KOMPETENZHEFT ZU LINEAREN FUNKTIONEN

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1 KOMPETENZHEFT ZU LINEAREN FUNKTIONEN 1. Aufgabenstellungen Aufgabe 1.1. Gib die Gleichung der dargestellten Gerade in Normalform an. a) b) Aufgabe 1.2. Ein Skatepark ist ein speziell für Skater/innen eingerichteter Bereich mit Startrampen und verschiedenen Hindernissen, die befahren werden können. Im einfachsten Fall ist eine Startrampe eine geneigte ebene Fläche: Ein Hersteller von Startrampen gibt folgende Maße an: Höhe H = 1,45 m, Länge L = 5,3 m. Eine Norm schreibt vor, dass die Steigung maximal 20% betragen darf. Überprüfen Sie nachweislich, ob diese Norm eingehalten wird. Aufgabe 1.3. Die steilste Straße der Welt ist laut Guinness-Buch der Rekorde [1] die Baldwin Street in Neuseeland mit einer Steigung von 35%. Berechne den Steigungswinkel der Straße. Datum: 3. Februar

2 Aufgabe 1.4. Gegeben ist eine Gerade in allgemeiner Form: 2 x + y = 3. a) Berechne die Steigung k der Gerade und den y-achsenabschnitt d der Gerade. b) Die Punkte P = (x P 5) und Q = (5 y Q ) liegen auf der Gerade. Berechne die fehlende Koordinate. c) Ermittle rechnerisch, ob der Punkt R = (3 2) auf, oberhalb oder unterhalb der Geraden liegt. d) Ermittle die Schnittpunkte dieser Geraden mit beiden Koordinatenachsen. e) Verwende das Ergebnis aus a), um die Gerade grafisch darzustellen. Kontrolliere anhand des Funktionsgraphen die berechneten Ergebnisse aus b), c) und d). Aufgabe 1.5. Aus der Wertetabelle einer linearen Funktion sind zwei Werte verschwunden: x f(x) Bestimme die fehlenden Werte rechnerisch und grafisch. Aufgabe 1.6. Die Anzahl der durchschnittlichen täglichen KFZ-Fahrten auf der Brennerautobahn kann für den Zeitraum 2000 bis 2007 durch die lineare Regressionsfunktion f beschrieben werden: f(t) = 617 t t... Zeit in Jahren mit t = 0 im Jahr 2000 f(t)... Anzahl der durchschnittlichen täglichen KFZ-Fahrten zur Zeit t Interpretieren Sie die Bedeutung des Koeffizienten 617 in diesem Sachzusammenhang. 1.1 a) y = 3 2 x + 6, b) y = 2 3 x Die Rampe hat eine Steigung von über 27%. Die Norm wird nicht eingehalten , a) k = 2, d = 3 b) P = ( 1 5), Q = (5 7) c) oberhalb d) S x = (1,5 0), Sy = (0 3) x f(x) , k = 617 entspricht der jährlichen Zunahme der durchschnittlichen täglichen KFZ-Fahrten auf der Brennerautobahn, d.h. pro Jahr steigt die Anzahl um

3 2. Geraden und Steigungsmessung Du möchtest von einem Punkt A auf einer Gerade zu einem weiter rechts liegenden Punkt B kommen. Wie verändern sich dabei die x- und die y-koordinate? Die Veränderung können wir grafisch darstellen, indem wir ein rechtwinkliges Dreieck einzeichnen. Die Länge der waagrechten ( horizontalen ) Kathete ist dann die Änderung der x-koordinate. Wenn die Gerade von links nach rechts bergauf geht, ist die Änderung der y-koordinate positiv. Die y-koordinate wird um die Länge der senkrechten ( vertikalen ) Kathete größer. Wenn die Gerade von links nach rechts bergab geht, ist die Änderung der y-koordinate negativ. Die y-koordinate wird um die Länge der senkrechten Kathete kleiner. Ein auf diese Weise entstandenes Dreieck nennen wir Steigungsdreieck. Wie lang die beiden Katheten sind, hängt natürlich davon ab, wie weit die Punkte A und B voneinander entfernt sind. Das Verhältnis der beiden Kathetenlängen ist aber stets gleich groß: 1) Erkläre, warum die Winkel in beiden Dreiecken gleich groß sind. (Die Dreiecke sind also ähnlich zueinander.) 2) Erkläre, warum b 1 a 1 = b 2 a 2 gilt. 3

