Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 VERMESSUNGSAUFGABEN

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1 Mathematik Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 4 3. Semester ARBEITSBLATT 4 VERMESSUNGSAUFGABEN Nun wollen wir unser Wissen über recht- und schiefwinkelige Aufgaben an einigen Aufgaben beweisen Beispiel Ermittle die Entfernungen AP und BP des unzugänglichen Punktes P von den Endpunkten A und B der Standlinie. Gegeben ist AB s 306, 4 m; Winkel BAPα46,4 ; Winkel ABPβ58,75. Lösung Als Erstes sei die Winkelangabe etwas geklärt. Die Angabe Winkel BAP (Im Lehrbuch steht für das Wort Winkel das Winkelsymbol) bedeutet, dass der angesprochene Winkel durch Verbindung der Eckpunkte von B nach A und von A nach P gebildet wird. Zunächst fertigen wir einmal eine Skizze an Nachdem von diesem Dreieck drei Größen bekannt sind (wobei Länge dabei ist), lassen sich alle Größen berechnen. Beginnen wir mit der Strecke BP, welche ich mit a bezeichne (Tragen Sie ihre Bezeichnungen bitte immer auf der Skizze ein). Wir verwenden den Sinussatz, welcher immer lautet Seite zu Sinus des gegenüberliegenden Winkels ist wie andere Seite zu Sinus des gegenüberliegenden Winkels. Wir setzen also an a s sinα sin γ Mit γ meine ich den Winkel APB, welcher aber noch nicht gegeben ist. Ich gebe zunächst einmal unsere Skizze mit unseren neu definierten Längen noch einmal an

2 Mathematik Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 4 3. Semester Wir ermitteln γ mittels der Winkelsumme γ 80 α β 74, Nun können wir die bekannten Werte in unseren Sinussatz einsetzen a s sinα sin γ a 306, 4 / sin 46, 4 sin 46, 4 306, 4 sin 46, 4 a 9, 88 Nun können wir die Strecke AP b ebenfalls mittels des Sinussatzes berechnen b s sin β sin γ Wir setzen bekannte Werte ein b 306, 4 / sin 58, 75 sin 58, , 4 sin 58, 75 b 738, Übung Übungsblatt 4; Aufgaben 0 Beispiel Berechne Umfang und Flächeninhalt des ebenen viereckigen Grundstücks. AB a 07, 35m; BC b 58, 6m; AD d 864, m; α 50, 35 ; β 65, 77 Lösung Wir fertigen wieder eine Skizze an

3 Mathematik Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 4 3. Semester Da wir mit Vierecken direkt so gut wie gar nichts rechnen können, müssen wir versuchen möglichst geschickt in Dreiecke zu unterteilen. Möglichst geschickt bedeutet, dass entweder schiefwinkelige Dreiecke, von denen wir drei Größen kennen, oder rechtwinkelige Dreiecke, von denen wir zwei Größen kennen, entstehen sollen. Wir zeichnen uns die Diagonale e ein Damit haben wir mit dem Dreieck ABC ein Dreieck, von dem wir drei Größen kennen. Nachdem wir zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel kennen, können wir sofort den Flächeninhalt dieses Dreiecks berechnen. Wir verwenden die trigonometrische Flächenformel a b sin β 07, 35 58, 6 sin 65, 77 A 868, 7 Damit wir die Fläche des oberen Dreiecks ACD berechnen können, benötigen wir in diesem Dreieck ebenfalls drei Größen. Wir kennen aber erst die Seite d, folglich müssen wir noch Größen ermitteln. Zunächst können wir aus dem Dreieck ABC die Seite e ermitteln, welche ja auch Seite des Dreiecks ACD ist. Wir verwenden dazu den Cosinussatz e a + b a b cos β Wir setzen die bekannten Größen ein e 07, ,6 07,35 58,6 cos65, 77 e 9794,56 98,97 Nun benötigen wir noch eine dritte Größe. Dazu wenden wir einen Trick an. Wir kennen ja den Winkel α. Die Diagonale e teilt diesen Winkel aber in zwei Teile. Aus dem unteren Dreieck ABC können wir aber diesen 3

