Zusatzmaterialien Funktionen von R. Brinkmann

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1 Zusatzmaterialien Funktionen von R. rinkmann Kapitel. usführliche Lösungen Teil I U Stellen Sie für die ganzzahligen Werte von D eine Wertetabelle auf und zeichnen Sie den Graphen. f = Definitionsmenge D = { } estimmen Sie die Wertemenge W für die Definitionsmenge D. In welchen Punkten schneidet der Graph die Koordinatenachsen? Lösung: f = D = { } f,7,7,,7,7 f( ) = ( ) = = =,7 f = = 9 f() = = = = =, 6 f f = = = = =, 9 9 f = = = = =,7 f = = = f( ) = = = = =,7 W = {,7,7} P und P U erechnen Sie die chsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen für = + Kontrollieren Sie die Nullstelle durch Einsetzen in f(). Lösung: = + Schnittpunkt mit der chse : f = P Schnittpunkt mit der chse : = + = 9 9 = P 8 8 Probe: f 8 = + = + = + = 8 R. rinkmann z..7 8:9 Seite von

2 Zusatzmaterialien Funktionen von R. rinkmann erechnen Sie für folgende Funktionen die chsenschnittpunkte und zeichnen Sie für jede Funktion den Graphen so in ein Koordinatensstem, dass die chsenschnittpunkte zu erkennen sind. d) g) = + = = b) e) h) = + = + = + c) f) i) = = + = 7 Lösung: f = + Schnittpunkt mit der chse : f = P ( ) Schnittpunkt mit der chse : = + = = ( ) = P b) = + Schnittpunkt mit der chse : = f P Schnittpunkt mit der chse : = + = = = P ( ) c) = Schnittpunkt mit der chse : = ( ) f P ( ) Schnittpunkt mit der chse : = = + = ( ) = P R. rinkmann z..7 8:9 Seite von

3 Zusatzmaterialien Funktionen von R. rinkmann d) = Schnittpunkt mit der chse : f = P Schnittpunkt mit der chse : = = + = = P e) = + Schnittpunkt mit der chse : f = P Schnittpunkt mit der chse : = + = = = P f) = + Schnittpunkt mit der chse : = f P ( ) Schnittpunkt mit der chse : = + = = = P R. rinkmann z..7 8:9 Seite von

4 Zusatzmaterialien Funktionen von R. rinkmann g) = Schnittpunkt mit der chse : = ( ) f P Schnittpunkt mit der chse : = = + = = P h) = + Schnittpunkt mit der chse : f = P Schnittpunkt mit der chse : = + = = = 6 6 P i) 7 = 7 Schnittpunkt mit der chse : 7 7 f = P Schnittpunkt mit der chse : 7 7 = = = = 7 9 P In der Spielkiste eines Kinderhortes sind noch 7 bunte Glasmurmeln vorhanden. ei den Kindern sind die Murmeln so beliebt, dass täglich 6 davon verschwinden. Stellen Sie die Funktionsgleichung auf, die diesen Vorgang beschreibt. b) Wie lange dauert es, bis keine Murmel mehr vorhanden ist? c) Nach wie viel Tagen sind nur noch 8 Murmeln vorhanden? d) Zeichnen Sie den Funktionsgraphen in einem geeigneten Maßstab. e) Vor wie viel Tagen befanden sich in der Kiste noch Murmeln? R. rinkmann z..7 8:9 Seite von

5 Zusatzmaterialien Funktionen von R. rinkmann ufstellen der Funktionsgleichung: Die Variablen: bedeutet Tage = f ( ) bedeutet nzahl der Murmeln. f = a + a llgemeine Form der Geradengleichung Tag : f = a + 7 = 7 Tag : f () = = 6 Tag : f = = 8... Tag : f = Funktionsgleichung für die bnahme der Murmelzahl. b) Keine Murmeln mehr vorhanden bedeutet: f = = 7 Gleichung soll nach aufgelöst werden 6 = 7 : ( 6) = Nach Tagen sind keine Murmeln mehr vorhanden. c) Nur noch 8 Murmeln vorhanden bedeutet: f = = = 86 : ( 6) = Nach Tagen sind nur noch 8 Murmeln vorhanden. d) Murmeln Murmeln 7 Murmeln 8 Murmeln Tage e) Murmeln vorhanden bedeutet: f = = 7 Gleichung soll nach aufgelöst werden 6 = 8 : ( 6) = Vor Tagen waren noch Murmeln vorhanden. R. rinkmann z..7 8:9 Seite von

