Musterlösung der Präsenzaufgaben zu Mathematik I für ET/IT und ITS

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Bella Hofmeister
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1 Musterlösung der Präsenzaufgaben zu Mathematik I für ET/IT und ITS WS 0/0 Blatt 0. Entscheiden Sie, ob die Vektoren v = (,,,4), v = (,0, ), v = (0,,,0), v 4 = (,,, ) linear unabhängig sind. Schreiben Sie, falls dies möglich ist, den Vektor v = (,0,0,) als Linearkombination der Vektoren v,..., v 4. Lösung. Wir berechnen den Rang der Matrix A = (a ij ), deren Spalten die Vektoren v j sind, also v j = 4 i= a ij e j und lösen das lineare Gleichungssystem v = v j α j = a ij α j e i (A b) = j= i= j= DarangA =,sinddievektoren v,..., v 4 linearabhängig.daranga = = rang(a b), ist das lineare Gleichungssystem lösbar und v liegt im dreidimensionalen Unterraum span{ v,..., v 4 }. Wählt man α 4 = 0, so erhält man α = +7α 4 = α = α = +α +α 4 = = α = α α 4 =. α = Eine Linearkombination ist v = v + v v.

2 . Überprüfen Sie, dass die Vektoren v = (,,) und v = (,, 4) senkrecht aufeinander stehen. Finden Sie einen von 0 verschiedenen Vektor v R, der orthogonal zu v und v ist und Länge hat. Bestimmen Sie die Koordinaten des Vektors v = (,0,0) R bezüglich der Basis { v, v, v }. Lösung. Es gilt (,,),(,, 4) = + 4 = 0. Also v v. Mit dem Ansatz v = (x,x,x ) erhält man aus den Bedingungen v v und v v das Gleichungssystem x +x +x = 0 und x +x 4x = 0, also ( ) ( ) Es besitzt die Lösungen (t, t,0) mit t R, z.b. (,,0). Normierung ergibt v = (,,0) oder v = (,,0). Man kann v auch mit Hilfe des Kreuzproduktes berechnen: ( 4) 9 v v = = ( 4) = 9 = Da v, v, v paarweise orthogonal zueinander sind, folgt aus dem Ansatz v = j= α j v j die Gleichung v, v j = α j v j für j =,,, also α = v, v v = + + = 9 α = v, v v = + +( 4) = 8 α = v, v v =.. Das Flussufer verläuft entlang der Geraden durch die Punkte (0,6) und (9,0). Sie befinden sich (mit einem Eimer) im Punkt M = (5,7). An der Stelle F = (6,0) ist ein Feuer. An welchem Punkt P am Flussufer mßsen Sie Wasser holen, wenn Sie das Feuer mit Wasser möglichst schnell erreichen wollen? (Ihre Laufgeschwindigkeit hängt nicht davon ab, ob der Eimer gefüllt ist oder nicht.) Lösung. Die Gerade g läuft durch den Punkt v 0 = (0,6), hat den Richtungsvektor v = (9, 6,) und einen Normalenvektor n = (,). Die lineare Form der Geraden g ist x, n = v 0, n = 8. Die Spiegelung σ(m) des Punktes M an der Geraden g ist σ(m) = M + v ( ) 0 M, n 5 n n = + ( 5, ),(,) 7 + ( ) 5 = ( ) ( ) = 7 ( )

3 0 M l F 5 M' P g Die Gerade l durch F und σ(m) läuft durch w 0 = (6,0), hat den Richtugnsvektor w = (5,9) und einen Normalenvektor m = ( 9,5). Die lineare Form der Geraden g ist x, m = w 0, m = 6. Der Schnittpunkt der Geraden g und l ist die Lösung des linearen Gleichungssystems ( ) ( ) ( ) , also y = 58/9 und x = 8 74/9, also x = 84/9. Man muss den Uferpunkt (84/9, 58/9) ansteuern.

