Kommt ein Vektor zur Drogenberatung: "Hilfe ich bin linear abhängig."

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1 Stephan Peter Wirtschaftsingenieurwesen WS 15/16 Mathematik Serie 8 Vektorrechnung Kommt ein Vektor zur Drogenberatung: "Hilfe ich bin linear abhängig." Aufgabe 1 Gegeben sind die Vektoren a = b = 1 graphisch und anschließend rechnerisch: a a + b b a b c b+ a d b a in der Ebene. Man bestimme zunächst Aufgabe Liegen die drei Punkte P 1 =, 0, 4, P = 1, 1, 1 und P = 1,, auf einer Geraden? Aufgabe Stellen Sie den Vektor c = a = 1 und b = 1 14 dar. als Linearkombination der Vektoren Berechnen Sie den Winkel, den die beiden Vektoren a und b einschließen. Aufgabe 4 Bestimmen Sie den Punkt P auf der x-achse, der von den Punkten A =, 4, 5 und B =,, 7 den gleichen Abstand besitzt! Aufgabe 5 Bestimmen Sie t R so, dass die Vektoren a =, t, 4t T und b = 8, 4, t T orthogonal zueinander sind! Aufgabe 6 Berechnen Sie λ derart, dass der Abstand der Punkte A =, 1, λ und B = 4,, gleich 9 ist. Aufgabe 7 Zeigen Sie, dass die Vektoren, 14, 5 T, 11,, 10 T, 10, 5, 10 T einen Würfel aufspannen! Aufgabe 8 Liegen die Vektoren a, b, c in einer gemeinsamen Ebene? 1 a = 4, b =, c =

2 Aufgabe 9 Gegeben seien die Punkte P 1 = 1,, und P =,, 1 im Raum. Bestimmen Sie alle Punkte P = x, y, z des Raumes, die von P 1 und P den gleichen Abstand haben, d.h. für die gilt P 1 P = P P. Aufgabe 10 Untersuchen Sie, ob die vier Punkte A = 1,, 1, B = 1,, 4, C = 0, 5, 7 und D =, 4, 4 in einer Ebene liegen! Aufgabe 11 Berechnen Sie den Schnittwinkel, unter dem sich die Diagonalen eines Würfels schneiden! Aufgabe 1 Von einem Eckpunkt eines Quadrates werden Geraden zu den Mittelpunkten der gegenüberliegenden Seiten gezogen. Bestimmen Sie den Winkel zwischen diesen Geraden! Aufgabe 1 Wo liegt die Spitze des Vektors, der im Punkt P 1 7; ; angreift, in Richtung auf P 6; 1; 4 zeigt und die Länge s = 5 hat? Aufgabe 14 Die Verbindungsstrecke P Q von P,, 1 nach Q, 4, 4 wird durch einen Punkt S im Verhältnis : 1 geteilt. a Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes S! b Bestimmen Sie die Entfernung des Punktes S vom Koordinatenursprung! Aufgabe 15 Für welches y R hat das Dreieck mit den Eckpunkten P 1 = 1, y, 5, P =, 1, 0 und P =,, 1 den Flächeninhalt 6? Aufgabe 16 Wo liegen die anderen drei Eckpunkte eines Quadrates mit dem Eckpunkt A = 1, 0, 1, der Seite AB = 1, 5, 0 T und einer Seite, die zur z-achse parallel verläuft? Aufgabe 17 Welche Bedingungen müssen die Vektoren a und b erfüllen, damit c = a + b und d = a b senkrecht aufeinander stehen? Aufgabe 18 Seien P = 1, 1, 0, Q =, 4, 6 und R =, 1, die Eckpunkte eines Dreiecks im Raum.

