P / ) g) + b 8 + b b g g g liegt auf dem Graphen von g, also gilt: 8 Die Funktionsgleichung ist g ) b) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden h, die orthogonal zur Geraden von f durch den Punkt P / ) verläuft Da die Gerade h orthogonal zu f verläuft, gilt für die Steigung m h m f also ist h ) + b h Der Punkt R / 0,) liegt auf dem Graphen von h, also gilt: h) 0, + b b h h, 0, Die Funktionsgleichung ist h ), c) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden h mit der Geraden von f Gleichsetzen: h ),, + +, +, + 0, :, Um die -Koordinate zu erhalten wird eingesetzt zb in h) h ),,, Der Schnittpunkt ist also S /, ) g d) Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Geraden f mit den beiden Koordinatenachsen Der Graph der linearen Funktion f verläuft mit der Steigung m 0, durch den Punkt P / ), und der Graph der linearen Funktion g verläuft durch die Punkte R / 7,) und Q, / 6,) a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen der beiden Funktionen Die Funktion f hat die allgemeine Form m Da hier m 0,, gilt 0, Der Punkt P / ) liegt auf dem Graphen von f, also gilt: f ) 0, ) + b 0, + b b, 0, Die Funktionsgleichung ist 0,, Die Funktion g hat ebenfalls die allgemeine Form g ) m 6, 7,) Steigung: m, ), Also ist g ) Der Punkt Q, / 6,) liegt auf dem Graphen von g, also gilt: g,) 6,, + b 6, 6 + b 6, b 0, 6 Die Funktionsgleichung ist g ) + 0, b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen Gleichsetzen: g ) 0,, + 0, 0, +, 8 7 0,7 +, :,) Um die -Koordinate zu erhalten wird eingesetzt zb in g) 7 g ) 8 ) + 0, + 0, Der Schnittpunkt ist also S 0,7 /,8 ),8

14 Schuljahr FOS Schuljahr FOS c) Verlaufen die beiden Funktionsgraphen orthogonal zueinander? Begründen Sie! Wenn das der Fall wäre, müsste gelten: m g m Hier ist m f 0,, also ist mg m 0, f also verlaufen die Graphen der Funktionen f und g orthogonal zueinander d) Zeichnen Sie beide Graphen in ein Koordinatensstem und bezeichnen Sie alle bekannten Punkte f Damit ist nachgewiesen, dass die Punkte ein Parallelogramm bilden b) Bestimmen Sie den Umfang dieses Parallelogramms Für den Umfang gilt: U a + b Dabei ist a AD BC und b CD AB Um den Umfang bestimmen zu können, muss die Länge der Strecke AB und die Länge der Strecke BC bestimmt werden Dazu nutzen wir den Satz des Pthagoras Es gilt: c ) + ) Mit A /) und 8/ ) B gilt: a ) + 8 ) , 7 Mit A /) und /) D gilt: b ) + ) 0 + ) 9 Somit erhält man: U 6,7 + 9, Der Umfang dieses Parallelogramm beträgt also 9, Längeneinheiten LE) c) Überprüfen Sie, ob diese Punkte auch ein Rechteck bilden Falls die Punkte ein Rechteck bilden, müssen die Geraden, die durch die Eckpunkte führen, orthogonal zueinander verlaufen Dies ist der Fall, wenn gilt: m oder m m m Da wir bereits wissen, dass ein Parallelogramm vorliegt, reicht also zu überprüfen: 6 Die Punkte A /), B 8 / ), C / ) und D /) sind gegeben a) Zeigen Sie rechnerisch, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist Bei einem Parallelogramm sind die Steigungen der gegenüberliegenden Seiten gleich Falls die Punkte ein Parallelogramm bilden, müssten also die Steigungen der Geraden durch die Punkte A und D m AD ) und die durch die Punkte B und C m BC ) gleich sein Ebenso muss die Steigung m CD gleich m AB sein m AB