6 Zusatzmaterialien Funktionen von R. rinkmann erechnen Sie die chsenschnittpunkte und zeichnen Sie die Graphen ohne Wertetabelle. Verwenden Sie zum Zeichnen das Steigungsdreieck. b) c) = + = + = = + Schnittpunkt mit der chse : f = P Schnittpunkt mit der chse : = + = = ( ) = P f = + b) = + Schnittpunkt mit der chse : f = P Schnittpunkt mit der chse : = + = = = P f = + c) = Schnittpunkt mit der chse : f = P Schnittpunkt mit der chse : = = + 9 = = 9 P f = R. rinkmann z..7 8:9 Seite 6 von

7 Zusatzmaterialien Funktionen von R. rinkmann Gegeben ist eine lineare Funktion f mit f =, ;. Liegt der Punkt P(,, ) auf dem Graphen von f ( )? b) ( ) Die Punkte U u und V v liegen auf dem Graphen von f. erechnen Sie die Koordinaten von u und v. c) erechnen Sie die Nullstelle von f(). d) Für welche Werte von gilt f <? e) * estimmen Sie die Wertemenge von f, wenn D = gewählt wird. f) Die Gerade g verläuft durch den Punkt P ( ), sie entsteht durch Verschiebung der Geraden f in - Richtung. Wie lautet die Funktionsgleichung? =, ; = = = = Punktprobe für P,,. Falls f,, ist, liegt P auf dem Graphen von f. f,,,,, P,, liegt auf dem Graphen von f. b) Wenn die Punkte U und V auf dem Graphen von f liegen, dann erfüllen die Koordinaten der Punkte U und V die Funktionsgleichung f(). =, ; U( u ) f( u) =, u = +, u = :, u = : u = c) V f =, = = = = v v v v v v f =, ; nsatz: f =, = +, = :, = : = d) f =, ; f <, < Ungleichung nach auflösen, < +, < :, < : < Für < gilt f < e) = * + = { > } * D = W = { > } f, ; D eingeschränkte Definitionsmenge f = für alle - Werte > sind die Funktionswerte > + f) nsatz: P( ) g =, + a = 6 a = 6 g =, 6 Probe: P( ) g =, 6 = 6 6 = = Die Funktionsgleichung der verschobenen Geraden lautet: g =, 6 f =, ; Verschiebung bedeutet, für g ändert sich nur a g =, + a + R. rinkmann z..7 8:9 Seite 7 von

8 Zusatzmaterialien Funktionen von R. rinkmann In einem Krankenhaus werden täglich Liter Desinfektionsmittel gebraucht. Zur Zeit sind noch Liter vorhanden. Stellen Sie eine Funktionsgleichung auf, die diesen Vorgang beschreibt. Zeichnen Sie den Graphen. Verwenden Sie dazu das Steigungsdreieck. b) ei einem estand von 6 Litern wird nachbestellt. Wie lange reicht der Vorrat? ufstellen der Funktionsgleichung: Variablen: in Tage (unabhängige Variable), f() in Liter (abhängige Variable). nfangswert Liter, Änderungsrate Liter/Tag oder in Tagen 6 Liter. f = + Vorrat in Liter Liter Tage Zwei Punkte mit ganzzahligen Koordinaten: P ( ) = 6 = 8 P( 6) Mit diesen beiden Punkten lässt sich der Graph ziemlich genau zeichnen. Nach etwa 6,6 Tagen muss nachbestellt werden. b) nsatz: f = 6 Gesucht ist in Tagen, bis der Vorrat sich auf 6 Liter reduziert hat. 8 f = 6 + = 6 = 8 : ( ) = = = 6 Der Vorrat an Desinfektionsmittel reicht etwa 6,66 Tage. R. rinkmann z..7 8:9 Seite 8 von