3 Berechnen Sie die Schwerpunktkoordinaten S, den Umfang U und den Flächeninhalt A des Dreiecks. Ist das Dreieck rechtwinklig? Wenn ja, überprüfe man den Satz des Pythagoras. Aufgabe 19 Berechnen Sie: a den Winkel α zwischen der Raumdiagonalen und einer der sich daran anschließenden Kanten eines Würfels. b den Winkel β zwischen der Raumdiagonalen und einer der sich daran anschließenden Flächendiagonalen eines Quadrates der Würfeloberfläche. Aufgabe 0 Gegeben seien die Vektoren a = 1, 1, 1 T und b =, 0, 1 T. a Bestimmen Sie die Summe und das Skalarprodukt dieser Vektoren. b Ermitteln Sie einen Vektor c, der sowohl auf a als auch auf b senkrecht steht. c Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das von a und b aufgespannt wird. d Berechnen Sie das Volumen des Parallelepipeds, welches von a, b und dem Vektor d = 1,, 0 T aufgespannt wird. Aufgabe 1 Drei ehemalige Studienkollegen wohnen in Köln, München und Berlin. In einem geeigneten Koordinatensystem lässt sich die Lage der Städte wie folgt beschreiben: K = 7, 51, M = 1, 48 und B = 1, 5. Die drei wollen sich wiedersehen und vereinbaren einen Treffpunkt, zu dem es jeder der drei Freunde gleich weit hat. Welche Koordinaten hat dieser Treffpunkt? Aufgabe Ein Fahrzeug soll in möglichst kurzer Zeit vom Punkt 0; 0 km zum Punkt 0; 10 km gelangen. Auf der Straße x-achse kann es 50 km/h fahren, im Gelände außerhalb der x-achse dagegen nur 0 km/h. An welcher Stelle der Straße muss das Fahrzeug abbiegen? Aufgabe Von einem Quader wurde eine Ecke abgesägt, so dass eine ebene Schnittfläche entsteht siehe Skizze. Berechnen Sie mit Hilfe der Vektorrechnung den Flächeninhalt der Schnittfläche! H L B Aufgabe 4

4 F Um eine Last zu halten, ist eine Kraft F = 00 N aufzuwenden. Wie schwer ist die Last, und mit welcher Kraft R wird der Stab, der die Rolle hält, beansprucht? 0 L Aufgabe 5 Eine Last, die mittels zweier Seile S 1 und S verspannt ist, übt eine Kraft von 100 N aus. Mit welchen Zugkräften werden die beiden Seile beansprucht? 4 m S1 S 10 m 6 m 8 m Aufgabe 6 Im Punkt D1; ; 1 ist ein Haken befestigt, von dem aus drei Stahlseile nach den Punkten A; 1; 1, B 7; 4; und C 1; 9; gespannt sind. Die Zugkräfte in den Seilen haben folgende Beträge: F A = N, F B = 9000 N, F C = N. Berechnen Sie die in D angreifende Gesamtkraft Komponenten und Betrag! Aufgabe 7 An einem Ausleger hängt eine Last von 40 kn. Welche Zugbzw. Druckkraft wirkt auf die Stäbe, wenn α = 48 und β = 116 ist? Aufgabe 8 Ein Gerüst, bestehend aus zwei geraden, unterschiedlich langen und im Punkt A; 5 verbundenen Balken, trage in A eine Last von 700kp. Die beiden Balken sollen in den Punkten P 1; 1 und Q4; stufenförmig aufliegen. Welchen Druckkräften sind die beiden Balkenquerschnitte ausgesetzt? Wie groß sind die senkrecht gerichteten Auflagedruckkräfte sowie die waagerecht wirkenden Seitendrücke in den Auflagepunkten der gewichtslos gedachten Balken? β α F Kommt ein Nullvektor zum Psychiater und trägt sein Problem vor: "Herr Doktor, bitte helfen Sie mir. Ich bin immer so orientierungslos." 4

5 Lösungen Ja. c = 4 a + b 4 P = 1, 7 ; 0 ; 0 5 ± 6 λ 1 = 1, λ = 5 7 Es gilt: a = b = c = 15 und a b, b c und c a 8 Ja. 9 alle Punkte, die 0 = x, y, z T 1, 1, 1 T erfüllen 10 Die vier Punkte liegen in einer Ebene , 5 1 6, a S 1,, b OS = y 1 = 8, y = 16 B = 1, 5, 1, C = 1, 0, 1, D = 1, 5, 1 oder B = 1, 5, 1, C = 1, 0, 14, D = 1, 5, a = b 18 S = /, 4/, 8/, U = 19.5, A = 14.4, Ja 19 a α = 54, 7 b β = 5, 6r 0 a a + b =, 1, T, a b = b c = 1, 1, T c A = 6 d V = 1 1 Treffpunkt 10, 57 ; 50, 99 nach etwa 5,66 km A = 1 L H + H B + L B 4 L = 17, N R = 46,4 N Zugkraft 5 S 1 = 6,1 N S = 96, N 6 F 5000 = 1000 N, F = 4 56 N F α = 6,741 kn Zugkraft F β = 51,876 kn Druckkraft 8 F I = kp F II = kp 00 kp F I =, 00 kp FII = 600 kp 100 kp 0. November 015, 18:4 Uhr 5

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