Exemplar für Prüfer/innen

Transkript

1 Exemplar für Prüfer/innen Kompensationsprüfung zur standardisierten kompetenzorientierten schriftlichen Reifeprüfung AHS Juni 2015 Mathematik Kompensationsprüfung 7 Angabe für Prüfer/innen

2 Hinweise zur Kompensationsprüfung Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig voneinander bearbeitbar sind. Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der Aufgabenstellung muss die Kandidatin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der anschließenden Leitfrage ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen. Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen und die Lösungsschlüssel. Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten. Beurteilung Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt können maximal zehn Punkte erreicht werden. Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema: Note zumindest erreichte Punkte Genügend Befriedigend Gut Sehr gut 4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte 3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte 4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte 5 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 4 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen. Kompensationsprüfung 7 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 2/13

3 Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der Beurteilung. Grundkompetenzpunkt erreicht Leitfragenpunkt erreicht Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe 5 Kompensationsprüfung 7 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 3/13

4 Aufgabe 1 Lagebeziehungen von Geraden im Raum Gegeben sind zwei Geraden g und h in R 3. =( 4 ) 2 ) Die Gerade g ist durch eine Parameterdarstellung X Die Gerade h verläuft durch die Punkte A = (0 0 8) und B = (4 2 4). Aufgabenstellung: 3 + t ( mit t R festgelegt. Ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunktes dieser beiden Geraden und erklären Sie Ihre Vorgehensweise! Leitfrage: Erläutern Sie, welche weiteren Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden a und b in R 3 mit den Parameterdarstellungen a: X = P + r a und b: X = Q + s b (mit r, s R) auftreten können! Geben Sie für jeden dieser Fälle an, welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, damit diese Lagebeziehung auftritt! Kompensationsprüfung 7 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 4/13

5 Lösung zur Aufgabe 1 Lagebeziehungen von Geraden im Raum Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: Mögliche =( Berechnung: ) ( 0 4 ) h: X 0 + s I: 4 + 2t = 4s II: 7 + 2t = 2s t = 3 bzw. s = 0,5 S = (2 1 6) III: 3 + t = 8 4s Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Koordinaten des Schnittpunktes richtig ermittelt werden und die Vorgehensweise schlüssig erklärt wird. Lösungserwartung zur Leitfrage: Zwei Geraden a und b in R 3 können außer schneidend auch zueinander parallel, ident oder windschief sein. a und b sind parallel, wenn gilt: a b und P b bzw. Q a. a und b sind ident, wenn gilt: a b und P b bzw. Q a oder PQ a b. a und b sind windschief, wenn gilt: a b und a b = { }, d. h. (r; s), sodass P + r a = Q + s b gilt. Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die drei weiteren Lagebeziehungen genannt und der Lösungserwartung (sinngemäß) entsprechende Voraussetzungen angegeben werden. Kompensationsprüfung 7 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 5/13

6 Aufgabe 2 Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck Von einem Dreieck ABC kennt man die Länge der Seite a = 6 m und die Größe der Winkel α = 30 und γ 1 = 45. C b a h c A c B Aufgabenstellung: Berechnen Sie die Länge der Seite b des Dreiecks ABC! Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise anhand der vorgegebenen Skizze! Leitfrage: Nachstehend ist ein Kreis mit dem Radius r = 1 dargestellt. y 1 P 1 x Begründen Sie für α [0 ; 360 ) Ihre Antworten auf alle folgenden Fragestellungen anhand der Abbildung! Geben Sie die Koordinaten des Punktes P in Abhängigkeit vom Winkel α an! Geben Sie die Minimal und Maximalwerte von sin(α) und cos(α) an! Begründen Sie die Gültigkeit der Gleichung cos(α) = cos(180 α)! Kompensationsprüfung 7 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 6/13