m CD 8 6 0, 6 0, Also ist m m und m BC m AD AB CD m BC m AD m AD m AB 0 0, 0 Da die Bedingung für Orthogonalität nicht erfüllt wird, bilden die Punkte ABCD kein Rechteck A, /,, /,, /, 7 Die Punkte, und bilden ein Dreieck )))0 B a) Prüfen Sie rechnerisch nach, ob dieses Dreieck rechtwinklig ist Falls das Dreieck rechtwinklig ist, muss ein Winkel im Dreieck ein rechter Winkel sein, das heißt, dass zwei der Seiten orthogonal zueinander stehen müssen In diesem Fall verlaufen zwei der Geraden durch die Eckpunkte des Dreiecks orthogonal zueinander Dies kann mit der Bedingung m Steigung der Geraden durch A und B: Steigung der Geraden durch A und C: C bzw m m überprüft werden m m AB m AC,,), 0,),,), 0,) 6 7

15 Schuljahr FOS Schuljahr FOS Steigung der Geraden durch B und C: m BC,,,, Offensichtlich erfüllen m und m die Bedingung, denn es gilt: AB m m ) AB BC BC b) Prüfen Sie rechnerisch nach, ob dieses Dreieck gleichschenklig ist Ein Dreieck ist gleichschenklig, wenn mindestens zwei seiner Seiten die gleiche Länge haben AB AC BC,,) ) +, 0,) ) ,,,) ) +, 0,) ) , 06,, ) +,, ) ) + 9 +, 6 Da alle Seiten verschieden lang sind, liegt offensichtlich kein gleichschenkliges Dreieck vor 8 Mario arbeitet als Krankenpfleger in einer Rehabilitationsklinik Sein Lohn setzt sich aus seinem Grundgehalt und eventuellen Überstundenvergütungen zusammen Zur Zeit muss er besonders viele Überstunden leisten Sein Bruttolohn im letzten Monat betrug daher 8, wobei er Überstunden geleistet hatte Im Monat davor waren es 6 Bruttolohn mit Überstunden a) Mit Hilfe einer linearen Funktion kann man berechnen, wie hoch der Bruttolohn in Abhängigkeit von der Zahl der geleisteten Überstunden ist Bestimmen Sie die Funktionsgleichung dieser Funktion Wie hoch ist Marios Grundgehalt, und wie viel bekommt er pro geleistete Stunde? Die geleisteten Überstunden entsprechen den -Werten, der erhaltene Bruttolohn dem -Wert Somit sind hier zwei Punkte gegeben: P / 8) und P / 6) Allgemein gilt für lineare Funktionen: m + b Bestimmung der Steigung: m, 0 8 Damit haben wir die vorläufige Funktionsgleichung, Bestimmung des -Achsenabschnittes b: / 6) P liegt auf der Geraden, daher gilt: f ) 6, ) + b b 6 b Die gesuchte Funktionsgleichung lautet, Marios Grundgehalt beträgt 880, pro geleisteter Überstunde bekommt er,0 b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Funktionsgleichung aus a), wie viele Überstunden er theoretisch leisten müsste, um einen Bruttolohn von mindestens 000 zu erreichen Bed : 000, , , :, Er müsste etwa 0 Überstunden leisten, um auf ein Bruttogehalt von über 000 zu kommen

16 Schuljahr FOS Schuljahr FOS c) Mario bekommt ein Angebot von einer anderen Klinik Dort wird bei einem Grundgehalt von 80 eine Überstundenpauschale von 6,0 pro Stunde gezahlt Erstellen sie auch hierfür eine Funktionsgleichung, die angibt, wie groß der Bruttolohn bei Überstunden ist Bei einem Grundgehalt von 80 und einer Überstundenvergütung von 6,0 ist die Funktionsgleichung g ) 6, + 80 d) Berechnen und erläutern Sie anhand der beiden Funktionsgleichungen, unter welchen Bedingungen dieses Angebot günstiger ist und wann nicht Entscheidend für die Überlegung, welches Angebot günstiger ist, ist es zu wissen, wann beide Angebote zum gleichen Gehalt