Die lineare Funktion; Steigung einer Strecke

Transkript

1 linft.nb Die lineare Funktion; Steigung einer Strecke. Steigung und Gefälle einer Strasse Einleitung: -Wie würden Sie die Steilheit einer Strasse "messen"? Wie kann man die Steilheit einer Strasse, einer Rampe, einer Seilbahnstrecke, usw. messen und mit andern solchen Strecken vergleichen? -Welche Strasse verläuft im Durchschnitt steiler? A: Start auf 00 m ü.m., Ziel auf 00 m ü.m., Streckenlänge 8 km. B: Start auf 600 m ü.m., Ziel auf 00 m ü.m., Streckenlänge 6 km. -Warum würden Sie die beiden Strassen oben als "gleich steil" bezeichnen? -Um wieviele Höhenmeter steigen Sie auf den beiden Strassen oben pro 00 m Velofahrt? -Und pro Meter Fahrt? -Eine ebenfalls gleich steile Strasse C ist km lang. Sie startet auf 00 m ü.m. Wie hoch liegt das Ziel? Unsere Ausführungen sind bis jetzt noch in einem Punkt ungenau: Was verstehen wir genau unter "Streckenlänge"? Da gibt es zwei Möglichkeiten: Wir können die effektive Länge der Strasse im Gelände messen (also die Länge, die unser Velocomputer misst, wenn wir die Strasse abfahren), oder wir messen die Länge der Strasse auf einer Landkarte (die Länge, die unser Kartenrädchen oder ein auf der Karte ausgelegter Faden misst, wenn wir die Tour auf der Landkarte planen). Das ist nicht ganz dasselbe (bei langen Strassenverläufen ist der Unterschied zwischen den beiden Messmethoden nicht sehr gross).

2 linft.nb Die wirkliche Länge der Strasse im Gelände (schräge Strecke im Bild oben; Hpotenuse) ist ein wenig länger als die auf der Karte gemessene Distanz (D im Bild oben). Sollen wir uns nun auf die "wirkliche Länge", d.h. die schräge Strecke im Raum, oder auf die auf die Karte projizierte Länge D beziehen? -Überlegen Sie sich Vor- und Nachteile dieser beiden Möglichkeiten. Aus verschiedenen Gründen bezieht man sich auf die Kartenprojektion D: -Diese "Horizontallänge" ist auf einer Karte gut zu messen. -Arbeitet man später mit Diagrammen in einem Koordinatensstem, so sind die Strecken D und D leicht ablesbar (die schräge Strecke müsste man zuerst mit dem Satz von Pthagoras berechnen). Warum haben wir Strasse A und B als gleich steil betrachtet? Wohl weil wir intuitiv spüren, dass wir beim Befahren beider Strassen mit dem Velo in jedem Zeitpunkt die "gleiche Anstrengung" vollbringen müssen. Wir werden auch den gleichen Gang einschalten. Bei Strasse A dauert unsere Anstrengung einfach länger. Was ist zahlenmässig gleich an beiden Situationen? A: Höhendifferenz D = 800 m. Als Länge nehmen wir jetzt die Horizontallänge: D = 8000 m. B: D = 600 m. D = 6000 m. Die beiden "Steigungsdreiecke" im Bild oben sind ähnlich. Das bedeutet, dass das Verhältnis D ÅÅÅÅÅÅÅ gleich bleibt: 800 m : 8000 m = 0. = 600 m : 6000 m. D

3 Was ist zahlenmässig gleich an beiden Situationen? A: Höhendifferenz D = 800 m. Als Länge nehmen wir jetzt die Horizontallänge: D = 8000 m. B: D = 600 m. D = 6000 m. Die beiden "Steigungsdreiecke" im Bild oben sind ähnlich. Das bedeutet, dass das Verhältnis D ÅÅÅÅÅÅÅ gleich bleibt: 800 m : 8000 m = 0. = 600 m : 6000 m. D Auf beiden Strassen gewinnen wir pro Meter Velofahrt also 0. m an Höhe. Wir können auch den Höhengewinn pro 00 m Fahrt (00 m bezogen auf die Landkarte) berechnen: 0 m. Auf 00 Kartenmeter steigt die Strasse 0 m an. Das drückt die Strassentafel mit der Angabe "0% Steigung" aus. linft.nb Steigung 0. bedeutet: 0. m Höhengewinn pro Kartenmeter. Steigung 0% bedeutet: 0 m Höhengewinn pro 00 Kartenmeter. Beides ist natürlich dieselbe Steilheit. 0. ist ja auch gleich 0%. Wir legen also die Steilheit einer Strasse, einer Rampe oder einer Seilbahnstrecke so fest: Steigung als Bruchzahl: m = Steigung in Prozenten: m = Höhenunterschied ÄÄÄÄÄÄÄÄ D horizontale Strecke = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄ D Höhenunterschied ÄÄÄÄÄÄÄÄ horizontale Strecke 00 % ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Beispiel : horizontale Strecke = 600 m. Höhenunterschied = 0 m ï Steigung = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 0.0 = %. Beispiel : Steigung = 8 %. Horizontale Strecke =. km. Höhenunterschied 0.8 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ï = 00 [m] 0.8 = 70 m. 00 % Steigung = Steigung, d.h. ÅÅÅÅÅÅÅÅ D h D Steigungswinkel =. =, d.h. Dh = D, d.h.

4 linft.nb 00 % Steigung = Steigung, d.h. ÅÅÅÅÅÅÅÅ D h D Steigungswinkel =. =, d.h. Dh = D, d.h. m = h Aufgaben:. Berechnen Sie die fehlenden Grössen: Höhenunterschied Horizontalstrecke Steigung als Bruch Steigung in % 0 m 00 m m %... 7 m....% 8 m 6 m m Höhe Ort A: 0 m ü.m Höhe Ort B: 780 m ü.m. êêêêê Luftlinie AB auf der Karte:.7 km. Durchschnittliche Steigung?...

