Vorkurs Mathematik Teil III. Lineare Algebra

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1 Vorkurs Mathematik Teil III. Lineare Algebra

2 Inhalt 0. Inhalt 1. Vektorrechnung. Matrizenrechnung 3. Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Verfahren 4. Lagebestimmungen von Punkt, Geraden und Ebenen 5. Skalarprodukt, Längen und Winkel 6. Abstände 7. Kreise und Kugeln of 11 Aachen Andreas Maurischat

3 1 Vektorrechnung 1. Vektorrechnung Wir betrachten im Folgenden stets den Raum R n = {(a 1 ;... ; a n a i R} = Menge der Punkte im n-dimensionalen Raum. für n = für n = 3 die Ebene der 3-dimensionale Raum 3 of 11 Aachen Andreas Maurischat

4 1.1 Vektoren Arbeitsdefinition Ein Vektor v im n-dimensionalen Raum ist eine Größe, die durch eine Länge (d.h. eine reelle Zahl 0 und eine Richtung im R n gekennzeichnet ist. Dargestellt werden Vektoren durch Pfeile im R n. Beispiel: Beide roten Pfeile stellen denselben Vektor dar, da sie die gleiche Länge und die gleiche Richtung haben. Ebenso stellen die beiden blauen Pfeile denselben Vektor dar. Der violette Pfeil stellt einen anderen Vektor dar, als die blauen Pfeile, da er in die entgegengesetzte Richtung geht. 4 of 11 Aachen Andreas Maurischat

5 1. Ortsvektoren und Verbindungsvektoren Definition 1 Ist P ein Punkt im R n, so nennt man den Vektor, der durch den Pfeil mit Anfang im Nullpunkt O = (0;... ; 0 und Ende beim Punkt P dargestellt wird, den Ortsvektor von P und bezeichnet ihn mit p. Sind Q und R Punkte im R n, dann ist der Verbindungsvektor von Q nach R der Vektor, der durch den Pfeil mit Anfang bei Q und Ende bei R dargestellt wird. Dieser wird mit QR bezeichnet. Ortsvektor p = OP von P und Verbindungsvektor QR 5 of 11 Aachen Andreas Maurischat

6 1.3 Komponentendarstellung von Vektoren Jeder Vektor v im R n ist gleich dem Ortsvektor von genau einem Punkt P = (p 1 ;... ; p n. Wir schreiben daher diesen Vektor auch als ( p1 p v = p =.. p n Wir haben dadurch die Vektoren im R n mit den Spaltenvektoren der Länge n identifiziert. Satz 1 Sind Q = (q 1 ;... ; q n und R = (r 1 ;... ; r n Punkte im R n, so gilt für den Verbindungsvektor ( r1 q 1 r q QR =.. r n q n ( Endpunkt minus Anfangspunkt 6 of 11 Aachen Andreas Maurischat

7 1.3 Komponentendarstellung von Vektoren Beispiel Ortsvektor p = OP von P und Verbindungsvektor QR Hier ist P = (3;, Q = ( 1 ; 1 und R = (3 ; 3. Also: p = OP = ( 3 und ( 3 QR = = ( 1 7 of 11 Aachen Andreas Maurischat

8 1.4 Rechnen mit Vektoren Zwei Vektoren können addiert werden und ein Vektor kann mit einer reellen Zahl multipliziert werden. Das Ergebnis ist jeweils ein neuer Vektor. ( v1 v. v n Vektor-Addition ( w1 w +. = w n ( v1 +w 1 v +w. v n +w n Skalarmultiplikation ( v1 ( rv1 v rv r. =. v n rv n Bemerkung Der Nullvektor o = ( (= Ortsvektor von O = (0;... ; 0 wird oft auch einfach mit 0 bezeichnet. 8 of 11 Aachen Andreas Maurischat

9 1.4 Rechnen mit Vektoren Satz 1. Für drei Punkte P, Q und R im R n gilt: PQ + QR = PR. Sind A, B und M Punkte im R n und M auf (AB so, dass die Strecke AB im Verhältnis r : s geteilt wird, dann gilt AM = r r+s AB. Beispiel: Berechne den Mittelpunkt M der Strecke QR mit Q = (6; 1 und R = (4; 5. m = q + QM = q + 1 QR = ( ( = ( 5 3 Also M = (5; 3. 9 of 11 Aachen Andreas Maurischat

