Änderungsmaße. möglich. Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f mit der Gleichung f(x) = 0,1x ².

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1 Änderungsmaße Typ 1 S Aufgabennummer: 1_004 Prüfungsteil: Aufgabenformat: Multiple Choice ( aus 5) Grundkompetenz: AN 1.3 keine Hilfsmittel S erforderlich Hilfsmittel S gewohnte möglich Typ Technologie besondere erforderlich Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f mit der Gleichung f(x) = 0,1x ². Aufgabenstellung: Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die für die gegebene Funktion f zutreffend sind! Die absolute Änderung in den Intervallen [0; 3] und [4; 5] ist gleich groß. Die mittlere Änderungsrate der Funktion f in den Intervallen [0; ] und [; 4] ist gleich. Die momentane Änderungsrate an der Stelle x = 5 hat den Wert,5. Die momentane Änderungsrate an der Stelle x = ist größer als die momentane Änderungsrate an der Stelle x = 6. Die Steigung der Sekante durch die Punkte A = (3 f(3)) und B = (6 f(6)) ist größer als die momentane Änderungsrate an der Stelle x = 3.

2 Änderungsmaße Lösungsweg Die absolute Änderung in den Intervallen [0; 3] und [4; 5] ist gleich groß. S Die mittlere Änderungsrate der Funktion f in den Intervallen [0; ] und [; 4] ist gleich. Die momentane Änderungsrate an der Stelle x = 5 hat den Wert,5. Die momentane Änderungsrate an der Stelle x = ist größer als die momentane Änderungsrate an der Stelle x = 6. Die Steigung der Sekante durch die Punkte A = (3 f(3)) und B = (6 f(6)) ist größer als die momentane Änderungsrate an der Stelle x = 3. S Lösungsschlüssel Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn genau die zwei zutreffenden Aussagen angekreuzt sind.

3 Freier Fall Typ 1 Typ Aufgabennummer: 1_093 Prüfungsteil: Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: AN 1.3 keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich g Für einen frei fallenden Körper ist eine Zeit-Weg-Funktion s(t) durch s(t) = t gegeben. Dabei ist g 10 m/s² die Fallbeschleunigung. Aufgabenstellung: Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit in m/s im Zeitintervall [; 4] Sekunden!

4 Freier Fall Möglicher Lösungsweg v= s(4) s() 4 = 80 0 = 30 Die mittlere Geschwindigkeit beträgt 30 m/s. Lösungsschlüssel Es muss ein Lösungsweg erkennbar sein. Die Angabe der korrekten Maßzahl ohne entsprechende Einheit ist ausreichend.

5 Freier Fall Momentangeschwindigkeit Typ 1 Typ Aufgabennummer: 1_094 Prüfungsteil: Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: AN 1.3 keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich g Für einen frei fallenden Körper ist eine Zeit-Weg-Funktion s(t) durch s(t) = t gegeben. Dabei ist g 10 m/s² die Fallbeschleunigung. Aufgabenstellung: Berechnen Sie die Momentangeschwindigkeit in m/s zum Zeitpunkt t = Sekunden!

6 Freier Fall Momentangeschwindigkeit Möglicher Lösungsweg v(t) = s'(t) = 10t v() = 0 Die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = Sekunden beträgt 0 m/s. Lösungsschlüssel Es muss ein Lösungsweg erkennbar sein. Die Angabe der korrekten Maßzahl ohne entsprechende Einheit ist ausreichend.

7 Differenzenquotient Typ 1 S Aufgabennummer: 1_003 Prüfungsteil: Aufgabenformat: Lückentext Grundkompetenz: AN 1.3 keine Hilfsmittel gewohnte Hilfsmittel S erforderlich Typ besondere Technologie S möglich erforderlich Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f mit einer Sekante. f(x) f f(x 0 ) f(x0 + h) x x0 + h h x0 Aufgabenstellung: Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht! Der Ausdruck ➀ beschreibt die ➀ ➁. ➁ f(x) f(x0 ) h die Steigung von f an der Stelle x f(x0 + h) f(x0 ) h die 1. Ableitung der Funktion f f(x0 + h) f(x0 ) x0 die mittlere Änderungsrate im Intervall [x0; x 0 + h]