5 linft.nb. Punkte und Geraden im Koordinatensstem A B H C D F E G Aufgabe Bestimmen Sie die Koordinaten ( ) der Punkte A bis H. Beispiel: A (-6 ) A( ) B( ) C( ) D( ) E( ) F( ) G( ) H( ) Punkt C ist der Koordinatenursprung, d.h. der Punkt mit den Koordinaten (0 0). Die Steigung einer Geraden zwischen zwei Punkten im Koordinatensstem Man betrachtet die Gerade in Leserichtung von links nach rechts. Steigt sie in dieser Richtung an Printed (â), b Mathematica so gibt for man Students der Steigung ein positives Vorzeichen. Fällt sie in dieser Richtung (ä), so gibt man der Steigung ein negatives Vorzeichen.

6 linft.nb 6 Die Steigung einer Geraden zwischen zwei Punkten im Koordinatensstem Man betrachtet die Gerade in Leserichtung von links nach rechts. Steigt sie in dieser Richtung an (â), so gibt man der Steigung ein positives Vorzeichen. Fällt sie in dieser Richtung (ä), so gibt man der Steigung ein negatives Vorzeichen. Steigung m = -Unterschied ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ -Unterschied = D D Das Zeichen "D" (grosses griechisches Delta) bedeutet "Differenz". D ist die Differenz der -Werte von Endpunkt und Anfangspunkt, d.h. - (= Höhenunterschied). D ist die Differenz der -Werte von Endpunkt und Anfangspunkt, d.h. - (= Horizontalunterschied). Aufgabe Bestimmen Sie die Steigung der Geraden zwischen den angegebenen Punkten (siehe Diagramm oben). Beachten Sie auch das richtige Vorzeichen (steigend / fallend). Beispiel: Strecke HG: m = - ÅÅÅÅ, Gerade fallend 7 AH: m = AC: m = HG: m = DE: m = CF: m = FG: m = CH: m = Aufgabe Bestimmen Sie die Steigung der beiden Geraden g und g.

7 linft.nb 7 g g Lösung: g : m = ÅÅÅÅÅÅÅ D D = - ÅÅÅÅ 9 = - ÅÅÅÅ. In Worten: "9 nach rechts () und nach unten ()" g : m = D ÅÅÅÅÅÅÅ D = ÅÅÅÅ 8 = ÅÅÅÅ. In Worten: "8 nach rechts () und nach oben ()" Die Dreiecke nennt man Steigungsdreiecke. Aufgabe Bestimmen Sie die Steigung der Hpotenuse der folgenden Steigungsdreiecke:

8 linft.nb 8 Lösungen: oben: - ÅÅÅÅ ; - ÅÅÅÅ ; mitte: ; ÅÅÅÅ ; unten: - ÅÅÅÅ 6 ; - Berechnung der Steigung aus zwei Punkten A( ) und B( ): D = - ; D = - ; m = D ÅÅÅÅÅÅÅ D = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -. Geometrische Bestimmung der Steigung aus zwei Punkten A und B: Man zeichne ein Steigungsdreieck. A(- -) = - (-) = 7 = - - (-) = - B( -) g Regel: Steigung zwischen zwei Punkten mit Koordinaten A ( ) und B ( ): m = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - Aufgabe Bestimmen Sie die Steigung der folgenden Strecken rein rechnerisch und geometrisch durch Zeichnen von Steigungsdreiecken: Beispiel: Gerade CD: D = - (-) = ; D = - (-) = ï m = D ÅÅÅÅÅÅÅ D = ÅÅÅÅ a) BA m =

9 Aufgabe Bestimmen Sie die Steigung der folgenden Strecken rein rechnerisch und geometrisch durch Zeichnen von Steigungsdreiecken: linft.nb 9 Beispiel: Gerade CD: D = - (-) = ; D = - (-) = ï m = D ÅÅÅÅÅÅÅ a) BA m = b) BD m = c) CA m = d) AD m = e) BC m = D = ÅÅÅÅ B(- ) D( ) A(0 0) Lösungen: a) 0 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 0 - H-L = ÅÅÅÅÅÅÅ - C(- -) = - b) - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - H-L = ÅÅÅÅÅÅÅ - c) ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 0 - H-L 0 - H-L = ÅÅÅÅ = d) ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ e) - - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - - H-L = ÅÅÅÅÅÅÅ - = - Aufgabe 6 Bestimmen Sie die Steigung der folgenden Geraden, indem Sie passende Steigungsdreiecke zeichnen.

10 linft.nb 0 Lösungen: a) - ÅÅÅÅ b) - ÅÅÅÅ = -. c) d) ÅÅÅÅ Die Steigungsdreiecke können verschieden gross gewählt werden. Die Steigungsdreiecke der gleichen Geraden sind aber alle ähnlich zueinander. Das bedeutet gleichzeitig, dass der Quotient ÅÅÅÅÅÅÅ D bei all diesen Dreiecken derselbe ist. D Im Beispiel unten ist dieser Quotient, d.h. die Steigung gleich - ÅÅÅÅ = - ÅÅÅÅ 6. Die Steigung einer Geraden gibt ihre "Steilheit" an. Sie ist eine reine Zahl (ein Bruch, eine Kommazahl, eine ganze Zahl) Printed oder b Mathematica eine Prozentzahl. for Students Sie ist ein Mass für die Steilheit.