4 Dieses Verhältnis der beiden Katheten nennen wir die Steigung der Gerade und kürzen es meistens mit k ab. Den Winkel α nennen wir den Steigungswinkel der Gerade. Erkläre, warum zwischen der Steigung k und dem Steigungswinkel α der Zusammenhang besteht. k = tan(α) 1) Erkläre, wie du die Änderung der beiden Koordinaten vom Punkt A = (2,7 4,2) zum Punkt B = (10,3 8,1) berechnen kannst. 2) Erkläre allgemein, wie du die Änderung der beiden Koordinaten vom Punkt A = (x A y A ) zum Punkt B = (x B y B ) berechnen kannst. Für die Veränderung der Koordinaten berechnet man also die Differenz der x-koordinaten bzw. der y-koordinaten. Abgekürzt schreibt man dafür auch x = x B x A bzw. y = y B y A mit dem griechischen Großbuchstaben Delta. Kennt man von einer Gerade zwei Punkte, können wir die Steigung also folgendermaßen berechnen: Steigung: k = y x = y B y A x B x A Differenzenquotient (Erinnere dich, dass das Ergebnis einer Subtraktion Differenz heißt, und Quotient das Ergebnis einer Division ist.) 4

5 Erkläre, warum es für die Berechnung der Steigung nicht wichtig ist, dass der Punkt A links vom Punkt B liegt: Es kommt also nur darauf an, dass wir die Veränderung beider Koordinaten ( x und y) vom selben Punkt ausgehend berechnen. Erkläre anhand des Differenzenquotienten welche Steigung eine Gerade hat, die parallel zur x-achse verläuft. Beispiel 2.1. Lies die Koordinaten der Punkte A und B ab, und berechne die Steigung mit dem Differenzenquotienten. 5

6 Erkläre anhand des Differenzenquotienten, warum eine (von links nach rechts) fallende Gerade eine negative Steigung hat. Im Alltag wird statt negativer Steigung öfter von einem Gefälle gesprochen. Berechnen wir den Tiefenwinkel α mit ( ) y α = arctan x erhalten wir einen negativen Wert. Das liegt daran, dass der Winkel ausgehend von der positiven x-achse gegen den Uhrzeigersinn gemessen wird. Geht man von einem Punkt auf der Gerade eine Einheit nach rechts, dann gibt die Steigung an, um wie viel Einheiten man nach oben gehen muss, um wieder auf der Gerade zu landen. i) Begründe die Aussage anhand des Differenzenquotienten, wenn die Steigung k 0 ist. ii) Erkläre wie du die Aussage anpassen musst, damit sie auch für negative Steigungen stimmt. Beispiel 2.2. Du kennst bestimmt das dargestellte Verkehrszeichen. Eine Steigung von 12 Prozent bedeutet, dass pro 100 Meter zurückgelegter Distanz in horizontaler Richtung auch 12 Meter in vertikaler Richtung zurückgelegt werden: α x = 100 m y = 12 m Bei einer Steigung von 12% gilt somit k = y x = 12 m 100 m = 0,12 = 12% = k = 12% 6

7 Der entsprechende Steigungswinkel α beträgt daher α = arctan (0,12) 6,84. 1) Erkläre anhand der Skizze, warum eine Steigung von 100% nicht einem senkrechten Anstieg, sondern einem Steigungswinkel von 45 entspricht. 2) Erkläre anhand der Skizze, warum eine Steigung von 200% nicht einem Steigungswinkel von 90 entspricht. Schlussrechnungen zwischen Steigung in Prozent und Steigungswinkel sind also nicht möglich! Berechne den tatsächlichen Steigungswinkel. 3) Berechne wie viel Prozent Steigung einem Steigungswinkel von 89,9 entsprechen. Erkläre, warum ein Steigungswinkel von 90 nicht durch einen Anstieg in Prozent ausgedrückt werden kann. 3. Geradengleichungen Jede Gerade, die durch den Koordinatenursprung verläuft, nennt man homogen: Als nächstes Ziel versuchen wir passend zu der dargestellten Gerade eine Gleichung mit folgenden Eigenschaften finden: i) Die Gleichung darf die Variablen x und y beide enthalten. 7

