Schulmathematik Geometrie und Vektorrechnung Blatt 1

Transkript

1 Hans HUMENBERGER WS 05/6 Blatt Aufg.. a) Finden Sie eine Aufgabe aus einem Schulbuch der 5. Klasse, in der es um das Aufstellen, Interpretieren, Berechnen von Vektortermen (Addition, Subtraktion, Multiplikation mit einer reellen Zahl) geht. Die Aufgabe soll nicht aus dem Bereich der Geometrie stammen, sondern das Wesen von Vektor als mehrdimensionale Rechenzahl verdeutlichen. b) Erfinden Sie selbst eine solche Aufgabe. Aufg.. a) Auf einem LKW befinden sich gleichartige Kisten und Fässer. Der Vektor, der die Anzahl der Kisten bzw. Fässer angibt, ist A = (3 a). Der Vektor G = (0 40) gibt das Stückgewicht von Kisten bzw. Fässern (in kg) an. Die Ladung auf dem LKW wiegt insgesamt 40 kg. Wie viele Fässer befinden sich auf dem LKW? b) Eine Firma erzeugt zwei Waren in zwei aufeinander folgenden Halbjahren.. Halbjahr: Stückzahlvektor S = (8 ), Gesamtproduktionskosten k = Halbjahr: Stückzahlvektor S = (4 5), Gesamtproduktionskosten k = Was gibt der Vektor P in den Gleichungen Si P = ki an? Berechnen Sie P! Aufg..3 a) Zeigen Sie stellvertretend zwei Rechengesetze (in der Vorlesung wurden acht angegeben) für A, B R und r, s R : r ( A + B) = r A + r B Distributivgesetz ( r s) A = r ( s A) Quasiassoziativgesetz b) Zeigen Sie beim Skalarprodukt das Distributivgesetz für A, B, C R : ( A + B) C = A C + B C Aufg..4 Zeigen Sie: Aus der Definition AB : = B A folgt unmittelbar AB = BA. Aufg..5 Gleichheit von Vektoren a) Ist die folgende Frage im Pfeilklassenmodell korrekt gestellt? Wenn nein, wie müsste sie lauten? b) Inwiefern ist das Thema Gleichheit von Vektoren bei der rein algebraischen Definition von Vektor als n-tupel reeller Zahlen mit weniger Schwierigkeiten verbunden?

2 Hans HUMENBERGER WS 05/6 Blatt Aufg.. Zeigen Sie: Sei a R und r R ; werden die Vektoren a und r a durch Pfeile in der Ebene dargestellt, so gilt:. Der zu r a gehörige Pfeil hat die r -fache Länge des zu a gehörigen Pfeiles.. Für a o sind die beiden Pfeile bei r > 0 gleichsinnig parallel und bei r < 0 ungleichsinnig parallel (im elementargeometrischen Sinne: d. h. trägt man die Pfeile a und r a vom selben Anfangspunkt aus ab, so liegen sie auf derselben Geraden). Man könnte das mit der cos-formel zwischen Vektoren zeigen oder mit dem Begriff der Steigung. Geben Sie einen elementargeometrischen Beweis mittels der Strahlensätze. Wie muss man da genau argumentieren? 3. Vektoren b r a können nicht parallel zu a sein. Aufg.. a) Erarbeiten Sie eine Lösungsformel für den allgemeinen inneren Teilungspunkt T der Strecke AB im Verhältnis a : b. b) Erarbeiten Sie eine Lösungsformel für den allgemeinen äußeren Teilungspunkt T ' der Strecke AB im Verhältnis a : b. (Welche Bedingung müssen dabei a und b erfüllen?) Aufg..3 Im Drachenviereck (Deltoid) ABCD mit A = ( ) und C = (3 5) hat die Diagonale BD die Länge 0. Der Diagonalenschnittpunkt E teilt die Diagonale AC im Verhältnis :. Ermitteln Sie die Koordinaten der Eckpunkte B und D sowie Umfang und Flächeninhalt des Drachenvierecks. Aufg..4 Zeigen Sie: Teilen die Punkte T bzw. T ' die Strecke AB innen bzw. außen im gleichen Verhältnis a : b (a > b), so wird umgekehrt auch die Strecke TT ' durch die Punkte B bzw. A im gleichen Verhältnis innen bzw. außen geteilt. a) Finden Sie einen möglichst einfachen Weg, bei dem die neuen Teilverhältnisse ( a b) : ( a + b) mitgeliefert werden. b) Finden Sie einen noch kürzeren Weg der Begründung, bei dem die neuen Teilverhältnisse nicht mitgeliefert werden, sondern nur deren Gleichheit gezeigt wird. Aufg..5 Es seien vier Punkte A, B, C, D mit ihren Koordinaten gegeben. Beschreiben Sie, wie man rein rechnerisch möglichst einfach untersuchen kann, ob das Viereck ABCD ein Trapez ist! Wie kann man im Fall eines Trapezes möglichst einfach feststellen, dass es nicht entartet ist?