11 linft.nb Die Steigung einer Geraden gibt ihre "Steilheit" an. Sie ist eine reine Zahl (ein Bruch, eine Kommazahl, eine ganze Zahl) oder eine Prozentzahl. Sie ist ein Mass für die Steilheit. Haben - und -Achse die gleichen Einheitslängen, so sind den Steigungen folgende Winkel zugeordnet: m = : Winkel ansteigend 0 m < : Winkel < ansteigend ("flach") m > : Winkel > ansteigend ("steil") m = - : Winkel abfallend -< m 0: Winkel < abfallend ("flach") m < -: Winkel > abfallend ("steil") m = 0: Horizontale Gerade, Steigung 0 m = : Senkrechte Gerade, Steigung (unendlich).. Die lineare Funktion Das Bild zeigt eine Reihe von Punkten, die auf einer Geraden liegen. Die Koordinaten dieser Punkte hängen auf besondere Weise zusammen. Wir stellen dies in einer Wertetabelle dar: -Wert:

12 linft.nb Das Bild zeigt eine Reihe von Punkten, die auf einer Geraden liegen. Die Koordinaten dieser Punkte hängen auf besondere Weise zusammen. Wir stellen dies in einer Wertetabelle dar: -Wert: Wert: Der -Wert ist hier stets das Doppelte des -Wertes. Wir drücken dies so aus: = (" ist das Doppelte von "). Dies nennt man die Funktionsgleichung der Geraden. Man nennt = auch eine lineare Funktion. Im Koordinatensstem stellt diese Funktion eine Gerade dar (deshalb der Name lineare Funktion). Können wir aus der Funktionsgleichung = auch die Steilheit ablesen? Ja, die Steilheit wird durch die Zahl, die beim Buchstaben steht, angezeigt. Der Koeffizient gibt gewissermassen den "Übersetzungsfaktor" von nach an: Pro -Einheit nach rechts geht's -Einheiten nach oben. Zusammenfassung: = m stellt im Koordinatensstem eine Gerade mit Steigung m dar. Sie geht durch den Punkt (0 0). Beispiele: = steigende Gerade mit Steigung = ÅÅÅÅ = - fallende Gerade mit Steigung - = - ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ steigende Gerade mit Steigung ÅÅÅÅ = - ÅÅÅÅ fallende Gerade mit Steigung - ÅÅÅÅ = steigende Gerade mit Steigung (denn = bedeutet ja = ) = - fallende Gerade mit Steigung - (denn = - bedeutet = - ) = -7. sehr steil fallende Gerade mit Steigung - ÅÅÅÅÅÅ =. steigende Gerade mit Steigung ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅ 7 = 0 = 0: waagrechte Gerade (-Achse), Steigung 0. Wie zeichnen Sie Geraden ins Koordinatensstem ein?

13 = - ÅÅÅÅ fallende Gerade mit Steigung - ÅÅÅÅ = steigende Gerade mit Steigung (denn = bedeutet ja = ) = - fallende Gerade mit Steigung - (denn = - bedeutet = - ) = -7. sehr steil fallende Gerade mit Steigung - ÅÅÅÅÅÅ =. steigende Gerade mit Steigung ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅ 7 = 0 = 0: waagrechte Gerade (-Achse), Steigung 0. linft.nb Wie zeichnen Sie Geraden ins Koordinatensstem ein? Beispiel : =. Verwandeln Sie die Steigung in einen Bruch: = ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ 7 D. Die Steigung ist ÅÅÅÅÅÅÅ D = ÅÅÅÅ 7. Das bedeutet: In -Richtung nach rechts und in -Richtung 7 nach oben. Beispiel : = -. = - ÅÅÅÅ = - ÅÅÅÅ. Steigung m = - ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅ -. In -Richtung nach rechts und in -Richtung nach unten. Aufgabe 7 Zeichnen Sie in untenstehendes Koordinatensstem die folgenden linearen Funktionen (Geraden) ein. Verwandeln Sie dazu die Steigungen m zuerst in Brüche. a) =. b) = c) =. d) = 0. e) = -0.7 f) = - ÅÅÅÅ g) = Aufgabe 8 Füllen Sie die Tabelle aus: g: m als m als D D

14 linft.nb Aufgabe 8 Füllen Sie die Tabelle aus: g: m als m als D D Dezimalzahl Bruch õ ò = ÅÅÅÅÅÅÅ = = = = 0 = Übersetzen Sie die folgenden Steigungszahlen in Wort-Anweisungen. Beispiel: m = -.7 = - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ. In Worten: " nach rechts und nach unten." = - m = -. = In Worten:...nach rechts und...nach.... m = 0.8 = In Worten:...nach rechts und...nach.... m = -. = In Worten:...nach rechts und...nach.... m = -0. = In Worten:...nach rechts und...nach.... m =. = In Worten:...nach rechts und...nach.... m =. = In Worten:...nach rechts und...nach....

15 linft.nb Diagramme mit Sorten Fr. Preis-Mengen-Diagramm Fr. Fahrpreis-Diagramm kg km Fr. Gesprächstarif-Diagramm km Weg-Zeit-Diagramm 0 0 min h Aufgabe 9 In den Diagrammen entspricht nicht mehr jedem Häuschen eine Einheit. Deshalb kann die Steigung nicht mehr ohne Weiteres grafisch abgelesen werden. Versuchen Sie, folgende Fragen zu beantworten: a) Preis-Mengen-Diagramm: Wieviel kostet kg des dargestellten Produktes? Wie gross ist die Steigung? Wie lautet die Funktionsgleichung ( = Preis in Fr., = Menge in kg)? b) Fahrpreis-Diagramm: Wie teuer ist eine Fahrt von km Länge? Steigung? Funktionsgleichung ( = Fahrpreis in Fr., = Fahrstrecke). c) Gesprächstarif-Diagramm: Wie teuer ist eine Gesprächsminute? Steigung? Funktionsgleichung ( = Gesprächskosten in Fr., = Gesprächsdauer)? d)* Weg-Zeit-Diagramm ("grafischer Fahrplan"): Welche Strecke fährt das Fahrzeug in h 0 min (= ÅÅÅÅ h)? Welche Strecke in h?