8 ii) Jeder Punkt, der auf der Gerade liegt, erfüllt die Gleichung. iii) Jeder Punkt, der nicht auf der Gerade liegt, erfüllt die Gleichung nicht. Ob ein Punkt eine Gleichung erfüllt oder nicht erfüllt, kann man testen, indem man seine Koordinaten für x bzw. y in die Gleichung einsetzt: Nur dann wenn man beim Einsetzen auf beiden Seiten das gleiche Ergebnis erhält, sagen wir, dass der Punkt die Gleichung erfüllt. Zum Beispiel erfüllt der auf der Gerade liegende Punkt (2 4) die Gleichung 2 x y = 16. Erkläre, warum die Gleichung 2 x y = 16 dennoch keine passende Gleichung zu dieser Gerade sein kann. Stelle dir vor du musst jemandem die genaue Lage der oben dargestellten Gerade erklären. Du beginnst mit: Die Gerade verläuft durch den Koordinatenursprung... Welche zusätzliche Information könntest du geben, um die Gerade eindeutig festzulegen? Kennt man die Steigung k einer homogenen Gerade, kann man sie eindeutig einzeichnen, zum Beispiel für k = 2: 8

9 Erkläre, warum jeder Punkt P = (x y) auf der Gerade die Gleichung y = 2 x erfüllt. Warum erfüllen Punkte, die nicht auf der Gerade liegen, auch nicht diese Gleichung? Allgemein erfüllen genau jene Punkte (x y), die auf der homogenen Gerade mit Steigung k liegen, die Gleichung y = k x. Beispiel 3.1. Eine homogene Gerade verläuft durch den Punkt (3 1). a) Bestimme eine zugehörige Geradengleichung. b) Die Punkte P = (6 y P ) und Q = (x Q 1) liegen auf der Gerade. Berechne die fehlenden Koordinaten. Lösung. a) Die Gerade verläuft durch die Punkte (0 0) und (3 1). Die Steigung beträgt daher k = y 2 y 1 x 2 x 1 = = 1 3. Genau jene Punkte, die die Gleichung y = 1 x erfüllen, liegen auf der Gerade. 3 b) Der Punkt P = (6 y P ) liegt auf der Gerade. Wir können also die Koordinaten in die Geradengleichung einsetzen: y P = = 2 Um x Q zu bestimmen, formen wir die Gleichung um: 1 = 1 3 x Q 3 = 1 x Q x Q = 3 Jede Gerade, die nicht durch den Koordinatenursprung verläuft, nennt man inhomogen. Jene y- Koordinate, bei der die Gerade die y-achse schneidet, heißt y-achsenabschnitt und wird meist 9

10 mit d abgekürzt: Wir verschieben die Gerade so parallel, dass sie durch den Koordinatenursprung verläuft: Betrachte einen beliebigen Punkt auf der homogenen Gerade und jenen Punkt auf der inhomogenen Gerade mit der gleichen x-koordinate. Erkläre, welchen Zusammenhang es zwischen den y-koordinaten der beiden Punkte gibt. Wie in Beispiel 3.1 können wir zu jeder x-koordinate die zugehörige y-koordinate des Punkts auf der homogenen Gerade durch Einsetzen in die Gleichung y = k x berechnen. Die zugehörige y- Koordinate jenes Punkts auf der inhomogenen Gerade mit der gleichen x-koordinate ist um genau d größer. Die Gleichung zur inhomogenen Gerade muss daher y = k x + d lauten. Die Normalform der Geradengleichung mit Steigung k und y-achsenabschnitt d ist y = k x + d. 10