9 Zusatzmaterialien Funktionen von R. rinkmann f = ist der Funktionsterm der linearen Funktion f. Der Punkt P( u ) liegt auf dem Graphen von f. erechnen Sie u. b) erechnen Sie die chsenschnittpunkte. Für welche - Werte gilt: f >? c) d) = { } Die Definitionsmenge von f sei D estimmen Sie W. e) Verschieben Sie den Graphen von f so, dass die verschobene Gerade g die - chse in = - schneidet. Wie lautet die Funktionsgleichung der Geraden g? b) c) d).... f = P( u ) liegt auf dem Graphen von f f ( u) = f( u) = u = + u = u = = ( ) = Schnittpunkt mit der - chse: f P Schnittpunkt mit der - chse: f = = + = = P f > > Ungleichung lösen. 9 9 > + > > Für > ist > = D = { } f = f = = W = e) = soll Nullstelle von g() sein, also P ( ) Steigung bleibt erhalten. g = + a g( s) = g( ) = ( ) + a = + a = + a = g = + g( ) entsteht aus f ( ) durch Verschiebung um LE nach oben oder um, LE nach links, denn die Differenz der Nullstellen ist + = +, =, s R. rinkmann z..7 8:9 Seite 9 von

10 Zusatzmaterialien Funktionen von R. rinkmann Der Radfahrer erzielt beim Zeitfahren eine Durchschnittsgeschwindigkeit von km/h. Radfahrer startet Minuten nach und erzielt eine Durchschnittsgeschwindigkeit von km/h. Wann und wo holt den Fahrer ein? Fertigen Sie eine Skizze an und lösen Sie das Problem durch Rechnung. Lösung: s/km s Skizze = s P ( t s ) Für Radfahrer gilt: s = v t Für Radfahrer gilt: s = v ( t ) nsatz : s = s v( t ) = vt nach t auflösen v = t Fahrzeit von bis zum Treffen. v v Wenn die Geschwindigkeiten in km/min umgerechnet werden, kann man bei der erechnung auf die Einheiten verzichten. km km km v = = = h 6 min min min t/min km km 9 km v = = = h 6 min min Radfahrer startet min später als. 9 Treffen sich beide Radfahrer, dann haben sie v die gleiche Strecke zurückgelegt (s = s ). t = t = = 9 Die Zeitzählung beginnt mit dem Start von v v Radfahrer. Nachdem Radfahrer min gefahren ist, wird er von eingeholt. eide Radfahrer haben dann eine Strecke von v t = = 8,7km zurückgelegt. 8 In eine zlinderförmige Regentonne mit m Grundfläche fließen 8 Liter pro Stunde. eschreiben Sie die Füllhöhe h in bhängigkeit von der Zeit t, wenn zu eginn ( t = ) Liter in der Tonne waren. b) Ist der Zusammenhang zwischen h und t linear, wenn die Tonne gebaucht oder kugelförmig ist? V Zlindervolumen: V = G h h = G = m = dm Liter dm G dm Funktionsgleichung für die Volumenänderung: V () t = 8 t + dm h Rechnung erfolgt ohne Einheiten, Ergebnis in dm. V() t 8 t + h() t = = =,8 t+, G b) ei gebauchter oder kugeliger Tonne ändert sich die Füllhöhe nicht linear mit der Zeit. R. rinkmann z..7 8:9 Seite von

11 Zusatzmaterialien Funktionen von R. rinkmann utofahrer fährt um 8: in Hamburg in Richtung München los. Gleichzeitig fährt utofahrer in München in Richtung Hamburg los. Die utobahnentfernung von Hamburg nach München beträgt 7 km. Fahrer fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von km/h, Fahrer mit einer von km/h. Wann und wo treffen sich beide utos auf der utobahn? Fertigen Sie von dem Sachverhalt eine Skizze an und berechnen Sie. (Hinweis: bszisse = Zeit- chse, Ordinate = Weg- chse). s/km München 7 km v = km / h v = km / h () s t = v t+ 7 s Hamburg t S( t s ) t/h : s (t) = v t Gerade mit der Steigung v : Hier wird das Weg- Zeit- Gesetz durch eine Gerade mit negativer Steigung beschrieben. Die Zeit, nach der sich beide Fahrzeuge treffen wird durch den Schnittpunkt beider Geraden gekennzeichnet. s () t = s() t v t = v t v t v t + v t = 7 ( v + v ) t = 7 : ( v + v ) In beiden Fällen ist die Geschwindigkeit ein = 7km, = 6,6km Maß für die Steigung. Nach einer Fahrzeit von etwa,77 Stunden treffen sich beide utos und zwar, km von Hamburg und 6,666 km von München entfernt t = = = =,7h v + v + 7 hat in dieser Zeit zurückgelegt: 7 s () t = v t = s 7 7 = =, (km) 7 hat in dieser Zeit zurückgelegt: s = 7km s R. rinkmann z..7 8:9 Seite von