16 b) Fahrpreis-Diagramm: Wie teuer ist eine Fahrt von km Länge? Steigung? Funktionsgleichung ( = Fahrpreis in Fr., = Fahrstrecke). linft.nb 6 c) Gesprächstarif-Diagramm: Wie teuer ist eine Gesprächsminute? Steigung? Funktionsgleichung ( = Gesprächskosten in Fr., = Gesprächsdauer)? d)* Weg-Zeit-Diagramm ("grafischer Fahrplan"): Welche Strecke fährt das Fahrzeug in h 0 min (= ÅÅÅÅ h)? Welche Strecke in h? Wie gross ist die Geschwindigkeit des Fahrzeugs in km / h? Steigung? Funktionsgleichung ( = gefahrene Strecke, = benötigte Zeit)? Aufgabe 0 Was bedeutet in den obigen Diagrammen jeweils die Steigung konkret? Preis-Mengen-Diagramm: m = Kilopreis Fahrpreis-Diagramm: m =... Gesprächstarif-Diagramm: m =... Weg-Zeit-Diagramm: m =... Lösungen: 9a) kg kostet.0 Fr. m = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ.0 =.. =. b) km Fahrt kostet.60 Fr. m = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ.60 =.6 =.6 c) min kostet 0.0 Fr. m = ÅÅÅÅÅÅ = 0. = 0. 0 d) In ÅÅÅÅ h = ÅÅÅÅ 70 km h fährt das Fahrzeug 70 km. In h fährt es ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ km =. km. Die Geschwindigkeit v beträgt. km / h. Steigung m = ÅÅÅÅÅÅ 70 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 70 =.. ÅÅÅÅ Die Steigung gibt die Geschwindigkeit des Fahrzeugs an. =. [ in km, in h] 0a) m = Kilopreis b) m = Kilometertae c) m = Minutentarif d) m = Geschwindigkeit Beachten Sie die Berechnung der Steigung in Aufgabe 9d: m = 70 ÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 70 =.. Das ergibt die Geschwindigkeit in km / h. Die Funktionsgleichung für die Berechnung des Wegs aus der Zeit lautet: =. (Weg = Geschwindigkeit Zeit). Wäre die -Skala in Minuten geeicht gewesen, so hätte sich eine andere Steigung und eine andere Funktion ergeben:

17 Beachten Sie die Berechnung der Steigung in Aufgabe 9d: m = 70 ÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 70 =.. Das ergibt die Geschwindigkeit in km / h. Die Funktionsgleichung für die Berechnung des Wegs aus der Zeit lautet: =. (Weg = Geschwindigkeit Zeit). linft.nb 7 Wäre die -Skala in Minuten geeicht gewesen, so hätte sich eine andere Steigung und eine andere Funktion ergeben: km Weg-Zeit-Diagramm 0 60 min Hier ist die -Skala in Minuten geeicht. Die Steigung ist hier gleich ÅÅÅÅÅÅ = Die Geschwindigkeit ist gleich 0.87 km / min. Das ist natürlich dieselbe Geschwindigkeit wie oben, nur diesmal in km / min statt in km / h angegeben. Die Funktionsgleichung mit km und min als Einheiten lautet: = Bei Diagrammen mit Sorten muss die Eichung der - und -Skala berücksichtigt werden, wenn man Steigung und Funktionsgleichung bestimmen will. Hier entspricht nicht mehr unbedingt der Steigung. Die allgemeine lineare Funktion = m + q Die allgemeine lineare Funktion hat die Form = m + q. Als Bild: Die Gerade = m wird in -Richtung um den Wert q verschoben. Es entsteht eine dazu parallele Gerade. q nennt man -Achsenabschnitt. q kann positiv oder negativ sein. Bemerkung: In verschiedenen Büchern und Aufgabenstellungen werden für die allgemeine lineare Funktion auch andere Buchstaben verwendet: = m + q (Steigung m, -Achsenabschnitt q) = a + b (Steigung a, -Achsenabschnitt b) = m + b (Steigung m, -Achsenabschnitt b). Dies soll Sie nicht verwirren.

18 linft.nb 8 = 0. + q= q= - = 0. = 0. - Aufgabe Erstellen Sie zur Funktion = 0. + eine Wertetabelle: Aufgabe Gegeben ist die Gerade g: = - 0. Ein Punkt P, der auf g liegt, muss mit seinen Koordinaten die Gleichung "erfüllen". Beispiel: P ( -): Wir setzen die Koordinaten = - und = in der Gleichung von g ein: - = - 0. Die Gleichung stimmt nicht ï P g. Q(8 ): =, = 8 einsetzen: = 8-0,, Q œ g. Welche der folgenden Punkte liegen auf g, welche nicht? A(0-0) B(- -9) C(- ) Aufgabe Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen der folgenden Funktionen, indem Sie m und q ablesen. m können Sie mit Hilfe der beiden markierten Punkte berechnen: m = D ÅÅÅÅÅÅÅ D.

19 linft.nb Lösungen a) m = ÅÅÅÅÅÅ =.; q = -; =. - 0 b) m = - ÅÅÅÅÅÅ 7 ; q = 7; = - ÅÅÅÅÅÅ c) m = ÅÅÅÅÅÅ ; q = ; = ÅÅÅÅÅÅ d) m = - ÅÅÅÅÅÅ = -; q = ; = - + Eplizite Form der Geradengleichung und andere Formen Ist die Gerade g in der Form g: = m + q gegeben, so können Steigung und -Achsenabschnitt sofort abgelesen werden. Die Funktion kann dann rasch gezeichnet werden. Diese Form nennt man die eplizite Form der Geradengleichung. Es ist die nach aufgelöste Form der Gleichung. Ist die Gleichung in einer andern Form gegeben und will man m und q ablesen, so muss man diese Form zuerst in die eplizite Form verwandeln. Beispiel: = -.