führen Man setzt hierzu beide Funktionen gleich Bed : g ), , , 880 Bei 0 Überstunden verdient er also bei beiden Kliniken gleich viel : 6 Da in der zweiten Klinik ein höheres Grundgehalt gezahlt wird, würde er, wenn er 0 Überstunden oder weniger leistet, in dieser Klinik mehr verdienen Leistet er dagegen Überstunden oder mehr, so verdient er in seiner bisherigen Klinik mehr, da dort die einzelnen Überstunden höher vergütet werden 9 Johann Meer hat sich eine kleine Werkstatt gemietet, in der er aufwendige Lampenssteme zusammenbaut Seine Miet- und Heizkosten betragen 0 pro Monat Für die einzelnen Bauteile gibt er zusammen 80 für jedes Lampensstem aus Sein Verkaufspreis liegt bei 6 für ein Lampensstem e) Geben Sie die Kostenfunktion an monatliche Kosten in Abhängigkeit von der Zahl der produzierten Lampenssteme) und erläutern Sie deren Herleitung Allgemein gilt für lineare Funktionen und damit für die Kostenfunktion: K ) m Die monatlichen Fi-)Kosten von 0 entsprechen dem -Achsenabschnitt b, die Kosten pro Lampensstem der Steigung m Die Kostenfunktion lautet also: K ) f) Geben Sie die Erlösfunktion an monatlicher Erlös in Abhängigkeit von der Zahl der verkauften Lampenssteme) und erläutern Sie deren Herleitung Für jede verkaufte Lampe erhält er 6 Für Lampen also mal 6 So ergibt sich für die Erlösfunktion: E ) 6 g) Bestimmen Sie mit Hilfe der Funktionen aus a) und b), wie viele Lampenssteme er im Monat mindestens verkaufen muss, um Gewinne zu erzielen Er erzielt Gewinne, wenn der Erlös die Kosten übersteigt Um zu berechnen, für welche Anzahl von Lampensstemen dies der Fall ist, berechnet man zunächst, wann Kosten und Erlös gleich hoch sind Hierzu setzt man beide Funktionen gleich: K ) E ) : Wenn Johann zehn Lampenssteme baut und verkauft, sind seine Kosten und sein Erlös gleich hoch Bei mehr als 0 Sstemen erzielt er einen Gewinn 0 Eine Computer-Firma produziert spezielle hochwertige Tablet-PCs Die Kosten für die Produktion dieser PCs setzen sich aus den sogenannten Fikosten für Strom und Maschinenkosten und anderes) sowie den Produktionskosten für jeden einzelnen PC zusammen Die Gesamtkosten für die Produktion dieser PCs können daher mit einer linearen Funktion in Abhängigkeit von der produzierten Stückzahl beschrieben werden Die Buchprüfer der Firma haben festgestellt, dass bei der Produktion von PCs insgesamt Kosten von 0 entstehen Bei der Produktion von 0 PCs beliefen sich die Kosten auf 700 Die Tablet-PCs werden für 0 das Stück verkauft, und aufgrund der großen Nachfrage kann die Firma auch alle produzierten PCs verkaufen h) Stellen Sie eine Funktionsgleichung für die Kostenfunktion K ) auf, die die Produktionskosten in Abhängigkeit von der produzierten Stückzahl darstellt Erläutern Sie ihre Vorgehensweise Die -Werte entsprechen der Anzahl der PCs, die -Werte den Kosten, daher sind hier zwei Punkte gegeben: P / 0 ) und 0 / 700) P Da die Kostenfunktion eine lineare Funktion ist, gilt: K ) m + b I Bestimmung der Steigung m :