10 1.5 Parameterdarstellung von Geraden Die Gerade g im R n, welche durch zwei gegebene Punkte P und Q verläuft, ist die Menge aller Punkte X, deren Ortsvektoren x geschrieben werden können als x = p + r PQ für eine geeignete reelle Zahl { r. Wir schreiben auch g = p + r } PQ r R. Allgemein ist eine Gerade g gegeben als g = { u + r v r R} für einen Vektor u und einen Vektor v o. Diese Form der Darstellung nennt man Parameterform von g, der Vektor u heißt Stützvektor und v heißt Richtungsvektor. 10 of 11 Aachen Andreas Maurischat

11 1.5 Parameterdarstellung von Geraden Beispiel Es soll eine Parameterform der Geraden g, welche durch die Punkte Q = (1; und R = (,5;,5 geht, berechnet werden. Als Stützvektor kann man hierfür den Ortsvektor von Q wählen, also q = ( 1 und als Richtungsvektor den Verbindungsvektor von Q nach R, also ( (,5 1 1,5 QR =,5 = 0,5. Damit erhält man { ( g = 1 ( } 1,5 + r 0,5 r R. Die Parameterform ist aber bei weitem nicht eindeutig. Als Stützvektor kann man nämlich den Ortsvektor ( eines jeden beliebigen Punktes auf g wählen, also zum,5 Beispiel auch r =,5. Als Richtungsvektor kann man auch jedes Vielfache o von QR wählen, also zum Beispiel auch ( 3 1. Man erhält damit {(,5 g =,5 + s ( } 3 1 s R. 11 of 11 Aachen Andreas Maurischat

12 1.6 Parameterdarstellung von Ebenen Die Ebene E im R n, welche durch drei gegebene Punkte P, Q und R verläuft, ist die Menge aller Punkte X, deren Ortsvektoren x geschrieben werden können als x = p + r PQ + s PR für geeignete reelle Zahlen r und s. (P, Q und R nicht kollinear. Wir schreiben auch E = { p + r PQ + s PR } r, s R. Allgemein ist eine Ebene E gegeben als E = { u + r v + s w r, s R} für einen Vektor u und Vektoren v, w (beide o, welche keine Vielfachen voneinander sind. Diese Form der Darstellung nennt man Parameterform von E, der Vektor u heißt Stützvektor und v und w heißen Richtungsvektoren. 1 of 11 Aachen Andreas Maurischat

13 1.6 Parameterdarstellung von Ebenen Beispiel Im R 3 sind die drei Punkte P = (1; 1; 0, Q = (; 1; und R = (3; 3; 4 gegeben und eine Parametergleichung für die Ebene E, die die drei Punkte enthält, ist gesucht. Um zunächst zu sehen, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, betrachtet man die Verbindungsvektoren ( 1 ( 10 PQ = 1 1 = und ( 3 1 ( PR = 3 1 = R liegt nämlich genau dann auf der Geraden PQ, wenn PR ein Vielfaches des Vektors PQ ist (vgl. Parameterdarstellung von Geraden. PR kann kein Vielfaches von PQ sein, da z.b. die zweite Komponente nicht 0 ist. Eine Parametergleichung für die Ebene durch P, Q und R ist nun E = { p + r PQ + s PR } r, s R {( ( ( } = + r + s r, s R of 11 Aachen Andreas Maurischat

14 Matrizenrechnung. Matrizenrechnung Idee: Matrizen sind rechteckige Schemata von Zahlen und treten an mehreren Stellen in der Mathematik auf, z.b. bei linearen Gleichungssystemen (LGS, bei linearen Abbildungen und bei Ableitungen von Funktionen in mehreren Variablen (Jacobi-Matrix; Hesse-Matrix. Im Folgenden bezeichnet K stets einen Körper (z.b. K = R, Q oder C. 14 of 11 Aachen Andreas Maurischat

15 .1 Matrizen Definition Sind m, n N und für alle i, j N mit 1 i m und 1 j n Zahlen a ij K gegeben, so nennt man das Zahlenschema a 11 a 1 a 13 a 1n a 1 a a 3 a n = (a ij 1 i m,1 j n = A a m1 a m a m3 a mn eine (m n-matrix über K. m: Anzahl der Zeilen n: Anzahl der Spalten m = n: quadratische Matrix a ij : Koeffizient der Matrix der i-ten Zeile und j-ten Spalte (1 n-matrix (d.h. mit nur einer Zeile: Zeilenvektor der Länge n (m 1-Matrix (d.h. mit nur einer Spalte: Spaltenvektor der Länge m 15 of 11 Aachen Andreas Maurischat