20 Diese Form nennt man die eplizite Form der Geradengleichung. Es ist die nach aufgelöste Form der Gleichung. linft.nb 0 Ist die Gleichung in einer andern Form gegeben und will man m und q ablesen, so muss man diese Form zuerst in die eplizite Form verwandeln. Beispiel: = -. Umwandeln: = - ó + = ó = - ó = ÄÄÄÄ - 7 ï m = 0.; q = -7.. Selbsttest Markieren ( ) Sie die graue Bo, wenn Sie die entsprechende Fertigkeit sicher beherrschen: Sie wissen, dass = m + q grafisch eine Gerade darstellt mit Steigung m und -Achsenabschnitt q. Sie können diese Gerade in einem Koordinatensstem zeichnen und können mit positiven und negativen m und q umgehen. Sie wissen, dass ein Punkt, wenn er auf der Geraden liegt, diese Geradengleichung erfüllt (Einsetzen der Koordinaten und des Punktes in die Geradengleichung). Sie können aus dem Graphen (=grafische Darstellung) einer linearen Funktion die Funktionsgleichung ablesen, d.h. sie können die Steigung m und den -Achsenabschnitt q herauslesen und die Funktionsgleichung = m + q bilden. Sie können Preis-Mengendiagramme zeichnen und wählen selber eine zweckmässige Skala (-Achse = Menge, -Achse = Preis). Sie wissen, dass für eine Ursprungsgerade q = 0 ist, d.h. dass die Funktionsgleichung lediglich die Form = m hat. Sie wissen, dass positives m eine steigende und negatives m eine fallende Gerade erzeugt (immer in Leserichtung interpretiert). Sie kennen die Begriffe "lineare Funktion", "Gleichung einer Geraden", "Funktionsgleichung", "Steigung m", "-Achsenabschnitt q", "Koordinate eines Punktes", "Ursprungsgerade", "-Achse", "-Achse", "Steigungsdreieck". Sie wissen, dass man m und q Printed nur in b Mathematica der "epliziten for StudentsForm" = m + q ablesen kann. Eine andere Form, z.b. + = 8, muss man zuerst in die eplizite Form verwandeln: = ó = - ÅÅÅÅ +

21 Sie kennen die Begriffe "lineare Funktion", "Gleichung einer Geraden", "Funktionsgleichung", "Steigung m", "-Achsenabschnitt q", "Koordinate eines Punktes", "Ursprungsgerade", "-Achse", "-Achse", "Steigungsdreieck". linft.nb Sie wissen, dass man m und q nur in der "epliziten Form" = m + q ablesen kann. Eine andere Form, z.b. + = 8, muss man zuerst in die eplizite Form verwandeln: = ó = - ÅÅÅÅ + ï m = -., q = +. Sie können eine Gleichung wie + = 8 in die eplizite Form umwandeln, um m und q abzulesen und den Graphen zu zeichnen.. Aufgaben Aufgabe : Eine Gerade g geht durch A ( ) und B ( 0). a) Wie gross ist die Steigung von g? b) Zeichnen Sie A, B und g in ein Koodinatensstem ein. Können Sie den -Achsenabschnitt q bestimmen? Lösung rechnerisch: m = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅ -. Wir haben also bereits: g: = - ÅÅÅÅ + q. Wie gross ist q? Wir setzen die Koordinaten von A oder von B ein. Nehmen wir z.b. die Koordinaten von B ( = ; = 0): 0 = - ÅÅÅÅ + q. ó 0 = -6 + q. ó q = 6. Es ergibt sich: g: = - ÄÄÄÄ + 6. c) Eine zu g parallele Gerade h geht durch P (- ). Wie lautet die Gleichung von h? Lösung rechnerisch: Idee: Da h g, hat h die gleiche Steigung wie g, also - ÅÅÅÅ. Wir haben also bereits: h: = - ÅÅÅÅ + q. Einsetzen von P (- ) ergibt: = - ÅÅÅÅ (-) + q ó = ÅÅÅÅ 9 + q ó -. = q ó 0. = q. Die Gleichung von h lautet somit: h: = oder = - ÅÅÅÅ + ÅÅÅÅ. Aufgabe : Von zwei Telefonanbietern weiss man: Anbieter A: Grundgebühr: Fr..-- Kosten pro Gesprächsminute: Fr..-- Anbieter B: Grundgebühr: Fr..-- Kosten pro Gesprächsminute: Fr. 0.0 a) Notieren Sie für beide Anbieter die Funktionsgleichung.

22 linft.nb Aufgabe : Von zwei Telefonanbietern weiss man: Anbieter A: Grundgebühr: Fr..-- Kosten pro Gesprächsminute: Fr..-- Anbieter B: Grundgebühr: Fr..-- Kosten pro Gesprächsminute: Fr. 0.0 a) Notieren Sie für beide Anbieter die Funktionsgleichung. b) Zeichnen Sie die Funktionen im Koordinatensstem ein. c) Berechnen Sie bei welcher Gesprächsdauer die beiden Anbieter gleich teuer sind.

23 linft.nb Lösung: A: = + = + B: = 0. + A B Gleichsetzen: + = 0. + ó 0. = 0 ó = 0 min. Einsetzen von 0 min: = 0 + = Fr. Lösung: (0 min Fr.) Schnittpunkt zweier Geraden und Gleichungsssteme von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Problemstellung Gegeben sind zwei Gleichungen mit den Unbekannten und. Beispiel: (): - = 9 (): = ÅÅÅÅ Gesucht sind ein und ein so, dass gleichzeitig beide Gleichungen erfüllt sind, wenn diese Lösungen eingesetzt werden. Grafisch stellen () und () zwei Geraden im Koordinatensstem dar. Die Lösung ( ) stellt den Punkt dar, der auf beiden Geraden liegt, d.h. den Schnittpunkt. Im Folgenden lösen wir solche Aufgaben sowohl grafisch -durch Zeichnen der beiden Geraden und Ablesen des Schnittpunktes- als auch rein rechnerisch. Wenden wir uns zunächst der grafischen Lösung zu. Aufgabe Lösen Sie obiges Gleichungssstem grafisch, indem Sie jede Gleichung in die eplizite Form = m + q umwandeln und die beiden Geraden ins Koordinatensstem einzeichnen.