7 Lösung zur Aufgabe 2 Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: Mögliche Berechnung: cos(γ 1 ) = h c a h = a cos(γ ) = 3 2 4,2 c 1 sin(α) = h c b b = h c sin(α) b = 6 2 8,5 m Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Länge der Seite b richtig angegeben und die Vorgehensweise korrekt erläutert wird. Toleranzintervall: [8,4; 8,5] Lösungserwartung zur Leitfrage: Jeder Punkt auf dem Einheitskreis hat die Form P = (cos(α) sin(α)). Minimalwert von sin(α) und cos(α) ist jeweils 1; Maximalwert von sin(α) und cos(α) ist jeweils 1. Begründung der Gleichung cos(α) = cos(180 α) anhand der Skizze: y 1 P cos(180 ) 180 cos( ) 1 x Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn alle in der Leitfrage angeführten Fragestellungen (sinngemäß) richtig beantwortet und anhand der Skizze begründet werden. Kompensationsprüfung 7 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 7/13

8 Aufgabe 3 Lineare Funktion Gegeben ist eine lineare Funktion f mit den folgenden Eigenschaften: f(2) = 2 Wenn man das Argument x um 4 vergrößert, dann verringert sich der Funktionswert f(x) um 2. Aufgabenstellung: Geben Sie die Funktionsgleichung der linearen Funktion f an und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise! Leitfrage: Bestimmen Sie den Ausdruck g(x ) g(x ) 2 1 x 2 x 1 g(x) = k x + d mit k, d R! für eine lineare Funktion g mit der Funktionsgleichung Begründen Sie, warum für eine lineare Funktion der Wert dieses Ausdrucks vom Intervall [x 1 ; x 2 ] unabhängig ist! Kompensationsprüfung 7 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 8/13

9 Lösung zur Aufgabe 3 Lineare Funktion Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: Mögliche Vorgehensweise: Aus 2 4 folgt k = 1 2. Der Punkt (2 2) muss die Gleichung f(x) = 1 2 x + d erfüllen. 2 = d d = 1 f(x) = 1 2 x 1 Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine korrekte Funktionsgleichung angegeben und die Vorgehensweise schlüssig erläutert wird. Äquivalente Funktionsgleichungen sind ebenfalls als richtig zu werten. Lösungserwartung zur Leitfrage: g(x 2 ) g(x 1 ) x 2 x = k ist die Steigung des Graphen von g. Da es sich um eine lineare Funktion handelt, 1 ist die Steigung an jeder Stelle x gleich groß und der Wert des Ausdrucks daher von einem Intervall unabhängig. Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Ausdruck g(x ) g(x ) 2 1 x 2 x 1 und eine (sinngemäß) korrekte Begründung angegeben wird. korrekt bestimmt Kompensationsprüfung 7 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 9/13

10 Aufgabe 4 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung Eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung lässt sich näherungsweise mithilfe der Zeit-Weg-Funktion s mit s(t) = 6 t 2 (t in Sekunden, s(t) in Metern) beschreiben. Dabei gibt s(t) die Länge des Weges an, den ein Körper im Zeitintervall [0; t] zurücklegt. Aufgabenstellung: Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Funktion s im Zeitintervall [1; 3] und die momentane Änderungsrate der Funktion s an der Stelle t = 1! Deuten Sie die Ergebnisse im Hinblick auf die Bewegung des Körpers! Leitfrage: Bei dieser Bewegung ändert sich die Geschwindigkeit des Körpers. Die Geschwindigkeit v(t) des Körpers lässt sich näherungsweise mithilfe der Funktion v beschreiben. Zeigen Sie, dass die momentane Änderungsrate der Funktion v unabhängig von der Wahl des Zeitpunktes t ist, und deuten Sie das Ergebnis im Hinblick auf die Bewegung des Körpers! Zeigen Sie, dass die mittlere Änderungsrate der Funktion v in einem beliebigen Zeitintervall [t 1 ; t 2 ] mit der momentanen Änderungsrate der Funktion v übereinstimmt! Kompensationsprüfung 7 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 10/13