8 Differenzenqoutient Lösungsweg Der Ausdruck ➀ beschreibt die ➀ f(x0 + h) f(x0 ) x0. ➁ f(x) f(x0 ) h f(x0 + h) f(x0 ) h ➁ die Steigung von f an der Stelle x S die 1. Ableitung der Funktion f die mittlere Änderungsrate im Intervall [x0; x 0 + h] S Lösungsschlüssel Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn genau die beiden zutreffenden Aussagen angekreuzt sind.

9 Luftwiderstand* Typ 1 Aufgabennummer: 1_143 Prüfungsteil: Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: AN 1. keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich Typ besondere Technologie erforderlich Der Luftwiderstand FL eines bestimmten PKWs in Abhängigkeit von der Fahrtgeschwindigkeit v lässt sich durch folgende Funktionsgleichung beschreiben: FL(v) = 0,4 v. Der Luftwiderstand ist dabei in Newton (N) und die Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) angegeben. Aufgabenstellung: Berechnen Sie die mittlere Zunahme des Luftwiderstandes in Fahrtgeschwindigkeit von 0 m/s auf 30 m/s! N m/s bei einer Erhöhung der * Diese Aufgabe wurde dem im Oktober 013 publizierten Kompetenzcheck (vgl. entnommen.

10 Luftwiderstand Möglicher Lösungsweg FL(30) FL(0) 30 0 = = 0 N m/s Lösungsschlüssel N Die Angabe der Einheit m/s ist nicht notwendig für die Korrektheit der Lösung (da in der Aufgabenstellung vorgegeben); es genügt die Verwendung des korrekten Änderungsmaßes und die Ermittlung des numerischen Wertes 0.

11 Differenzenquotient* Typ 1 Aufgabennummer: 1_151 Prüfungsteil: Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: AN 1.3 keine Hilfsmittel erforderlich Eine Funktion s: [0; 6] zurückgelegten Weg. Es gilt: s (t) = 1 t gewohnte Hilfsmittel möglich Typ besondere Technologie erforderlich beschreibt den von einem Radfahrer innerhalb von t Sekunden + t. Der zurückgelegte Weg wird dabei in Metern angegeben, die Zeit wird ab dem Zeitpunkt t0 = 0 in Sekunden gemessen. Aufgabenstellung: Ermitteln Sie den Differenzenquotienten der Funktion s im Intervall [0; 6] und deuten Sie das Ergebnis! * Diese Aufgabe wurde dem im Oktober 013 publizierten Kompetenzcheck (vgl. entnommen.

12 Differenzenquotient Möglicher Lösungsweg s(6) s(0) 6 0 = =5 Das Ergebnis bedeutet, dass die mittlere Geschwindigkeit (auch Durchschnittsgeschwindigkeit) des Radfahrers im Zeitintervall [0; 6] 5 m/s beträgt. Lösungsschlüssel Die Lösung gilt als richtig, wenn der Differenzenquotient richtig berechnet und gedeutet wurde.

13 Prozentrechnung Typ 1 Aufgabennummer: 1_173 Prüfungsteil: Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: AN 1.1 keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich Typ besondere Technologie erforderlich Aufgrund einer Beförderung erhöht sich das Gehalt eines Angestellten von.400 auf.760. Aufgabenstellung: Um wie viel Prozent ist sein Gehalt gestiegen?

14 Prozentrechnung Möglicher Lösungsweg = 0,15 Sein Gehalt ist um 15 % gestiegen. Lösungsschlüssel Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn der Wert exakt angegeben ist.