24 linft.nb Aufgabe Lösen Sie obiges Gleichungssstem grafisch, indem Sie jede Gleichung in die eplizite Form = m + q umwandeln und die beiden Geraden ins Koordinatensstem einzeichnen. Schritt : Umwandeln in die eplizite Form: (): - 9 = ó = ÅÅÅÅ -. () liegt schon in der gewünschten Form vor. Schritt : Einzeichnen ins Koordinatensstem: (): m = ÅÅÅÅ (" nach rechts, nach oben"), q = - (): m = ÅÅÅÅ (" nach rechts, nach oben"), q = 0. Sie finden den Schnittpunkt grafisch. Es ist P( ). Nun lösen wir das gleiche Problem rein rechnerisch. Wieder gehen wir von den epliziten Formen der Gleichungen aus: (): = ÅÅÅÅ - (): = ÅÅÅÅ. Die gesuchten und -Werte sollen für beide Gleichungen gleichzeitig gelten. Da beide Gleichungen nach aufgelöst sind, können wir die rechten Seiten einander gleichsetzen: ÅÅÅÅ - = ÅÅÅÅ ó - 9 = ó = 9 ó =.

25 (): = ÅÅÅÅ - (): = ÅÅÅÅ. linft.nb Die gesuchten und -Werte sollen für beide Gleichungen gleichzeitig gelten. Da beide Gleichungen nach aufgelöst sind, können wir die rechten Seiten einander gleichsetzen: ÅÅÅÅ - = ÅÅÅÅ ó - 9 = ó = 9 ó =. Diese Lösung = setzen wir nun in () oder () ein und erhalten dann das : (): = ÅÅÅÅ =. Wir finden somit wieder =, = oder den Koordinatenpunkt ( ). Zusammenfassung: Gleichsetzungsverfahren: Wir bringen beide Gleichungen in die eplizite Form = a + b und = c + d und setzen -da die linken Seiten gleich sind- auch die rechten Seiten einander gleich: a + b = c + d. Diese Gleichung lösen wir nach auf. Die Lösung setzen wir in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen ein und erhalten dann. Aufgabe Lösen Sie die folgenden Gleichungsssteme sowohl grafisch als auch rechnerisch mit Hilfe des Gleichsetzungsverfahrens: a) (): = - (): =

26 linft.nb 6 Lösung: =, = 8 b) (): = 0 (): 0. - = Lösung: =, = -

27 linft.nb 7 c) (): + = 0 (Gleichung kürzen!) (): - 0 = 0 (Gleichung kürzen!) Lösung: = ÅÅÅÅ, = - ÅÅÅÅ Aufgabe Lösen Sie rein rechnerisch mit dem Gleichsetzungsverfahren: a) (): = -. (): = 0. - b) (): + = (): - = c) (): - - = 0 (): - - = 0 Lösungen: a) = -; = -. b) = ; = c) = ; = 6

28 linft.nb 8 Das Additions- oder Subtraktionsverfahren Beispiel: (): + 7 = 6 (): 6 - = -8 Wir multiplizieren Gleichung () mit und Gleichung () mit 7: ('): + = 8 ('): - = -6 Nun addieren wir die beiden Gleichungen: ('): + = 8 ('): - = (): 7 = -8 ó = - ÅÅÅÅ. Dies setzen wir z.b. in () ein: (- ÅÅÅÅ -0 ) + 7 = 6 ó ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + 7 = 6 ó -0 + = 8 8 ó = 8 ó = ÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ = - ÅÅÅÅ ; = ÅÅÅÅ = Vorgehen: Man multipliziert eine der Gleichungen oder beide mit geeigneten Faktoren, so dass beim Addieren oder Subtrahieren der Gleichungen eine Variable herausfällt. Beispiel: (): 9-7 = 0 (): + = (): 9-7 = 0 7 (): +7 = (): 0 = ó = ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ + = ó ÅÅÅÅÅÅ + = ó + = 0 ó = - ó = - ÅÅÅÅ

29 () - = 6 () - +6 = 0 (): 9-7 = 0 7 (): +7 = (): 0 = ó = ÅÅÅÅ linft.nb 9 ÅÅÅÅ + = ó ÅÅÅÅÅÅ + = ó + = 0 ó = - ó = - ÅÅÅÅ Beispiel: Manchmal ist auch Subtrahieren der Gleichungen eine gute Möglichkeit: (): + = + (): - = ()-(): - (-) = - (-) ó 8 = 8 ó = ÅÅÅÅ 9 + ÅÅÅÅ 9 = ó + ÅÅÅÅÅÅ ó = ÅÅÅÅÅÅ 8 = ó 8 + = 6 ó 8 = Anmerkung: Will man nicht subtrahieren, sondern nur addieren, kann man im Beispiel oben z.b. die Gleichung () mit (-) durchmultiplizieren: (): + = (): - + = = 8 ó = ÅÅÅÅ 9 Beispiel: (): ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ = (): ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ = -0 Lassen Sie hier doch zunächst die Nenner verschwinden, indem Sie die Gleichungen geeignet durchmultiplizieren: erste Gleichung mal 6 und zweite Gleichung mal : ('): - = 6 + ('): - 6 = (')-('): - - (-6) = 6 - (-0) ó = 6 ó = 9 ('): - 8 = 6 ó = ó = 8. Variante: Gleichung () mit (-) durchmultiplizieren und Gleichungen addieren:

