Mathematik Analytische Geometrie

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1 Mathematik Analytische Geometrie Grundlagen:. Das -Dimensionale kartesische Koordinatensystem: x x x. Vektoren und Ortsvektoren: a x = x x ist ein Vektor, der eine Verschiebung um x -Einheiten in x-richtung, um x -Einheiten in x -Richtung und um x -Einheiten in x -Richtung darstellt. Gegeben sei ein Punkt P: P x x x x OP = p = x x OP ist der Ortsvektor, der eine Verschiebung vom Ursprung, dem Punkt ( ), zum Punkt P ( x x ) darstellt. x. Gegenvektoren: a ist Gegenvektor zu a Die Vektoren a und a sind kollinear, haben die gleiche Länge und unterscheiden sich nur in ihrer Richtung! 4. Addition und Subtraktion von Vektoren: a b a + b a + b = a + b = a + b a b a + b a a + b b - -

2 a b a b a + ( b) = a b = a b = a b a b a b Hinweis: Die Subtraktion zweier Vektoren lässt sich als Addition des ersten Vektors mit dem Gegenvektor des zweiten Vektors darstellen. 5. Skalare: a Der Vektor a = a lässt sich durch Multiplikation mit einer reellen Zahl r R, auch a Skalar genannt, in seiner Länge skalieren. Er wird dabei für r > gestreckt und für r < gestaucht. Es gilt dann: r a r a = r a r a Ist r negativ, so wird die Richtung des Vektors invertiert. 6. Weitere Rechenregeln für Vektoren und Skalare: Es gilt das Distributivgesetz: r ( a + b) = r a + r b r a + s a = r + s a Es gilt das Kommutativgesetz: r s a = r s a 7. Lineare Abhängigkeit von zwei Vektoren: Lässt sich ein Vektor a durch Multiplikation des Vektors b mit einem Skalar darstellen, gilt also a = r b, dann nennt man a und b linear abhängig, oder kollinear. 8. Lineare Abhängigkeit von mehreren Vektoren: Lässt sich ein Vektor a durch eine Linearkombination der Vektoren b und c darstellen, gilt also a = r b + s c, dann nennt man diese Vektoren linear abhängig, oder auch komplanar. Sie liegen dann alle auf einer gemeinsamen Ebene. - -

3 9. Länge eines Vektors: Die Länge des Vektors a ergibt sich über den Satz des Pythagoras aus der Wurzel der Summe der Quadrate seiner Einzelkomponenten: a = (a )² + (a )² + (a )² CAS-Befehl: norm( a ) 0. Skalarprodukt: Das Skalarprodukt der Vektoren a und b ist definiert als die Summe der Produkte ihrer Einzelkomponenten: a b = a b + a b + a b CAS-Befehl: dotp( a, b ). Kreuzprodukt: Das Kreuzprodukt zweier nicht kollinearer Vektoren a und b ergibt einen Vektor n, der Senkrecht auf beiden steht. Man nennt ihn Normalenvektor zu a und b : a b a b a b a b = a b = a b a b = n a b a b a b CAS-Befehl: crossp( a, b ). Winkel den zwei Vektoren bilden: Es gilt für den Winkel ϕ zwischen den Vektoren a und b : a b ϕ = arccos a b Hinweis: Stehen zwei Vektoren Senkrecht zueinander, so ist ihr Skalarprodukt gleich 0.. Normalisierung von Vektoren: Teilt man einen Vektor a durch seine eigene Länge a, so ergibt sich ein Vektor a 0, der die Länge besitzt: a a0 = a Man nennt ihn dann normalisiert. - -