11 Die Bezeichnung Normalform bezieht sich darauf, dass die Gleichung auf y umgeformt ist. Erinnere dich, dass Äquivalenzumformungen die Lösungsmenge einer Gleichung nicht verändern. Das bedeutet zum Beispiel, dass die Gleichungen y = 2 x + 3 y 3 = 2 x y 3 2 ein und dieselbe Gerade darstellen! = x Eine zweite übliche Darstellungsform von Geraden ist die sogenannte allgemeine Form der Geradengleichung: a x + b y = c. Beispiel 3.2. Berechne die Steigung der Gerade 7 x 3 y = 4 und bestimme, ob der Punkt (2 3) auf, über oder unter der Gerade liegt. Lösung. Wir formen die Geradengleichung von der allgemeinen Form in die Normalform um: 7 x = y 7 x 4 = 3 y y = 7 x 4 3 = 7x = 7 x 4 }{{} 3 }{{} 3 =k =d Die Gerade hat eine Steigung von 7 3 und schneidet die y-achse im Punkt ( 0 4 3). Wir setzen x = 2 in die Geradengleichung ein, um die zugehörige y-koordinate auf der Gerade zu bestimmen: y = = = Es liegt also der Punkt ( ) auf der Gerade. Wegen 10 > 3 liegt der Punkt (2 3) unterhalb der 3 Gerade. Beispiel 3.3. Bestimme die Normalform jener Geradengleichung, die durch die Punkte ( 2 5) und (4 4) verläuft. Lösung. Von der Normalform der Geradengleichung y = k x + d bestimmen wir zunächst die Steigung k mit dem Differenzenquotienten: k = y x = ( 2) = 9 6 = 1,5 11

12 Um den y-achsenabschnitt d zu bestimmen, formen wir die Normalform auf d um und setzen einen Punkt ein: d = y k x = 5 ( 1,5) ( 2) = 5 3 = 2 Die Geradengleichung in Normalform lautet somit y = 1,5 x + 2. Beispiel 3.4. Gib jeweils eine Gleichung für die dargestellten Geraden an. Lösung. Die Gerade g 1 ist waagrecht, daher ist die Steigung k = 0. Die y-achse wird im Punkt (0 2) geschnitten. Die Geradengleichung in Normalform lautet daher g 1 : y = 0 x 2 = y = 2 Alternativer Lösungsansatz: Ein Punkt liegt genau dann auf der Gerade g 1 wenn seine y-koordinate gleich 2 ist. Eine zugehörige Gleichung ist daher y = 2. (Solche waagrechten Geraden nennt man auch konstante Geraden.) Anhand eines Steigungsdreiecks sieht man, dass die Gerade g 2 die Steigung k = 1 hat. Weiters verläuft sie durch den Koordinatenursprung, daher ist d = 0: g 2 : y = 1 x + 0 = y = x Alternativer Lösungsansatz: Ein Punkt liegt genau dann auf der Gerade g 2 wenn seine x- und y- Koordinaten gleich groß sind. Eine zugehörige Gleichung ist daher y = x. Diese Gerade heißt auch 1. Mediane. 12