30 linft.nb 0 Variante: Gleichung () mit (-) durchmultiplizieren und Gleichungen addieren: () - = 6 () - +6 = = 6 ó = 9 Aufgabe Lösen Sie nach dem Additions- oder Subtraktionsverfahren: a) (): + 7 = 6 (): - 6 = 8 b) (): = (): 6 - =. c) (): + = 0 (): 7 + = 9 Lösungen: a) 8 + = 6 b) 8-9 = 0 - oder: = = = = = ; = ; = 0 = -. ó = -.; = - ÅÅÅÅ 0 = -. ó =-. c) = = = -6; = -; = Das Einsetzverfahren Beispiel: (): + = (): = + Man setzt = + in () ein: + ( + ) = ó = ó 8 = -0 ó = - ÅÅÅÅ = - ÅÅÅÅÅÅ 0 + = - ÅÅÅÅ + = - ÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅ 0 = ÅÅÅÅ

31 d) 6 - = 8 - = 9-6 = = = 7 - = - 6 = - 6 = (): + = (): = + linft.nb Man setzt = + in () ein: + ( + ) = ó = ó 8 = -0 ó = - ÅÅÅÅ = - ÅÅÅÅÅÅ 0 + = - ÅÅÅÅ + = - ÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅ 0 = ÅÅÅÅ Vorgehen: Man löst eine der Gleichungen nach (oder ) auf und setzt den gefundenen Term in der andern Gleichung ein. Aufgabe Lösen Sie mit einem der drei Verfahren: a) 9 + = + 7 = b) = 8 + = c). - 7 = = 0. d) 6-8 = 7 - = e) = = f). + = = Lösungen: a) = = = ; = - b) + = = = ; = ÅÅÅÅ ; = ÅÅÅÅ c). - 7 = = = = = 0.; = 0.

32 + = linft.nb = ; = ÅÅÅÅ ; = ÅÅÅÅ c). - 7 = = = = = 0.; = 0. d) 6 - = 8 - = 9-6 = = = 7 - = - 6 = - 6 = = - = -; = -. e) + 8 = = 6 - = = = -; = - ÅÅÅÅÅÅ = - ÅÅÅÅ 8 7. = ÅÅÅÅÅÅ 9 7 f) = 00-8 = = 0; = ÅÅÅÅÅÅÅÅ 0 = ÅÅÅÅÅÅ ; = ÅÅÅÅÅÅ Geradengleichung aus Punkt und Steigung bzw. aus zwei Punkten Gegeben ist ein Punkt P(- -) und die Steigung m = 0.7. Gesucht ist die Gerade g, die durch den Punkt P läuft und die Steigung m hat. P Vorgehen: Wir setzen in der Geradengleichung alle Informationen ein, die wir schon kennen - in unserem Fall die Steigung ÅÅÅÅ : g: = ÅÅÅÅ + q. Nun ist noch q zu berechnen. Dazu setzen wir in obiger Gleichung die

33 linft.nb Vorgehen: Wir setzen in der Geradengleichung alle Informationen ein, die wir schon kennen - in unserem Fall die Steigung ÅÅÅÅ g: = ÅÅÅÅ + q. Nun ist noch q zu berechnen. Dazu setzen wir in obiger Gleichung die Koordinaten von P ein: = - und = -. Diese Koordinaten erfüllen ja die Gleichung, da P auf g liegt: - = ÅÅÅÅ (-) + q. Daraus lässt sich q berechnen: - = - ÅÅÅÅÅÅ + q ó -8 = - + q ó 7 = q ó q = 7 ÅÅÅÅ. Die Gleichung von g lautet demnach: g: = ÅÅÅÅ + ÅÅÅÅ 7. Parallele zu einer gegebenen Geraden durch einen gegebenen Punkt Gegeben eine Gerade g: = Gegeben ist ferner ein Punkt P( ). P liegt nicht auf g. Gesucht ist eine Parallele h zu g, die durch P läuft. Idee: Eine Parallele zu g hat die gleiche Steigung wie g! : Das Vorgehen ist dasselbe wie oben: Wir kennen von h die Steigung, nämlich 0., und wir kennen den Punkt P auf h: h: = ÅÅÅÅ + q P einsetzen: = ÅÅÅÅ + q ó = + q ó = q. h: = ÅÅÅÅ +. Gerade durch zwei gegebene Punkte P und Q Gegeben P(- ) und Q(8 ). Gesucht ist die Gerade g, die durch P und Q läuft. Vorgehen: Wir können die Steigung m aus den beiden Punkten berechnen: m = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -Unterschied ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -Unterschied = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 8 - H-L = ÅÅÅÅÅÅ 0 = ÅÅÅÅ 7 Wir kennen somit bereits einen Teil der Geradengleichung:

34 linft.nb Vorgehen: Wir können die Steigung m aus den beiden Punkten berechnen: m = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -Unterschied ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -Unterschied = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 8 - H-L = ÅÅÅÅÅÅ 0 = ÅÅÅÅ 7 Wir kennen somit bereits einen Teil der Geradengleichung: g: = 7 ÅÅÅÅ + q Nun gehen wir gleich vor wie früher: Wir setzen einen der beiden Punkte ein, z.b. Q: = ÅÅÅÅ q ó = ÅÅÅÅÅÅ ó q = ÅÅÅÅÅÅ 9. + q ó 7 = 6 + q ó 9 = q Wir erhalten g: = ÅÅÅÅ 7 + ÅÅÅÅÅÅ 9. Bemerkung: Berechnung der Steigung, wenn Punkte der Geraden gegeben sind: Beispiel: A( ), B( ). Anschaulich kann ich den Höhenunterschied D berechnen als "Endzustand minus Anfangszustand": Zuerst bin ich auf Höhe, am Schluss aber auf Höhe. Höhenveränderung = - =. Ich bin um Einheiten gestiegen. Verschiebung in -Richtung: D kann ich wiederum berechnen als "Endzustand minus Anfangszustand": - =. Ich habe mich um Einheiten nach rechts verschoben. B( ) A( ) Die Berechnung über "Endzustand minus Anfangszustand" funktioniert nun auch, wenn negative Koordinaten ins Spiel kommen. Beispiel: A(- ) ("Anfangszustand") und B( -) ("Endzustand"):