17 Schuljahr FOS Schuljahr FOS m 0 0 Damit haben wir die vorläufige Funktionsgleichung II Bestimmung des -Achsenabschnittes b: 0 / 700) K ) 0 P liegt auf der Geraden, daher gilt K 0) 700 Unter Verwendung der vorläufigen Funktionsgleichung erhalten wir ) + b b 00 b III Aufstellung der Funktionsgleichung 900 Die gesuchte Funktionsgleichung lautet K ) i) Stellen Sie eine Funktionsgleichung der linearen Funktion E) auf, die den Erlös aus dem Verkauf der PCs in Abhängigkeit von der verkauften Stückzahl angibt und erläutern Sie ihre Vorgehensweise Da pro PC ein Preis von 0 erzielt werden kann, hat die Erlösfunktion folgende Funktionsgleichung: E ) 0 j) Die Firmenleitung beschließt, in den nächsten Monaten maimal 800 für die Produktion auszugeben Wie viele PCs können dann produziert werden, und wie hoch sind die Einnahmen in diesem Fall? Beantworten Sie die Fragen mit Hilfe der Funktionsgleichungen aus a) und b) Da die Kosten 800 nicht übersteigen sollen, berechnet man, für welche -Werte Produktionszahl) sie genau 800 betragen K ) :0 Bei einer Produktion von 00 PCs betragen die monatlichen Kosten genau 800 Um die Einnahmen zu berechnen, setzt man diesen Wert in die Erlösfunktion ein E 00) Die Firma würde also 000 einnehmen k) Berechnen und erläutern Sie anhand der beiden Funktionsgleichungen aus a) und b), bei welchen Stückzahlen die Firma Gewinne erzielen kann Gewinn Erlös - Kosten) Entscheidend für die Überlegung, ab welcher Produktionsmenge Gewinn erzielt wird, ist es zu wissen, wann beide Funktionen gleich sind Bed : K ) E ) ,8 0 : 0 Theoretisch ist bei,8 PCs der Erlös gleich den Kosten Da die Erlösfunktion die höhere Steigung hat, erzielt das Unternehmen ab 6 PCs einen Gewinn, bei weniger PCs sind die Kosten höher als die Erlöse, die Firma macht Verlust In einer Klinik wird ein Patient an den Tropf gelegt Ihm wird aus einer Infusionsflasche Kochsalzlösung langsam und gleichmäßig in die Blutbahn eingeträufelt Nach Minuten stellt die Krankenschwester fest, dass noch 0 Milliliter ml) in der Flasche sind, nach 6 Minuten sind es noch 0 ml l) Geben Sie die Funktionsgleichung der linearen Funktion f an, die den Inhalt der Flasche nach Minuten angibt Die -Werte entsprechen hier den vergangenen Minuten, die -Werte der Anzahl der Milliliter Flüssigkeit in der Flasche Die beiden Messungen nach bzw 6 Minuten entsprechen zwei Punkten P / 0) und P 6 / 0) Allgemein gilt wieder: m + b Steigung: m 6 Einsetzen der Koordinaten des Punktes P : 0 + b b 00 b + 0 Also gilt: + 00 Die Flasche fasste ursprünglich 00 ml, pro Minute leert sie sich um ml m) Nach Minuten möchte die Krankenschwester die Infusion nochmals überprüfen Berechnen Sie mit Hilfe der Funktionsgleichung aus a), wie viele ml noch in der Flasche sein sollten, wenn sich die Tropfgeschwindigkeit nicht verstellt hat Hier ist der Funktionswert nach Minuten zu bestimmen f ) Nach Minuten sind noch ml in der Flasche

18 Schuljahr FOS Schuljahr FOS n) Berechnen Sie mit Hilfe der Funktionsgleichung aus a), wann die Flasche leer ist Es ist zu berechnen, wann der Funktionswert Null ist Schnittpunkt -Achse), also Bed: Die Flasche ist nach 0 Minuten leer 00 : ) o) Wie lange würde die Infusion dauern, wenn bei gleicher Tropfgeschwindigkeit eine Flasche mit 0,7 Litern Inhalt benutzt würde? Berechnen sie dies mit Hilfe einer weiteren Funktionsgleichung f Da die Tropfgeschwindigkeit gleich ist, entspricht die Steigung der neuen Funktion der Steigung von f, also m Der ursprüngliche Inhalt der Flasche 0,7 