13 i) Erkläre, warum man bei einer senkrechten Gerade g 3 keine Steigung angeben kann. Probiere die Berechnung anhand des Differenzenquotienten durchzuführen. ii) Erkläre, warum x = 3 eine Geradengleichung von g 3 ist. 4. Der Funktionsgraph jeder linearen Funktion ist eine nicht senkrechte Gerade im Koordinatensystem. Erkläre, warum eine senkrechte Gerade kein Funktionsgraph sein kann. Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion f lautet daher f(x) = k x + d. Der einzige Unterschied zu der Normalform y = k x + d ist, dass wir die Abhängigkeit der Funktionswerte von x verdeutlichen. Auf der y-achse tragen wir nun die Funktionswerte f(x) auf. (Das Einzige, das uns vorhin an der Schreibweise y(x) = k x + d gehindert hat, sind die senkrechten Geraden.) Beispiel 4.1. Eine zylindrische Kerze mit 25 cm wird angezündet. Die Kerze brennt gleichmäßig ab und hat nach 4 Stunden noch eine Höhe von 15 cm. 1) Mit h(t) wird die Höhe der Kerze (in cm) nach t Stunden bezeichnet. Begründe, warum h eine lineare Funktion ist und gib ihre Funktionsgleichung an. 2) Interpretiere den Wert der Steigung im Sachzusammenhang. 3) Wie hoch ist die Kerze nach 4 1 Stunden noch? 2 4) Nach wie viel Stunden sind 70% der Kerze abgebrannt? 5) Nach wie viel Stunden ist die Kerze vollständig abgebrannt? 6) Skizziere den Funktionsgraphen. Lösung. Die unabhängige Größe ist die vergangene Zeit t in Stunden. Die davon abhängige Größe ist die Kerzenhöhe h(t) in Zentimeter nach t Stunden. 13

14 1) Das Wort gleichmäßig deutet darauf hin, dass die Kerze pro Stunde stets die gleiche Höhe verliert. Die Kerzenhöhe in Abhängigkeit von der vergangenen Zeit ist daher eine lineare Funktion: h(t) = k t + d Wir kennen zwei Wertepaare (t h(t)), nämlich (0 h 25 cm) und (4 h 15 cm). Die Steigung beträgt daher 15 cm 25 cm 10 cm k = = = 2,5 cm 4 h 0 h 4 h h Den Parameter d könnte man direkt aus dem Sachzusammenhang bestimmen: Zum Zeitpunkt t = 0 beträgt die Höhe 25 cm, daher ist d = 25. Ist der Funktionswert zu Beginn nicht bekannt, kann man aber immer durch Einsetzen eines Punkts in die Funktionsgleichung den Wert von d bestimmen: h(0) = 25 = k 0 + d = 25 = d = 25 cm Die Höhe der Kerze h(t) (in cm) nach t Stunden beträgt somit 2) Der Wert der Steigung k = 2,5 cm h abnimmt. h(t) = 2,5 t ) Wir setzen t = 4 1 h = 4,5 h in die Funktionsgleichung ein: 2 bedeutet, dass pro Stunde die Höhe der Kerze um 2,5 cm h(4,5) = 2,5 4, = 13,75 cm Nach 4 1 Stunden ist die Kerze noch 13,75 cm hoch. 2 4) Zu dem Zeitpunkt, an dem 70% der Kerze abgebrannt ist, sind noch 30% der Anfangshöhe vorhanden. Die Höhe beträgt zu diesem Zeitpunkt daher 25 30% = 25 0,30 = 7,5 cm. Wir sollen also jenen Zeitpunkt t bestimmen, an dem h(t) = 7,5 gilt. Wir lösen diese Gleichung nach t auf: Nach 7 h sind 70% der Kerze abgebrannt. 2,5 t + 25 = 7,5 2,5 t = 17,5 t = 7 h 5) Wir sollen den Zeitpunkt berechnen, an dem die Kerzenhöhe 0 cm erreicht. Wir lösen also die Gleichung h(t) = 0. (Solche Stellen, an denen der Funktionswert 0 ist, heißen Nullstellen.) Die Kerze ist nach 10 Stunden abgebrannt. 2,5 t + 25 = 0 t = 25 2,5 = 10 h 14