4 Mathematik Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 4 3. Semester Teilwinkel (Ich benenne ihn α ) berechnen. Der obere Teilwinkel ( α benannt) ergibt sich dann aber als Differenz von α und α Mittels des Sinussatzes berechnen wir zunächst den Winkel α b e sinα sin β Wir setzen bekannte Größen ein 58,6 98,97 sin sin 65,77 α Wir multiplizieren kreuzweise 58,6 sin 65,77 98,97 sinα / 98,97 58,6 sin 65,77 sinα ,6 sin 65,77 α arcsin 3, 68 98,97 Nun berechnen wir α α α α 7, 67 Nun kennen wir vom Dreieck ACD drei Größen und können in diesem Dreieck alles berechnen. Da wir zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel kennen, lässt sich sofort mittels der trigonometrischen Flächenformel die Fläche dieses Dreiecks berechnen e d sinα 98,97 8,64 sin7,67 A 6,6 Nun lässt sich die Fläche des Vierecks angeben A A + A 4094,43 Zur Berechnung des Umfangs fehlt uns noch die Seite c. Zur Berechnung wenden wir auf das Dreieck ACD den Cosinussatz an c d + e d e cosα Wir setzen die bekannten Werte ein c 8, ,97 8,64 98,97 cos7, 67 c 06,74 3,6 Nun lässt sich der Umfang angeben U a + b + c + d 80,9 4

5 Mathematik Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 4 3. Semester Übung Übungsblatt 4; Aufgabe Bei vielen Aufgaben ist natürlich das eigenständige Umsetzen des Textes und die geschickte Unterteilung in Dreiecke gefordert Beispiel Von drei Punkten A,B,C eines horizontalen Geländes ist die gegenseitige Lage bekannt. a BC 89 m, b AC 60m, Winkel BCA γ 00, 3. Ein unzugänglicher Punkt D dieses Geländes liegt auf der Verlängerung der Strecke BC über B hinaus, wobei ϕ (sprich Phi) Winkel DAB6,33 bekannt ist. Ermittle die Entfernung der Punkte B und D. Lösung Wir fertigen zunächst eine Zeichnung an Da wir die Strecke BD berechnen müssen, wollen wir zum Beispiel danach trachten, dass wir für das Dreieck ABD drei Größen kennen, denn dann können wir dort die Strecke BD d berechnen. Vom Dreieck ABC kennen wir bereits drei Größen. Mittels des Cosinussatzes können wir also die Strecke AB c berechnen. Dies ist dann bereits die zweite bekannte Größe für unser Dreieck ABD. 5

6 Mathematik Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 4 3. Semester Wir setzen an c a + b a b cosγ Wir setzen bekannte Größen ein c cos00, 3 c ,96 7,9 Nun können wir aus dem Dreieck ABC den Winkel beim Eckpunkt B β berechnen. Da aber die Strecke AD geradlinig verläuft, muss der Winkel bei B im Dreieck ABD ( β 80 - β groß sein, womit wir eine dritte Größe für das Dreieck ABD hätten. Mittels des Sinussatzes berechnen wir uns zunächst einmal β b c sin β sinγ Wir setzen bekannte Werte ein 60 7,9 sin sin00,3 β Wir multiplizieren kreuzweise 60 sin00,3 7,9 sin β / 7,9 60 sin00,3 β arcsin 56, 6 7,9 Nun lässt sich β berechnen β 80 β 3, 84 Nun können wir im Dreieck ABD die Länge d berechnen. Da wir eine Seite und zwei Winkel kennen, möchte ich den Sinussatz verwenden. Dazu muss ich mir aber noch den der Seite c gegenüberliegenden Winkel beim Eckpunkt D ( δ) berechnen 6

7 Mathematik Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 4 3. Semester δ 80 ϕ β 9, 83 Nun setzen wir den Sinussatz an c d sin δ sinϕ Wir setzen bekannte Werte ein 79, d / sin 6, 33 sin 9, 83 sin 6, 33 79, sin 6, 33 d 634, 8 sin 9, 83 Übung Übungsblatt 4; Aufgaben 3-5 7