3 S schrift -lich! Aufg..6 Wir sind beim Begriff Teilverhältnis vom Verhältnis a : b ausgegangen und haben es definiert durch AT : BT = a : b, d. h. bei der Definition kamen Streckenlängen zum Tragen, nicht Pfeile (Vektoren, orientierte Strecken ). Es gibt auch die Möglichkeit das Teilverhältnis etwas anders zu definieren: Erstens wird dabei von orientierten Strecken (Pfeilen) gesprochen, und zweitens wird das Verhältnis a : b zu einer einzigen Zahl λ R zusammengefasst (die auch negativ sein kann): Ein Punkt T der Trägergeraden der Strecke AB heißt Teilungspunkt zum Teilverhältnis λ R, wenn gilt: AT = λ BT Ist λ < 0, so heißt T innerer Teilungspunkt, bei λ > 0 heißt T äußerer Teilungspunkt. a) Machen Sie eine Skizze; welche Werte hat λ außerhalb der Strecke auf der Seite von A bzw. B? Geben Sie die Grenzwerte von λ nach links bzw. rechts an (in den 3 Bereichen: außerhalb von A, zwischen A und B, außerhalb von B)! Welchem Wert von λ entsprechen dabei die Punkte A und B? Welcher Wert von λ ist dabei von vornherein ausgeschlossen? b) Leiten Sie eine allgemeine Formel für den Teilungspunkt T her (in Abh. von A, B, λ )!

4 Hans HUMENBERGER WS 05/6 Blatt 3 Aufg. 3. Skalarprodukt a) Was kann man folgern, wenn für die Vektoren a, b b) Der Versuch, das Skalarprodukt von Vektoren a, b gilt: a b = a b? durch a b = a b scheitert u. a. daran, dass dann das Distributivgesetz nicht mehr gelten würde. Weisen Sie dies nach! c) Folgt aus a b = a, dass notwendig a = b sein muss? zu definieren, Wenn ja, warum, wenn nein, warum nicht? d) Gilt beim Skalarprodukt auch so eine Art Kürzungsregel: a b = a c b = c bzw. a b = c b a = c? Aufg. 3. Das Dreieck ABC wird von den Vektoren AB = a und AC = b aufgespannt. Der Punkt P sei durch AP = s a mit 0 < s < bestimmt. Von P aus zieht man PQ BC, QR AB, RP ' AC usw. a) Man zeige durch Berechnung von Q, R, P ', Q ', R ', dass sich der Parallelenzug schließt. Welche Beziehung besteht jeweils zwischen P und P ', Q und Q ', R und R '? b) Wie muss man P wählen, dass sich der Parallelenzug schon nach einem Umlauf schließt? c) Bei welchem P fallen die drei inneren Schnittpunkte des Parallelenzuges zusammen? Aufg. 3.3 Für die Seitenvektoren a, b, c, d eines Trapezes gelte c = k a ( k > 0), der Schnittpunkt der Diagonalen sei S. a) Drücken Sie d durch a und b aus! b) In welchem Verhältnis teilt S die Diagonalen AC und BD? c) Drücken Sie s = AS durch a und b aus! d) Was gilt im Sonderfall k =? Aufg. 3.4 a) Von zwei Eckpunkten eines Dreiecks ABC seien Transversalen zu den gegenüberliegenden Dreiecksseiten gezogen, sie teilen einander im Verhältnis 3 :. In welchem Verhältnis teilt jede der Transversalen jeweils die gegenüberliegende Seite? b) Lösen Sie dieses Problem allgemein für ein Teilverhältnis der Transversalen von m : n ( m, n N *). Aufg. 3.5 Vektorieller Beweis des Satzes von Pythagoras In einem rechtwinkligen Dreieck werden die beiden orthogonalen Kathetenvektoren mit a, b bezeichnet, dann ist c = a + b. Zu zeigen ist, dass a + b = a + b gilt. a + b = a + b = a + a b + b = a + b Beweis: ( ) = 0 Ist das ein korrekter Beweis für den Satz von Pythagoras? Wenn nein, warum nicht?