4 Geraden. Geradengleichung (Parameterdarstellung): Eine Gerade g ist eindeutig definiert, durch einen Richtungsvektor u und einen Stützpunkt P, durch den sie läuft. Die Geradengleichung dazu lautet: g : x = p + r u. Parameterfreie Darstellung von Geraden im R²: Eine Gerade g in der Ebene ist über die Punktsteigungsform definiert: g: y = m x + b Dann gilt für die dazu gehörige Parameterdarstellung: 0 g: x = + t b m. Umformung Parameterdarstellung in parameterfreie Darstellung: Eine Gerade g ist durch die Parameterform gegeben: s u g: x = + t s u u s u g: y = m x + b = x + s u u 4. Lage zweier Geraden: Zwei geraden g und h sind gegeben durch g: x = a + r u h: y = b + s v Prüfung der linearen Abhängigkeit von u und v : u und v sind linear abhängig (kollinear): Prüfung der linearen Abhängigkeit von AB und u : AB und u sind linear abhängig g und h sind identisch AB und u sind linear unabhängig g und h sind echt parallel u und v sind linear unabhängig (nicht kollinear) Prüfung der linearen Abhängigkeit von AB, u und v : AB, u und v sind linear abhängig g und h schneiden sich AB, u und v sind linear unabhängig g und h sind windschief - 4 -

5 5. Abstand eines Punktes von einer Geraden: Der Abstand eines Punktes Q von einer Geraden g ist die Länge der Senkrechten von Q auf g. Es muss dann gelten: g : x = p + r u x q u = p + r u q u = 0 Auflösen nach r und anschließendes Einsetzen in die Geradengleichung ergibt Projektion (Lotfußpunkt) Qg von Q auf g. Die Länge des Vektors QQ g ist dann der Abstand von Q und g. Alternative: Berechnung der Lotebene ε mit dem Normalenvektor u und dem Stützpunkt Q: ε : x q u = 0 Anschließende Berechnung des Durchstoßpunktes Q g auf ε mit g (s. Ebenen) Die Länge des Vektors QQ g ist dann der Abstand von Q und g. 6. Abstand zweier Geraden: Der Abstand zweier Geraden g und h ist die Länge der Strecke, die auf beiden Senkrecht steht und sie verbindet. Die Richtung dieser Strecke ergibt sich aus dem Normalenvektor n der beiden Richtungsvektoren: g : x = p + r u h : y = q + s v n = u v Die Strecke muss g und h verbinden, also gilt: x + t n = y p + r u + t n = q + s v Der Abstand a ergibt sich nach anschließender Lösung für die Parameter aus a = t n 7. Schnittwinkel zweier Geraden: Der Schnittwinkel zweier Geraden g und h ergibt sich aus dem Winkel ϕ zwischen ihren Richtungsvektoren u und v, wobei jedoch auf Betrag des Skalarproduktes geachtet werden muss um 0 ϕ 90 zu gewährleisten: u v ϕ = arccos u v - 5 -

6 Ebenen. Parametrische Ebenengleichung: Eine Ebene ε ist eindeutig definiert durch: einen Punkt P in der Ebene (Stützvektor p ) und zwei linear unabhängigen Richtungsvektoren u und v (Spannvektoren). ε : x = p + r u + s v drei Punkte A, B, C, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen. ε : x = a + r (b a) + s (c a) zwei Punkte A und B und einen Richtungsvektor u, der nicht kollinear zu AB ist. ε : x = a + r ( AB) + s u zwei sich schneidende Geraden. g: x = a + r u h: x = b + s v ε : x = a + r u + s v zwei Geraden, die echt parallel (nicht identisch) sind. g: x = a + r u h: x = b + s v ε : x = a + r u + s ( b a). Parameterfreie Darstellungsformen der Ebene: Normalenform: Eine Ebene ε ist weiterhin eindeutig definiert durch den Normalenvektor n, der Senkrecht auf ihr steht, und einen Stützpunkt P auf ihr. Es gilt dann: ε : x p n = 0 Umformung von parametrischer Ebenengleichung in Normalenform: ε : x = p + r u + s v Der Normalvektor n ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der Spannvektoren, n = u v, wobei der Stützpunkt P aus der Parametergleichung übernommen wird: ε : x p u v = 0 Koordinatenform: Aus der Normalform lässt sich allgemein die Koordinatenform entwickeln: x p n x n p n ε : x p n = 0 also x n = p n x p n x n p n - 6 -