Liter, entspricht 70 ml) ist auch hier der - Achsenabschnitt b Es gilt also: 70 + Um zu berechnen, wann die Flasche leer ist, wird wieder gleich Null gesetzt f ) : ) Wird eine Flasche mit 0,7 Litern Inhalt benutzt, so ist diese nach 0 Minuten geleert Nach 8 Tagen sind noch Flaschen vorhanden, es ist also f 8) b 68 + b + 68 b 6 Es wurden 6 Flaschen eingekauft, und die gesuchte Funktionsgleichung ist b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Funktionsgleichung aus a), wie viele Flaschen sich nach Tagen im Kühlraum befinden Da die Funktionsgleichung die Zahl der Flaschen in Abhängigkeit von den vergangenen Tagen beschreibt, muss die Zahl in die Funktionsgleichung eingesetzt werden f ) Nach vier Tagen sind noch 8 Flaschen im Kühlraum c) Bestimmen Sie mit Hilfe der Funktionsgleichung aus a), wann spätestens nachgekauft werden muss, wenn immer mindestens 0 Flaschen im Lager sein sollen Es wird die Anzahl der Tage gesucht, nach denen noch 0 Flaschen im Lager sind Es ist also folgende Gleichung zu lösen: ,6 6 : 6) Theoretisch sind nach 0,6 Tagen noch genau 0 Flaschen im Kühlraum, nach Tagen also schon weniger als 0 Es muss daher nach 0 Tagen nachbestellt werden Die Kantine der Marienschule verkauft jeden Tag 6 Flaschen Cola 8 Tage nach dem letzten Einkauf befinden sich noch Flaschen im Kühlraum a) Geben Sie die Funktionsgleichung an, die diesen Sachverhalt nach Tagen beschreibt Die allgemeine Form der Funktionsgleichung ist m Da die Anzahl der Colaflaschen abhängig von der Zahl der vergangenen Tage ist, wird auf der -Achse die Zeit in Tagen eingetragen, auf der -Achse die Zahl der vorhandenen Flaschen Der Tag des letzten Einkaufs ist der Zeitpunkt Null Der Öltank der Marienschule soll ausgetauscht werden, weil er undicht ist Aus diesem Grund muss er vollständig leergepumpt werden Nach Minuten enthält er noch genau 0 und nach weiteren 0 Minuten nur noch 0 Liter a) Bestimmen Sie die dazugehörige Funktionsgleichung Die allgemeine Form der Funktionsgleichung ist m Die Funktionsgleichung der gesuchten Funktion f beschreibt die Menge der im Öltank enthaltenen Menge Öl in Abhängigkeit von der Zeit in Minuten) Jeden Tag werden 6 Flaschen verkauft, die Steigung ist daher m 6 Für die Funktionsgleichung gilt: 6

19 Schuljahr FOS Nach Minuten sind noch 0 Liter im Tank, also ist f ) 0, dh der Punkt P / 0) ist Teil der Funktion Nach weiteren 0 insgesamt also ) Minuten sind noch 0 Liter vorhanden f ) 0, dh der Punkt P /0 ) ist ebenfalls Teil der Funktion Für die Steigung gilt damit: m 6 0 Also ist 6 Da f ) 0, gilt 6 + b b 0 b Also ist b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Funktionsgleichung aus a), wie viele Liter vorher im Tank waren Der Zeitpunkt Null ist der Moment, in dem der Pumpvorgang beginnt Will man wissen, wie viel Öl zu diesem Zeitpunkt im Tank war, muss man Null in die Funktionsgleichung einsetzen f 0) Es waren 98 Liter Öl im Tank c) Unser Hausmeister hat zum Beaufsichtigen der vollständigen Leerung nur Minuten Zeit Überprüfen Sie mit Hilfe der Funktionsgleichung aus a), ob der Tank bis dahin geleert ist Es ist zu berechnen, wie viel Öl nach Minuten noch im Tank ist f ) Das Ergebnis ist negativ, dh der Tank war vor Ablauf der Minuten schon leer Die Zeit reicht also aus