5 Hans HUMENBERGER WS 05/6 Blatt 4 Aufg. 4. Wie überprüft man die gegenseitige Lage zweier Geraden in gemischter Darstellung (eine Parameterdarstellung, eine Gleichung)? Beschreiben Sie allgemein! Wie überzeugt man sich (vorher!) leicht, ob es überhaupt einen Schnittpunkt geben wird, oder ob g h bzw. g = h gilt? g : X x g = + t x g h : n x + n y = c Aufg. 4. Gegeben sei eine Gerade g : 3x 4y = 5 und ein Punkt G = (3 ) g. Eine Gerade h geht h auch durch diesen Punkt und hat den Richtungsvektor GH =. h a) Berechnen Sie den Abstand des Punktes H von der Geraden g (Hesse sche Normalform). h b) Zeigen Sie mittels der Hesse schen Normalform, dass der Punkt X = G + t auf der h Geraden h den t -fachen Abstand von g hat. Aufg. 4.3 a) Welcher Punkt der Strecke AB mit A = ( 3 ) und B = ( 4) hat vom Koordinatenursprung den kleinsten Abstand? Wie groß ist dieser? Zeichnung! 5 b) Welcher Punkt der Strecke AB hat von der Geraden g : X = + t maximalen (minimalen) Abstand? Wie groß sind diese Abstände? Arbeiten Sie mit der Hesse schen 0 4 Normalform von g und einem allgemeinen Punkt der Strecke AB. Zeichnung! Aufg. 4.4 Leiten Sie die Flächenformel A = a b ( a b ) trigonometrischen Flächenformel für Parallelo- A = a h a gramme so hergeleitet werden. A = a b sinϕ für Dreiecke in der Ebene mittels der her (in der VO haben wir dafür benutzt). Analog kann die Flächenformel A = a b ( a b ) Aufg. 4.5 Gibt es ein Dreieck in der Ebene, dessen Eckpunkte Gitterpunkte sind (ganzzahlige Koordinaten) und Flächeninhalt 0 E² bzw. 0 E² beträgt? Wenn ja, geben Sie eines an, wenn 3 4 nein, warum kann es so was nicht geben?