7 Nach Auflösen des Skalarproduktes ergibt sich: ε : n x + n x + n x = p n + p n + p n Achsenabschnittsform: x x x Wir bringen die Gleichung auf die Form + + = : s s s x x x ε : + + = p n + p n + p n p n + p n + p n p n + p n + p n n n n Die Achsenschnittpunkte stehen nun als Nenner unter den jeweiligen Summanden. Hesse sche Normalform: Die Hesse sche Normalform ist eine Normalform, dessen Normalenvektor die Länge besitzt, also normalisiert ist: n ε : ( x p) n0 = ( x p ) = 0 n Aufgelöst besitzt sie die Koordinatenform: n x + n x + n x p n p n p n ε : = 0 n + n + n Setzt man nun für x den Ortsvektor eines Punktes Q in den Betrag des linken Terms ein, so erhält man den Abstand des Punktes Q zur Ebene ε : n q p = qε q = d wobei q ε der Ortsvektor des auf ε projizierten Punktes n Q, also der Lotfußpunkt, ist.. Schnittpunkt Ebene und Gerade: Für parametrische Ebenengleichung führt Gleichsetzen von Ebenen- und Geradengleichung zur Lösung für die Parameter im Falle eines Schnitts: ε : x = p + r u + s v g : x = a + t w p + r u + s v = a + t w Anschließendes Einsetzen der Lösungen für Parameter in die Gleichungen ergibt Schnittpunkt. Für parameterfreie Ebenengleichung führt Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung zur Lösung für den Parameter der Geraden: ε : ( x p) n = 0 g : x = a + r u a + r u p = n 0 Anschließendes Einsetzen der Lösung für Parameter in die Geradengleichung ergibt Schnittpunkt

8 4. Winkel zwischen Gerade und Ebene: u sei der Richtungsvektor einer Gerade g, die die Ebene ε durchstößt. Die Gerade schließt mit der Ebene den Winkel α ein, wobei 0 α 90. Dann gilt: n u α = arcsin n u 5. Winkel zwischen zwei Ebenen: Der Winkel φ zwischen den Ebenen ε und η ist identisch zu dem Winkel zwischen ihren Normalenvektoren n und n, wobei 0 φ 90. Dann gilt: n n φ = arccos n n 6. Schnittgerade zweier Ebenen: Bei parametrischen Ebenengleichungen: Gleichsetzen der Ebenengleichungen ergibt ein Gleichungssystem mit Gleichungen und 4 Parametern. Durch Auflösen des Systems ergeben sich Parameter in Abhängigkeit des 4. Parameters. Anschließendes Einsetzen eines Parameters in die entsprechende Ebenengleichung und Umformen ergibt die Gleichung der Schnittgeraden. Bei parameterfreien Ebenengleichungen: Beide Ebenengleichungen ergeben ein Gleichungssystem mit Gleichungen und Unbekannten. Durch Auflösen des Systems ergeben sich die Lösungen für Unbekannte in Abhängigkeit von der. Unbekannten. Nach Umformen ergibt sich die Gleichung der Schnittgeraden mit der. Unbekannten als Parameter

9 Kugeln. Kugelgleichung: Eine Kugel K mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r wird im Gleichung eindeutig definiert: K : x m = r. Tangentialebene: R durch folgende Eine Ebene ε T, die eine Kugel K im Punkt B berührt, heißt Tangentialebene und ist definiert durch eine der folgenden möglichen Gleichungen: εt : ( x m) ( b m) = r εt : ( x b) ( b m) = 0. Schnittebene zweier Kugeln: Die Schnittebene zweier Kugeln K und K berechnet sich aus dem Gleichsetzen der beiden Kugelgleichungen. Es muss also gelten: ( x m ) = r x m = r Durch auflösen dieses Gleichungssystems und Umformen ergibt sich also direkt die Ebenengleichung der Schnittebene von K und K