4 Musterlösung der Hausaufgaben zu Mathematik I für ET/IT und ITS WS 0/0 Blatt 0. Entscheiden Sie, ob die Vektoren v = (,,0, ), v = (,0,,), v = (,,, ), v 4 = (4,,7,4) linear unabhängig sind. Schreiben Sie, falls dies möglich ist, den Vektor v = (,,,) als Linearkombination der Vektoren v,..., v 4. Lösung. Wir berechnen den Rang der Matrix A = (a ij ), deren Spalten die Vektoren v j sind, also v j = 4 i= a ij e j : A = Da ranga = 4, sind die Vektoren v, v, v, v 4 linear unabhängig und bilden eine Basis des R 4. Darum läßt sich der Vektor v als Linearkombination der Vektoren v,..., v 4 schreiben. Man muss das lineare Gleichungssystem e e 4 = v = v j α j = a ij α j e i lösen. (A b) = Dies bedeutet α 4 = Die gesuchte Linearkombination ist j= i= α = α 4 = 0 j= α = +α α 4 = α = +α +α 4 = 0. v = v + v

5 . (a) Überprüfen Sie, dass die Vektoren v = (,0,) und v = ( 4,,4) senkrecht aufeinander stehen und normieren Sie v und v. (b) Finden Sie einen von 0 verschiedenen Vektor v R, der orthogonal zu v und v ist. (c) Liegt der Vektor v = (0,, ) R in der von den Vektoren v und v aufgespannten Ebene? Lösung. Es gilt (,0,),( 4,,4) = = 0, also v v. Da v = + = und v = ( 4) + +4 = 6, sind die normierten Vektoren v v = v = (,0,) und v v = 6 v = (,,) Mit dem Ansatz v = (x,x,x ) erhält man aus den Bedingungen v v und v v das Gleichungssystem x +x = 0 und 4x +x +4x = 0, also ( ) ( ) ( ) Es besitzt die Lösungen ( t, 4t,t) mit t R, z.b. (, 4,). Normierung ergibt ± v = (, 4,) = 8 6 (, 4,). Man kann v auch mit Hilfe des Kreuzproduktes berechnen: v v = 0 = ( 4) 4 = 6 = ( 4) 4 Da v, v, v paarweise orthogonal zueinander sind, liegt v = (0,, ) genau dann in der von den Vektoren v und v aufgespannten Ebene, wenn die Orthogonalprojektion von v auf span v trivial ist. Es gilt v, v = (0,, ),( 4,,4) = 0+ 8 = 6 0. Alsoliegt v = (0,, )nichtindervondenvektoren v und v aufgespanntenebene.

6 . Die Gerade g durch die Punkte (0, ) und (, 0) reflektiert Lichtstrahlen. Auf welchen Punkt auf der Geraden g muß ein Lichtstrahl vom Punkt Q = (4, 7) aus geschickt werden, dass er erst auf den Spiegel trifft und dann durch den Punkt E = (7, ) läuft? Lösung. Die Gerade g läuft durch den Punkt v 0 = (0,), hat den Richtungsvektor v = (, ) und einen Normalenvektor n = (,). Die lineare Form der Geraden g ist x, n = v 0, n = 6. Die Spiegelung σ(e) des Punktes E an der Geraden g ist σ(e) = E + v ( ) 0 E, n 7 n n = + ( 7,4),(,) ( + ( ) 7 = ( ) ( ) = 5 ( ) Die Gerade l durch Q und σ(e) läuft durch w 0 = (4,7), hat den Richtugnsvektor w = (,4) und einen Normalenvektor m = ( 4,). Die lineare Form der Geraden l ist x, m = w 0, m = 9. Der Schnittpunkt der Geraden g und l ist die Lösung des linearen Gleichungssystems ( ) ( ) 6, also x = / und x = (/)x = +/ = 4/. Der Lichtstrahl muss auf den Punkt (4/, /) gerichtet werden. 8 7 Q 6 g P E 4 5 E

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