35 linft.nb A(- ) B( -) Die rein rechnerische Methode "Endzustand minus Anfangszustand" liefert auch hier genau die richtige Lösung: D = (-) - = -. D = - (-) = 6. Anschaulich: D = Veränderung in der Senkrechten ("Lift"): Ich befinde mich in der.etage und möchte mit dem Lift ins Stockwerk - (=.Untergeschoss) fahren. Die Liftfahrt kann ich beschreiben als "-": Fahrt um Stockwerke nach unten. Diese Zahl erhalte ich durch die Rechnung "Endzustand minus Anfangszustand", hier also durch (-) - = -. D = Veränderung in der Waagrechten ("Förderband"). Ich befinde mich bei = - und möchte die Position = erreichen. Die Fahrt des Förderbandes kann ich beschreiben als "+6": Fahrt um 6 Einheiten nach rechts. Diese Zahl erhalte ich durch die Rechnung "Endzustand minus Anfangszustand", hier also durch - (-) = 6. Aufgaben. m =, P ( ). Gesucht die Gerade mit Steigung m durch P.. m = -, P ( ). Gesucht die Gerade mit Steigung m durch P.. Suchen Sie die Gerade durch P und Q: a) P (8 ); Q (0 ) b) P ( ); Q ( 6) c) P (-6 ); Q (- ) Lösungen:. = +. = a) = - ÅÅÅÅ + 0 b) = ÅÅÅÅ + ÅÅÅÅ c) = ÅÅÅÅ + ÅÅÅÅ 9 Selbsttest Das sollten Sie können: Die Geradengleichung aus m und einem Punkt P bestimmen.

36 linft.nb 6 Selbsttest Das sollten Sie können: Die Geradengleichung aus m und einem Punkt P bestimmen. Eine zu einer gegebenen Geraden g parallele Gerade h bestimmen, die durch einen gegebenen Punkt P geht. Aus gegebenen Punkten P und Q die Steigung der Geraden durch - P und Q bestimmen durch m = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ. - Die Gerade bestimmen, die durch zwei gegebene Punkte P und Q geht Grafische Darstellung von Sachaufgaben Aufgabe Zwei Freunde, A und B, welche 60 km voneinander entfernt wohnen, brechen morgens um 7 Uhr ( = 0) auf und gehen einander entgegen. A legt in der Stunde. km zurück, B. km. Wann werden sie sich treffen? Wie viele km hat jeder dann zurückgelegt? Zeit [h] Lösung: A: Geht von km 0 aus. Achtung: Die Skalen sind verschieden geeicht.. km in h. km in 0 h: Das ergibt ein Steigungsdreieck. m =.; q = 0. Gleichung für A: =.

37 linft.nb 7 Lösung: A: Geht von km 0 aus. Achtung: Die Skalen sind verschieden geeicht.. km in h. km in 0 h: Das ergibt ein Steigungsdreieck. m =.; q = 0. Gleichung für A: =. B: Geht von km 60 aus mit negativer Geschwindigkeit.. km in h; km in 0 h. B ist dann bei km 60 - =. Das ergibt die Grafik von B. m = -.; q = 60. Gleichung für B: = Treffpunkt rechnerisch: gleichsetzen:. = ó 8 = 60 ó = 7. h ö Treffpunktzeit:.0 Uhr. =. 7. = 6. km Entfernung vom Startpunkt von A; das sind (60-6.) km =.7 km Entfernung vom Startpunkt von B Zeit [h] Aufgabe Eine Taifahrt von 0 km kostet Fr., eine solche von km bei der gleichen Firma mit dem gleichen Tarif 7 Fr. Tragen Sie diese beiden Punkte in der Grafik ein und berechnen Sie die Gleichung der Geraden. Bestimmen Sie daraus die Grundtae und die Kilometertae.

38 linft.nb Strecke [km] Lösung: 7 0 Strecke [km] Die Steigung ist ÅÅÅÅ 6. = ÅÅÅÅ 6 + q. q ergibt sich grafisch zu 9 Fr. = ÅÅÅÅ ist die "Tarifgleichung" dieses Taiunternehmens: Grundtae 9 Fr., Kilometertae ÅÅÅÅ 6 Fr. =.0 Fr.

39 linft.nb 9 Die Steigung ist ÅÅÅÅ 6. = ÅÅÅÅ 6 + q. q ergibt sich grafisch zu 9 Fr. = ÅÅÅÅ ist die "Tarifgleichung" dieses Taiunternehmens: Grundtae 9 Fr., Kilometertae ÅÅÅÅ 6 Fr. =.0 Fr. Rechnerische Bestimmung von q: In = ÅÅÅÅ 6 + q den Punkt (0 ) einsetzen: = ÅÅÅÅ q ó = + q ó q = 9. Aufgabe Produktion eines Artikels: Fikosten monatlich 000, Produktionskosten pro Stück. Verkaufspreis pro Stück: 7.0. Funktion g : = Gesamterlös in, = verkaufte Stückzahl. Funktion g : = gesamte Produktionskosten: = produzierte Stückzahl. Bei welcher produzierten Stückzahl sind Kosten und Erlös gleich gross (Nutzenschwelle)? (Skala: 00 Stück õ H; 00 õ H.) [ ] [St.] Lösung: Zeichnen von g : 000 Stück bringen Printed b 700 Mathematica Erlös. for Students g : = 7. (Erlös) Zeichnen von g : Start bei 000. Steigung, d.h. pro 000 Stück 000 nach

40 linft.nb 0 Lösung: Zeichnen von g : 000 Stück bringen 700 Erlös. g : = 7. (Erlös) Zeichnen von g : Start bei 000. Steigung, d.h. pro 000 Stück 000 nach oben. g : = (Kosten) Gleichsetzen: 7. = ó. = 000 ó = 00 [Stück] ï = oder auch = = 000 [ ]. Nutzenschwelle = 00 Stück. Von da an aufwärts: Gewinnzone, darunter Verlustzone. [ ] Verlust 000 Gewinn [St.]