16 .1 Matrizen Die Menge aller (m n-matrizen mit Koeffizienten in K wird bezeichnet mit Mat(m, n; K. Alternative Schreibweisen: K m n, K (m n, M m,n (K etc. Beispiel ( Mat(, 3; Q, d.h. sie ist eine ( 3-Matrix mit rationalen Koeffizienten. Es sind a 11 = 0, a 1 = 1, a 13 =, a 1 = 3 etc. Sollte aus der Bezeichnung a ij nicht klar hervorgehen, um welche Zeile bzw Spalte es sich handelt (z.b. bei a 13, so wird gegebenenfalls ein Komma zur Trennung eingeführt: a i,j, also z.b. a 1,3 bzw. a 1,3. 16 of 11 Aachen Andreas Maurischat

17 . Addition und Skalarmultiplikation von Matrizen Wie schon bei Spaltenvektoren wird die Addition (und Subtraktion und skalare Multiplikation von Matrizen koeffizientenweise ausgeführt: Definition 3 (Addition und skalare Multiplikation von Matrizen Seien m, n N und A = (a ij, B = (b ij Mat(m, n; K und r K. Dann ist a 11 + b 11 a 1 + b 1 a 1n + b 1n A + B := a 1 + b 1 a + b a n + b n Mat(m, n; K. a m1 + b m1 a m + b m a mn + b mn und r A = r (a ij := r a 11 r a 1 r a 1n r a 1 r a r a n Mat(m, n; K. r a m1 r a m r a mn 17 of 11 Aachen Andreas Maurischat

18 . Addition und Skalarmultiplikation von Matrizen Beispiel (Addition/skalare Multiplikation von Matrizen = = = Achtung: Die Addition ist nur definiert, wenn die Matrizen die gleiche Größe haben! 18 of 11 Aachen Andreas Maurischat

19 . Addition und Skalarmultiplikation von Matrizen Rechenregeln Addition und Skalarmultiplikation Seien A, B, C Mat(m, n; K und r, r 1, r K, dann gelten (A + B + C = A + (B + C (Assoziativgesetz für + A + B = B + A (Kommutativgesetz für + (r 1 r A = r 1 (r A (Assoziativgesetz für r (A + B = (r A + (r B (Distributivgesetz (r 1 + r A = (r 1 A + (r A (Distributivgesetz 19 of 11 Aachen Andreas Maurischat

20 .3 Matrix-Multiplikation Definition 4 ( x1 x Eine (m n-matrix A = (a ij kann mit einem Spaltenvektor x =. der Länge x n n multipliziert werden. Das Ergebnis ist dann ein Spaltenvektor der Länge m: a 11 a 1 a x 1 1n A x = a 1 a a n x a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n. = a 1 x 1 + a x + + a n x n. a m1 a m a mn a m1 x 1 + a m x + + a mn x n x n Beispiel ( = 1 ( ( ( = ( of 11 Aachen Andreas Maurischat

21 .3 Matrix-Multiplikation Definition 5 Für A = (a ij Mat(m, n; K und B = (b jl Mat(n, k; K ist das Produkt C := A B Mat(m, k; K definiert. Die l-te Spalte von C = A B ist gerade das Produkt von A mit der l-ten Spalte von B (l = 1,..., k, also n c il = a ij b jl für alle 1 i m, 1 l k. j=1 Ausgeschrieben: b 11 b 1k a 11 a 1n b 1 b a 11 b a 1n b n1 a 11 b 1k + + a 1n b nk k.. a m1 a.. = a 1 b a n b n1 a 1 b 1k + + a n b nk.. mn b n1 b a m1 b a mn b n1 a m1 b 1k + + a mn b nk nk 1 of 11 Aachen Andreas Maurischat

22 .3 Matrix-Multiplikation Beispiel ( ( = = ( ( ( ( ( 1 ( 1 1 = Achtung: Das Produkt von Matrizen A und B ist nur definiert, wenn die Anzahl der Spalten von A gleich der Anzahl der Zeilen von B ist! of 11 Aachen Andreas Maurischat

