Definition der Winkelfunktionen*

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1 Definition der Winkelfunktionen* Aufgabennummer: 1_344 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ Aufgabenformat: Multiple Choice ( aus 5) Grundkompetenz: AG 4.1 Die nachstehende Abbildung zeigt ein rechtwinkeliges Dreieck PQR. R P α q p r β Q Aufgabenstellung: Kreuzen Sie die beiden Gleichungen an, die für das dargestellte Dreieck gelten! sin(α) = p r sin(α) = q r tan(β) = p q tan(α) = r p cos(β) = p r * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 9. Mai 014

2 Definition der Winkelfunktionen Lösungserwartung sin(α) = p r cos(β) = p r Lösungsschlüssel Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Gleichungen angekreuzt sind.

3 Steigungswinkel* Aufgabennummer: 1_368 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: AG 4.1 Das nachstehend abgebildete Verkehrszeichen besagt, dass eine Straße auf einer horizontalen Entfernung von 100 m um 7 m an Höhe gewinnt. 7 % Aufgabenstellung: Geben Sie eine Formel zur Berechnung des Gradmaßes des Steigungswinkels α dieser Straße an! * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 17. September 014

4 Steigungswinkel Lösungserwartung tan(α) = oder α = arctan ( 7 100) oder α = tan ( 100) 1 7 Lösungsschlüssel Ein Punkt für eine richtige Formel. Korrekte äquivalente Schreibweisen sind als richtig zu werten.

5 Sehwinkel* Aufgabennummer: 1_416 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: AG 4.1 Der Sehwinkel ist derjenige Winkel, unter dem ein Objekt von einem Beobachter wahrgenommen wird. Die nachstehende Abbildung verdeutlicht den Zusammenhang zwischen dem Sehwinkel α, der Entfernung r und der realen ( wahren ) Ausdehnung g eines Objekts in zwei Dimensionen. α r α g Beobachter Objekt Quelle: [ ] (adaptiert). Aufgabenstellung: Geben Sie eine Formel an, mit der die reale Ausdehnung g dieses Objekts mithilfe von α und r berechnet werden kann! g = * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 11. Mai 015

6 Sehwinkel Lösungserwartung g = r tan ( α mit α (0; 180 ) bzw. α (0; π) ) Lösungsschlüssel Ein Punkt für eine korrekte Formel, wobei der Definitionsbereich von α nicht angegeben sein muss. Äquivalente Ausdrücke sind als richtig zu werten.

7 Sonnenhöhe* Aufgabennummer: 1_440 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: AG 4.1 Unter der Sonnenhöhe φ versteht man denjenigen spitzen Winkel, den die einfallenden Sonnenstrahlen mit einer horizontalen Ebene einschließen. Die Schattenlänge s eines Gebäudes der Höhe h hängt von der Sonnenhöhe φ ab (s, h in Metern). Aufgabenstellung: Geben Sie eine Formel an, mit der die Schattenlänge s eines Gebäudes der Höhe h mithilfe der Sonnenhöhe φ berechnet werden kann! s = * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 1. September 015

8 Sonnenhöhe s = h tan(φ) mit φ (0 ; 90 ) bzw. φ (0; π ) Lösungserwartung Lösungsschlüssel Ein Punkt für eine korrekte Formel, wobei der Definitionsbereich für φ nicht angegeben sein muss. Äquivalente Ausdrücke sind als richtig zu werten.

9 Standseilbahn Salzburg* Aufgabennummer: 1_464 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: AG 4.1 Die Festungsbahn Salzburg ist eine Standseilbahn in der Stadt Salzburg mit konstanter Steigung. Die Bahn auf den dortigen Festungsberg ist die älteste in Betrieb befindliche Seilbahn dieser Art in Österreich. Die Standseilbahn legt eine Wegstrecke von 198,5 m zurück und überwindet dabei einen Höhenunterschied von 96,6 m. Bildquelle: By Herbert Ortner (Own work) [GFDL ( CC BY 3.0 ( licenses/by/3.0) or CC BY 3.0 at ( via Wikimedia Commons [ ]. Aufgabenstellung: Berechnen Sie den Winkel α, unter dem die Gleise der Bahn gegen die Horizontale geneigt sind! * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 15. Jänner 016