11 Lösung zur Aufgabe 4 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: mittlere Änderungsrate der Funktion s im Zeitintervall [1; 3]: s(3) s(1) = 48 = m/s momentane Änderungsrate der Funktion s an der Stelle t = 1: s (t) = 12 t s (1) = m/s Die mittlere Änderungsrate im Zeitintervall [1; 3] gibt die Durchschnittsgeschwindigkeit (mittlere Geschwindigkeit) in Metern pro Sekunde des Körpers in diesem Zeitintervall an. Die momentane Änderungsrate an der Stelle 1 gibt die Momentangeschwindigkeit in Metern pro Sekunde eine Sekunde nach Beginn der Bewegung an. Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn beide Änderungsraten richtig angegeben und (sinngemäß) richtig gedeutet werden. Lösungserwartung zur Leitfrage: v(t) = 12 t v (t) = 12 Das Ergebnis ist konstant und somit unabhängig von t. Für diese Bewegung bedeutet das eine konstante Zunahme der Geschwindigkeit um 12 m/s in jeder Sekunde bzw. eine Beschleunigung von 12 m/s². mittlere Änderungsrate im Zeitintervall [t 1 ; t 2 ]: v(t 2 ) v(t 1 ) = 12t 12t 2 1 = 12 Übereinstimmung mit v (t) t 2 t 1 t 2 t 1 Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die momentane Änderungsrate der Funktion v unabhängig von der Wahl des Zeitpunktes t und die Übereinstimmung mit der mittleren Änderungsrate der Funktion v gezeigt werden. Weiters muss die momentane Änderungsrate der Funktion v im Hinblick auf die Bewegung (sinngemäß) richtig gedeutet werden. Kompensationsprüfung 7 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 11/13

12 Aufgabe 5 Wählerumfrage Bei einer repräsentativen Umfrage gaben 180 von 500 befragten wahlberechtigten Personen an, dass sie bei der bevorstehenden Wahl die Partei X wählen werden. Aufgabenstellung: Berechnen Sie anhand des Umfrageergebnisses ein 95-%-Konfidenzintervall für den Wähleranteil der Partei X in der (wahlberechtigten) Bevölkerung und interpretieren Sie das Ergebnis! Verwenden Sie für die Berechnung folgende Formel: h 1,2 = h ± z h(1 h) n Leitfrage: Erklären Sie anhand der für die Berechnung des Konfidenzintervalls verwendeten Formel, wie sich folgende Parameter auf die Breite des Konfidenzintervalls auswirken! die Stichprobengröße die geforderte Sicherheit des Konfidenzintervalls Kompensationsprüfung 7 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 12/13

13 Lösung zur Aufgabe 5 Wählerumfrage Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: h 1,2 = 0,36 ± 1,96 0,36 0, ,36 ± 0,042 [0,31; 0,41] Bei wiederholter Durchführung einer derartigen Umfrage und der Berechnung eines Konfidenzintervalls würden 95 % der Intervalle den tatsächlichen Prozentsatz des Wähleranteils der Partei X enthalten. Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn das Konfidenzintervall richtig berechnet und (sinngemäß) richtig interpretiert wird. Auch die Berechnung mit z = 2, die Angabe von gerundeten Werten und die Angabe in Prozenten ist zulässig. Toleranzintervall für die untere Grenze: [0,31; 0,32] Toleranzintervall für die obere Grenze: [0,40; 0,41] Lösungserwartung zur Leitfrage: h 1,2 = h ± z h(1 h) n Je größer die Stichprobengröße n (bei konstantem h und z) ist, desto kleiner ist der Wert des Bruches bzw. Radikanden, d. h., umso geringer ist die Breite des Intervalls. Je größer die geforderte Sicherheit (bei konstantem h und n) ist, desto größer ist z und somit das h(1 h) Produkt z, wodurch die Breite des Intervalls größer wird. n Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn beide Auswirkungen (sinngemäß) korrekt begründet werden. Kompensationsprüfung 7 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 13/13