6 Hans HUMENBERGER WS 05/6 Blatt 5 Aufg. 5. Gegeben ist das lineare Gleichungssystem in zwei Variablen x, y: ax + 3y = 5 a) b) 9 x + y = 4 9x + 3y = b 3x + ay = b Geben Sie jeweils alle möglichen Werte für a und b an, so dass das Gleichungssystem ) genau eine ) keine 3) unendlich viele Lösungen hat. Beschreiben Sie Ihre Überlegungen! Aufg. 5. Berechnen Sie die Koordinaten des Höhenschnittpunkts H, des Schwerpunkts S und des Umkreismittelpunkts U des Dreiecks ABC. Zeigen Sie, dass H, S, U auf einer Geraden liegen ( Euler sche Gerade ), wobei S die Strecke HU im Verhältnis : teilt. A = ( 4 ), B = (8 ), C = ( 7) Aufg. 5.3 Gegeben sind die Koordinaten der Eckpunkte eines Dreiecks: A = (4 ), B = ( 0), C = (8 3) Berechnen Sie die Koordinaten des Inkreismittelpunktes I. Zeigen Sie, dass in diesem Beispiel a A + b B + c C auch gilt: I =, wobei a : = BC, b : = AC, c : = AB ist (diese Formel gilt a + b + c wirklich allgemein, siehe Aufgabe 5.4). Aufg. 5.4 a A + b B + c C Zeigen Sie die Formel I = für den Inkreismittelpunkt allgemein: Der Inkreismittelpunkt ist das mit den Längen der Gegenseite gewichtete Mittel der Eckpunkte! a + b + c [Hinweis: Eine Parameterdarstellung der Winkelsymmetrale bei α ist gegeben durch: C A B A wα : X = A + t +, erklären Sie genau, warum! ] b c Aufg. 5.5 Ein Springer (Pferd) steht zentral auf einem Schachbrett und kann sich auf die bekannte Art und Weise auf acht mögliche Arten bewegen. Bilden die Endpunkte dieser acht möglichen Züge (das Pferd soll immer genau auf den jeweiligen Mittelpunkten der Felder stehen) ein regelmäßiges Achteck um die ursprüngliche Position? Berechnen Sie die Zentriwinkel zwischen je zwei benachbarten Positionen! Könnte man hier auch einfacher als über die Zentriwinkel argumentieren? S schrift -lich! Aufg. 5.6 Wann gilt beim Skalarprodukt im a b = a b R : ( ) Immer? Nie? Manchmal? Begründung! Wenn manchmal, beschreiben Sie alle Fälle, bei denen diese Beziehung gilt.?

7 Hans HUMENBERGER WS 05/6 Blatt 6 Aufg. 6. In GeoGebra kann man eine (Analog-)Uhr als Animation laufen lassen: Mit Vektoren und einem Schieberegler für die Zeit t. Dazu braucht man Vektoren (sozusagen als Minuten- bzw. Stundenzeiger), deren Stellung geeignet von der Zeit t abhängt. Wie könnte so eine Darstellung aussehen, so dass zu Beginn beide Zeiger auf h stehen? Bereiten Sie eine entsprechende GeoGebra-Animation vor, speichern Sie diese auf einem Stick und zeigen Sie diese in der Übung vor. Aufg. 6. Rechengesetze für das Vektorprodukt 3 Für alle a, b, c R und r R gilt:. a b = ( b a) NICHT kommutativ ( antikommutativ ). ( r a) b = r ( a b ) = a ( r b ) a b + c = a b + a c 3. ( ) Diese Gesetze könnten einerseits durch die Einführung allgemeiner Koordinaten gezeigt werden (z. B. a = ( a a a3) etc.). Man kann aber auch über die bekannten geometrischen Ei- genschaften des Vektorprodukts argumentieren (bei 3. kann man das zumindest für den Fall machen, dass a, b, c in einer Ebene liegen), tun Sie das! Aufg. 6.3? a) Warum gilt für alle t R : a b = a ( b + t a) b) Überprüfen Sie das Assoziativgesetz beim Vektorprodukt. Aufg. 6.4 (Malle u. a. 6. Klasse) Aufg. 6.5 Zeigen Sie, dass gilt: a b = a b sinϕ, wobei 0 ϕ 80 das Maß des von den Vektoren a, b eingeschlossenen Winkels ist.