23 .3 Matrix-Multiplikation Rechenregeln Matrixmultiplikation Seien A, A 1, A Mat(m, n; K, B, B 1, B Mat(n, l; K, C Mat(l, k; K und r K. Dann gelten (A B C = A (B C (Assoziativgesetz A (r B = r (A B = (r A B A (B 1 + B = (A B 1 + (A B (Verträglichkeit mit Skalar (Distributivgesetz (A 1 + A B = (A 1 B + (A B (Distributivgesetz Achtung: Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ! Selbst wenn beide Matrizen A und B quadratisch sind (d.h. m = n = k und insbesondere beide Produkte definiert sind, ist das Ergebnis im Allgemeinen verschieden. ( ( = ( 1 1 aber ( ( = ( of 11 Aachen Andreas Maurischat

24 3 Lineare Gleichungssysteme 3. Lineare Gleichungssysteme Idee: Ein lineares Gleichungssystem ist ein System einer oder mehrerer Gleichungen in einer oder mehrerer Variablen, bei denen jede Variable nur in erster Potenz vorkommt und auch keine Produkte oder Brüche der Variablen vorkommen. 4 of 11 Aachen Andreas Maurischat

25 3.1 Lineare Gleichungssysteme Definition Definition 6 Seien a ij K für alle 1 i m, 1 j n (m und n natürliche Zahlen und b 1,..., b m K, sowie x 1,, x n Variablen. Dann heißt das System von Gleichungen (1 a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1. + a x. + + a n x n. = b. a m1 x 1 + a m x + + a mn x n = b m ein lineares Gleichungssystem (über K, kurz LGS, mit m Gleichungen und n Unbekannten. Gilt im obigen Gleichungssystem b 1 = = b m = 0, so spricht man von einem homogenen Gleichungssystem, anderenfalls von einem inhomogenen Gleichungssystem. 5 of 11 Aachen Andreas Maurischat

26 3.1 Lineare Gleichungssysteme Definition Definition 7 Die zum linearen Gleichungssystem (1 gehörigen Matrizen a 11 a 1 a 1n a 11 a 1 a 1n b 1 A = a 1 a a n und (A b = a 1 a a n b a m1 a m a }{{ mn } a m1 a m a }{{ mn b m } Mat(m,n;K Mat(m,n+1;K werden Koeffizientenmatrix und erweiterte Koeffizientenmatrix genannt. Das LGS (1 kann dann kompakt geschrieben werden als ( x1 x A x = b mit x =. und b = x n ( b1 b.. b m 6 of 11 Aachen Andreas Maurischat

27 3.1 Lineare Gleichungssysteme Definition Definition 8 Eine Lösung eines Gleichungssystems mit m Gleichungen und n Variablen ist ein n-tupel (x 1 ;... ; x n K n, welches alle Gleichungen des LGS erfüllt. Normalerweise schreiben wir diese Lösungen als sogenannte Spaltenvektoren ( x1.. x n Unter der ( Lösungsmenge L eines LGS wie in (1 verstehen wir die Menge aller x1 Lösungen. K n, das bedeutet x n L = { ( x 1. x n (vgl. Vorkurs, Teil I. Grundlagen. ( x1 K n. x n } erfüllt (1 Ziel: Berechnung (d.h. gute Beschreibung solcher Lösungsmengen 7 of 11 Aachen Andreas Maurischat

28 3.1 Lineare Gleichungssysteme Beispiel Auf einem Bauernhof sind Enten, Hühner und Kaninchen mit zusammen 10 Füßen und 36 Köpfen. Es gibt doppelt so viele Hühner wie Enten. Wie viele Enten (Variable x 1, Hühner (x und Kaninchen (x 3 gibt es? pro Ente pro Huhn pro Kaninchen insgesamt Anzahl Füße 4 10 Anzahl Köpfe Dies ergibt das folgende Gleichungssystem: x 1 + x + 4 x 3 = 10 x 1 + x + x 3 = 36 x 1 x = 0 8 of 11 Aachen Andreas Maurischat

29 3. Berechnung von Lösungsmengen Einsetzungsverfahren x 1 + x + 4 x 3 = 10 (I Bauernhof-Beispiel: x 1 + x + x 3 = 36 (II x 1 x = 0 (III Beim Einsetzungsverfahren wird eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst, und dessen Ausdruck in die anderen Gleichungen eingesetzt. (III nach x aufgelöst: x = x 1 und eingesetzt: 6 x x 3 = 10 (I 3 x 1 + x 3 = 36 (II (II nach x 3 aufgelöst: x 3 = 36 3x 1 und eingesetzt: 6x 1 + 4(36 3x 1 = 10 6x = 10 x 1 = 4. Damit: x 3 = = 4 und x = 4 = 8. 9 of 11 Aachen Andreas Maurischat