15 Bewegung eines Körpers Typ 1 Aufgabennummer: 1_176 Prüfungsteil: Aufgabenformat: Lückentext Grundkompetenz: AN 1. keine Hilfsmittel gewohnte Hilfsmittel erforderlich Typ besondere Technologie möglich erforderlich Bei der Bewegung eines Körpers gibt die Zeit-Weg-Funktion seine Entfernung s (in m) vom Ausgangspunkt seiner Bewegung nach t Sekunden an. Der Differenzenquotient s(t ) s(t1 ) t t1 gibt seine mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [t1; t] an. Aufgabenstellung: Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht! Der Ausdruck limt t1 s(t ) s(t1 ) t t1 gibt die an. Momentangeschwindigkeit Momentanbeschleunigung durchschnittliche Beschleunigung zwischen den Zeitpunkten t1 und t zum Zeitpunkt t1 zum Zeitpunkt t

16 Bewegung eines Körpers Lösungsweg Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t1 Lösungsschlüssel Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn für beide Lücken ausschließlich der jeweils richtige Satzteil angekreuzt ist.

17 Mittlere Änderungsrate Typ 1 Aufgabennummer: 1_169 Prüfungsteil: Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: AN 1.1 keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f(x) = x +. Aufgabenstellung: Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate von f im Intervall [1; 3]! Typ besondere Technologie erforderlich

18 Mittlere Änderungsrate Lösungsweg f(3) f(1) =4 Lösungsschlüssel Ein Punkt für die Angabe des korrekten Wertes.

19 Freier Fall eines Körpers Typ 1 Aufgabennummer: 1_174 Prüfungsteil: Aufgabenformat: Multiple Choice (x aus 5) Grundkompetenz: AN 1.3 keine Hilfsmittel gewohnte Hilfsmittel erforderlich möglich Typ besondere Technologie erforderlich g Die Funktion s mit s(t) = t (g 10 m/s²) beschreibt annähernd den von einem Körper in der Zeit t (in Sekunden) im freien Fall zurückgelegten Weg s(t) (in m). Aufgabenstellung: Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an! Die erste Ableitung s der Funktion s an der Stelle t1 beschreibt die Momentangeschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt t1. Die zweite Ableitung s der Funktion s an der Stelle t1 beschreibt die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t1. Der Differenzenquotient der Funktion s im Intervall [t1; t] gibt den in diesem Intervall zurückgelegten Weg an. Der Differenzialquotient der Funktion s an einer Stelle t gibt den Winkel an, den die Tangente an den Graphen im Punkt P = (t s(t)) mit der positiven x-achse einschließt. Der Differenzenquotient der Funktion s im Intervall [t1; t] gibt die mittlere Änderung der Geschwindigkeit pro Sekunde im Intervall [t1; t] an.

20 Freier Fall eines Körpers Lösung Die erste Ableitung s der Funktion s an der Stelle t1 beschreibt die Momentangeschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt t1. Die zweite Ableitung s der Funktion s an der Stelle t1 beschreibt die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t1. Der Differenzenquotient der Funktion s im Intervall [t1; t] gibt die mittlere Änderung der Geschwindigkeit pro Sekunde im Intervall [t1; t] an. Lösungsschlüssel Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau drei Aussagen angekreuzt sind und alle Kreuze richtig gesetzt sind.

21 Änderung der Spannung Typ 1 Aufgabennummer: 1_4 Prüfungsteil: Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: AN 1.1 keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich Typ besondere Technologie erforderlich Die nachstehende Abbildung zeigt den zeitlichen Verlauf t (in s) der Spannung U (in V) während eines physikalischen Experiments. Aufgabenstellung: Ermitteln Sie die absolute und die relative Änderung der Spannung während der ersten 10 Sekunden des Experiments! absolute Änderung: V relative Änderung: %

22 Änderung der Spannung Möglicher Lösungsweg absolute Änderung: 1 V relative Änderung: 60 % Lösungsschlüssel Die Aufgabe ist als richtig gelöst zu werten, wenn beide Werte korrekt angegeben sind.