10 Standseilbahn Salzburg sin(α) = 96,6 198,5 α 9,1 Lösungserwartung Lösungsschlüssel Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit Grad nicht angeführt sein muss. Eine korrekte Angabe in einer anderen Einheit ist ebenfalls als richtig zu werten. Toleranzintervall: [9 ; 30 ]

11 Vermessung einer unzugänglichen Steilwand* Aufgabennummer: 1_488 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: AG 4.1 Ein Steilwandstück CD mit der Höhe h = CD ist unzugänglich. Um h bestimmen zu können, werden die Entfernung e = 6 Meter und zwei Winkel α = 4 und β = 38 gemessen. Der Sachverhalt wird durch die nachstehende (nicht maßstabgetreue) Abbildung veranschaulicht. D h C A e B Aufgabenstellung: Berechnen Sie die Höhe h des unzugänglichen Steilwandstücks in Metern! * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 10. Mai 016

12 Vermessung einer unzugänglichen Steilwand Mögliche Vorgehensweise: Lösungserwartung tan(α) = BC e tan(β) = BD e BC,67 m BD 4,69 m h = BD BC,0 m Die Höhe h ist ca.,0 m. Lösungsschlüssel Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit m nicht angegeben sein muss. Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist. Toleranzintervall: [ m;,1 m]

13 Aufwölbung des Bodensees* Aufgabennummer: 1_513 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: AG 4.1 Aufgrund der Erdkrümmung ist die Oberfläche des Bodensees gewölbt. Wird die Erde modellhaft als Kugel mit dem Radius R = km und dem Mittelpunkt M angenommen und aus der Länge der Südost-Nordwest-Ausdehnung des Bodensees der Winkel φ = 0,5846 ermittelt, so lässt sich die Aufwölbung des Bodensees näherungsweise berechnen. Bodensee Aufwölbung R R φ M Aufgabenstellung: Berechnen Sie die Aufwölbung des Bodensees (siehe obige Abbildung) in Metern! Aufwölbung: Meter * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 0. September 016

14 Aufwölbung des Bodensees Lösungserwartung Mögliche Berechnung: cos( 0,5846 ) 0,083 km 83 m Aufwölbung: 83 Meter Lösungsschlüssel Ein Punkt für die richtige Lösung. Toleranzintervall: [8 Meter; 84 Meter] Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.

15 Rhombus (Raute)* Aufgabennummer: 1_536 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: AG 4.1 In einem Rhombus mit der Seite a halbieren die Diagonalen e = AC und f = BD einander. Die Diagonale e halbiert den Winkel α = DAB und die Diagonale f halbiert den Winkel β = ABC. D C f e A α a β B Aufgabenstellung: Gegeben sind die Seitenlänge a und der Winkel β. Geben Sie eine Formel an, mit der f mithilfe von a und β berechnet werden kann! f = * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 1. Jänner 017

16 Rhombus (Raute) f = a cos( ) β Lösungserwartung Lösungsschlüssel Ein Punkt für eine korrekte Formel. Äquivalente Formeln sind als richtig zu werten.

17 Winkel bestimmen* Aufgabennummer: 1_51 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: AG 4. Für einen Winkel α [0 ; 360 ) gilt: sin(α) = 0,4 und cos(α) < 0 Aufgabenstellung: Berechnen Sie den Winkel α! * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 0. September 016

18 Winkel bestimmen sin(α) = 0,4 α 1 3,6 ; α 156,4 cos(α 1 ) > 0; cos(α ) < 0 α = α 156,4 Lösungserwartung Lösungsschlüssel Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit Grad nicht angeführt sein muss. Eine korrekte Angabe der Lösung in einer anderen Einheit ist ebenfalls als richtig zu werten. Toleranzintervall: [156 ; 157 ]

19 Koordinaten eines Punktes* Aufgabennummer: 1_560 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: AG 4. In der unten stehenden Abbildung ist der Punkt P = ( 3 ) dargestellt. Die Lage des Punktes P kann auch durch die Angabe des Abstands r = OP und die Größe des Winkels φ eindeutig festgelegt werden. y φ O x P r Aufgabenstellung: Berechnen Sie die Größe des Winkels φ! * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 10. Mai 017

20 Koordinaten eines Punktes Lösungserwartung Mögliche Berechnung: tan(φ 180 ) = 3 φ 13,69 Lösungsschlüssel Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit Grad nicht angeführt sein muss. Toleranzintervall: [13 ; 14 ] Eine korrekte Angabe der Lösung in einer anderen Einheit ist ebenfalls als richtig zu werten. Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.