30 3. Berechnung von Lösungsmengen Einsetzungsverfahren Einzige mögliche Lösung: ( x1 ( 48 x 3 = 4 Probe: Lösung in Gleichungen einsetzen = = = 0 L = {( 48 Für kleine Gleichungssysteme gut. Aber: Bei größeren Gleichungssystemen viel zu rechnen und i. Allg. unübersichtlich. 4 } 30 of 11 Aachen Andreas Maurischat

31 3. Berechnung von Lösungsmengen Einsetzungsverfahren Beispiel Zu berechnen ist die Lösungsmenge des LGS [ x 4 y = 10 3 x + 6 y = 15 ]. Löst man die erste Gleichung nach x auf, erhält man: x = 5 + y. Einsetzen in zweite Gleichung ergibt: 3 (5 + y + 6 y = y + 6y = = 15 Diese Gleichung ist immer erfüllt. Es bleibt also nur die Bedingung aus der ersten Gleichung x = 5 + y. L = {( } 5+y y y R = {( 5+r r r R} Probe: Allgemeine Lösung in Gleichungen einsetzen (5 + r 4 r = 10 3 (5 + r + 6 r = of 11 Aachen Andreas Maurischat

32 3. Berechnung von Lösungsmengen Additionsverfahren x 1 + x + 4 x 3 = 10 (I Bauernhof-Beispiel: x 1 + x + x 3 = 36 (II x 1 x = 0 (III Beim Additionsverfahren werden Vielfache der Gleichungen aufaddiert, um Variablen zu eliminieren: x 1 + x + 4 x 3 = 10 (I x 1 x x 3 = 7 (II x 3 = 48 (I (II x 3 = 4. x 1 + x = 1 (II x 1 x = 0 (III 3 x 1 = 1 (II + (III x 1 = 4 x = 1 4 = 8. 3 of 11 Aachen Andreas Maurischat

33 3. Berechnung von Lösungsmengen Additionsverfahren Also ( x1 ( 48 x 3 = 4 einzige mögliche Lösung. Probe: Lösung in Gleichungen einsetzen = = = 0 L = {( 48 Frage: Was tun, wenn Gleichungssystem komplizierter und Variablen nicht so einfach zu eliminieren? 4 } 33 of 11 Aachen Andreas Maurischat

34 3.3 Gauß-Verfahren Äquivalenz-Umformungen Definition 9 Äquivalenz-Umformungen eines LGS sind Umformungen, die die Lösungsmenge des Gleichungssystems nicht verändern. Folgende Umformungen sind Äquivalenzumformungen: 1. Die Addition des r-fachen der j-ten Zeile zur i-ten Zeile für r K.. Die Multiplikation der i-ten Zeile mit r 0 (r K \ {0}. 3. Die Vertauschung der Zeilen i und j. Bemerkung: A priori wird die Lösungsmenge durch diese drei Umformungen höchstens größer, da jedes Tupel, das die ursprünglichen Gleichungen erfüllt, auch die neuen Gleichungen erfüllt. Da man alle Umformungen durch ähnliche Umformungen wieder rückgängig machen kann, wird die Lösungsmenge aber de facto nicht echt größer, sondern bleibt gleich. 34 of 11 Aachen Andreas Maurischat

35 3.3 Gauß-Verfahren Teil 1: Stufenform Beim Gauß-Verfahren werden im ersten Schritt durch Anwendung der drei Arten von Äquivalenzumformungen das Gleichungssystem auf eine sog. Stufenform gebracht. Genauer: 1. Vertausche die Zeilen des Gleichungssystems so, dass die erste Variable (normalerweise x 1 in der ersten Zeile vorkommt (falls x 1 überhaupt nicht vorkommt, ist das x bzw. x 3 etc... Teile die erste Gleichung durch den Koeffizienten der ersten Variablen. 3. Addiere jeweils geeignete Vielfache der ersten Zeile zur zweiten Zeile, zur dritten Zeile etc., so dass die erste Variable in den anderen Zeilen verschwindet. 4. Verfahre mit den Zeilen bis m weiter wie in 1. bis 3. beschrieben, dann mit den Zeilen 3 bis m etc., bis irgendwann keine Zeile mehr übrig ist, oder die linken Seiten der restlichen Gleichungen alle gleich 0 sind. a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1. + a x. + + a n x n. = b. a m1 x 1 + a m x + + a mn x n = b m 35 of 11 Aachen Andreas Maurischat