23 Temperaturverlauf Typ 1 Aufgabennummer: 1_86 Prüfungsteil: Aufgabenformat: Multiple Choice (x aus 5) Grundkompetenz: AN 1.3 keine Hilfsmittel gewohnte Hilfsmittel erforderlich Typ besondere Technologie möglich erforderlich Aus dem nachstehend dargestellten Graphen der Funktion T lässt sich der Temperaturverlauf in C in einem Reagenzglas während eines chemischen Versuchs für die ersten 7 Minuten ablesen. Temperatur (in C) T 0 10 t (in min) Aufgabenstellung: Kreuzen Sie die auf den Temperaturverlauf zutreffende(n) Aussage(n) an! Im Intervall [3; 6] ist die mittlere Änderungsrate annähernd 0 C/min. Im Intervall [0,5; 1,5] ist der Differenzenquotient größer als 5 C/min. Im Intervall [0; ] gibt es einen Zeitpunkt, in dem die momentane Änderungsrate 0 C/min beträgt. Der Differenzialquotient zum Zeitpunkt t = 3 ist annähernd 10 C/min. Der Differenzenquotient ist im Intervall [; t] mit < t < 6 immer kleiner als 0 C/min.

24 Temperaturverlauf Lösung Im Intervall [3; 6] ist die mittlere Änderungsrate annähernd 0 C/min. Im Intervall [0; ] gibt es einen Zeitpunkt, in dem die momentane Änderungsrate 0 C/min beträgt. Der Differenzialquotient zum Zeitpunkt t = 3 ist annähernd 10 C/min. Der Differenzenquotient ist im Intervall [; t] mit < t < 6 immer kleiner als 0 C/min. Lösungsschlüssel Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich alle laut Lösungserwartung richtigen Antwortmöglichkeiten angekreuzt sind.

25 Treibstoffpreise Typ 1 Aufgabennummer: 1_99 Prüfungsteil: Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: AN 1.1 keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich Typ besondere Technologie erforderlich Pro Liter Diesel zahlte man im Jahr 004 durchschnittlich T0 Euro, im Jahr 014 betrug der durchschnittliche Preis pro Liter Diesel T10 Euro. Aufgabenstellung: Geben Sie jeweils einen Term zur Berechnung der absoluten und der relativen Preisänderung von 004 auf 014 für den durchschnittlichen Preis pro Liter Diesel an! absolute Preisänderung: relative Preisänderung:

26 Treibstoffpreise Möglicher Lösungsweg absolute Preisänderung: T10 T0 relative Preisänderung: T10 T0 T0 Lösungsschlüssel Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn beide Terme korrekt angegeben sind.

27 Temperaturverlauf Typ 1 Aufgabennummer: 1_86 Prüfungsteil: Aufgabenformat: Multiple Choice (x aus 5) Grundkompetenz: AN 1.3 keine Hilfsmittel gewohnte Hilfsmittel erforderlich Typ besondere Technologie möglich erforderlich Aus dem nachstehend dargestellten Graphen der Funktion T lässt sich der Temperaturverlauf in C in einem Reagenzglas während eines chemischen Versuchs für die ersten 7 Minuten ablesen. Temperatur (in C) T 0 10 t (in min) Aufgabenstellung: Kreuzen Sie die auf den Temperaturverlauf zutreffende(n) Aussage(n) an! Im Intervall [3; 6] ist die mittlere Änderungsrate annähernd 0 C/min. Im Intervall [0,5; 1,5] ist der Differenzenquotient größer als 5 C/min. Im Intervall [0; ] gibt es einen Zeitpunkt, in dem die momentane Änderungsrate 0 C/min beträgt. Der Differenzialquotient zum Zeitpunkt t = 3 ist annähernd 10 C/min. Der Differenzenquotient ist im Intervall [; t] mit < t < 6 immer kleiner als 0 C/min.

28 Temperaturverlauf Lösung Im Intervall [3; 6] ist die mittlere Änderungsrate annähernd 0 C/min. Im Intervall [0; ] gibt es einen Zeitpunkt, in dem die momentane Änderungsrate 0 C/min beträgt. Der Differenzialquotient zum Zeitpunkt t = 3 ist annähernd 10 C/min. Der Differenzenquotient ist im Intervall [; t] mit < t < 6 immer kleiner als 0 C/min. Lösungsschlüssel Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich alle laut Lösungserwartung richtigen Antwortmöglichkeiten angekreuzt sind.