15 6) 5. Weitere Aufgabenstellungen Aufgabe 5.1. Gegeben ist die Funktion g(x) = x 3 x. Bestimme rechnerisch die Steigung k der Sekante an den Graphen von g durch die beiden Punkte (0 g(0) = 0) und (h g(h) = h 3 h) in den Fällen (i) h = 1, (ii) h = 0.5, (iii) h = 0.25, (iv) h = 1. Kannst du eine Formel für k in Abhängigkeit von h angeben? Was meinst du wird aus diesen Sekanten beziehungsweise deren Steigung, wenn h immer kleiner wird? Aufgabe 5.2. In den USA gibt es eine Grillenart, die ihre Zirp-Rate abhängig von der Temperatur verändert: Je wärmer es ist, desto öfter zirpt die Grille. Daher wird sie als Thermometergrille bezeichnet. a) Bei 75 F zirpt eine Thermometergrille 140-mal pro Minute und bei 65 F 100-mal pro Minute. Stellen Sie die Gleichung derjenigen linearen Funktion auf, die die Temperatur in F in Abhängigkeit von der Anzahl der Zirpgeräusche pro Minute beschreibt. b) Der Zusammenhang zwischen der Anzahl der Zirpgeräusche pro Minute und der Temperatur wird durch die Modellfunktion T beschrieben: T (N) = 60 + N Temperatur in F bei N Zirpgeräuschen pro Minute 4,7 Bestimmen Sie, wie oft die Thermometergrille durchschnittlich in 15 Sekunden bei einer Temperatur von 70 F zirpt. Bestimmen Sie den Wert der Steigung. Beschreiben Sie, welche Bedeutung der Wert der Steigung in diesem Sachzusammenhang hat. Aufgabe 5.3. (angelehnt an -Aufgabe A_209) Der Luftdruck nimmt mit zunehmender Höhe über dem Meeresspiegel (Seehöhe) ab. Der Zusammenhang kann näherungsweise durch lineare Funktionen beschrieben werden. 15

16 a) Ein vereinfachtes Modell des Zusammenhangs zwischen der Höhe über dem Meeresspiegel und dem Luftdruck nimmt eine konstante Abnahme des Luftdrucks um 10 hpa pro 100 Höhenmeter an. Der Luftdruck auf Höhe des Meeresspiegels beträgt rund 1013 hpa. Verwenden Sie die folgenden Bezeichnungen: h... Höhe über dem Meeresspiegel in m f(h)... Luftdruck in der Höhe h in hpa Stellen Sie die Gleichung der Funktion f auf, die diesen Zusammenhang beschreibt. b) Zu Beginn des Jahres 2013 wurden im Schigebiet Kaprun-Kitzsteinhorn folgende Werte für den Luftdruck gemessen: Seehöhe Luftdruck 990 m 1040 hpa 1980 m 930 hpa Bestimmen Sie mithilfe eines linearen Modells aus diesen Daten den Luftdruck in einer Höhe von 1300 m über dem Meeresspiegel. Aufgabe 5.4. Gegeben ist die Funktion g(x) = x 3 x. Bestimme rechnerisch die Steigung k der Geraden durch die beiden Punkte (0 g(0) = 0) und (h g(h) = h 3 h) in den Fällen (i) h = 1, (ii) h = 0.5, (iii) h = 0.25, (iv) h = 0.1. Kannst du eine Formel für k in Abhängigkeit von h angeben? Was meinst du wird aus der Steigung dieser Geraden, wenn h immer kleiner wird? 5.1 k = h 2 1; je weiter sich h 0 nähert, desto kleiner wird die Steigung, bis die beiden Schnittpunkte zu einem verschmelzen und die Sekante bei h = 0 zur Tangente wird. 5.2 a) y = 0,25 x + 40 x... Anzahl Zirpgeräusche pro Minute, y... Temperatur in F b) Zirpgeräusche in 15 Sekunden 4 k = 1 = T eine Temperaturzunahme um 4,7 N 1 F entspricht einer Zunahme um 4,7 Zirpgeräusche pro Minute oder k 0,21 eine Zunahme der Zirpgeräusche pro Minute um 1 entspricht einer Temperaturzunahme um 0,21 F 5.3 a) f(h) = h b) Der Luftdruck in einer Höhe von 1300 m über dem Meeresspiegel beträgt rund 1006 hpa. 5.4 (i) k = 0 (ii) k = 0,75 (iii) k = 0,9375 (iv) k = 0,99 k = h3 h = h 2 1 h Literatur [1] Rawling, C. : New Zealand s South Island Lonely Planet Dieses Werk von Mathematik macht Freu(n)de unterliegt einer CC BY-NC-ND 4.0 Lizenz.