36 3.3 Gauß-Verfahren Teil 1: Stufenform x 1 + x + 4 x 3 = 10 (I Bauernhof-Beispiel: x 1 + x + x 3 = 36 (II x 1 x = 0 (III x 1 taucht in erster Zeile auf, d.h. keine Vertauschung nötig. Aber teile erste Zeile durch : x 1 + x + x 3 = 60 (I x 1 + x + x 3 = 36 (II x 1 x = 0 (III Addiere ( 1-fache der ersten Zeile zur zweiten Zeile und das ( -fache der ersten Zeile zur dritten Zeile: x 1 + x + x 3 = 60 (I x 3 = 4 (II 3 x 4 x 3 = 10 (III 36 of 11 Aachen Andreas Maurischat

37 3.3 Gauß-Verfahren Teil 1: Stufenform x 1 + x + x 3 = 60 (I Zweiter Durchgang : x 3 = 4 (II 3 x 4 x 3 = 10 (III Vertausche zweite und dritte Zeile und teile diese durch ( 3: x 1 + x + x 3 = 60 (I x x 3 = 40 (III x 3 = 4 (II In dritter Zeile taucht x gar nicht auf, d.h. keine Addition der zweiten Zeile nötig. Dritter Durchgang : x 3 taucht in dritter Zeile auf. Teile diese durch ( 1: x 1 + x + x 3 = 60 (I x x 3 = 40 (III x 3 = 4 (II Keine weiteren Zeilen zum Addieren vorhanden. Erster Teil fertig! 37 of 11 Aachen Andreas Maurischat

38 3.3 Gauß-Verfahren Teil 1: Stufenform Im Allgemeinen sieht das LGS dann so aus mit gewissen Zahlen k (1 k m und 1 i 1 < i <... < i k n, sowie ã ij, bi K: ( x i1 + + ã 1i x i + = b1 x i + + ã i3 x i3 + = b x i3 + = b3.. x ik + = bk 0 = bk = bm 38 of 11 Aachen Andreas Maurischat

39 3.3 Gauß-Verfahren Teil : Lösbarkeit Satz 3 Das LGS ( ist genau dann lösbar, wenn k = m oder bk+1 =... = bm = 0 gilt. In diesem Fall lassen sich die x i mit i / {i 1,..., i k } als freie Parameter wählen (sog. freie Variablen und die x i1,..., x ik (die sog. abhängigen Variablen in Abhängigkeit dieser x i durch die ersten k Gleichungen berechnen. ( x i1 + + ã 1i x i + = b1 x i + + ã i3 x i3 + = b x i3 + = b3.. x ik + = bk 0 = bk = bm 39 of 11 Aachen Andreas Maurischat

40 3.3 Gauß-Verfahren Teil : Lösbarkeit Im Bauernhof-Beispiel x 1 + x + x 3 = 60 x x 3 = 40 x 3 = 4 haben wir gar keine 0 = bj -Zeilen (d.h. k = m = 3, also ist das LGS lösbar. Alle x i gehören zu einer Stufe (i 1 = 1, i =, i 3 = 3, d.h. kein x i ist frei wählbar und alle x i können berechnet werden. Insbesondere gibt es genau eine Lösung. 40 of 11 Aachen Andreas Maurischat

41 3.3 Gauß-Verfahren Teil 3: reduzierte Stufenform ( x i1 + + ã 1i x i + = b1 x i + + ã i3 x i3 + = b x i3 + = b3.. + = bk Zur Berechnung der Lösungen (wenn es welche gibt macht man am besten weitere Umformungen des LGS: 1. Addiere jeweils geeignete Vielfache der k-ten Zeile zu den Zeilen 1 bis k 1, so dass die Variable x ik in diesen Zeilen verschwindet.. Addiere jeweils geeignete Vielfache der (k 1-ten Zeile zu den Zeilen 1 bis k, so dass die Variable x ik 1 in diesen Zeilen verschwindet. 3. Verfahre entsprechend mit den Zeilen k bis. Die erhaltene Form des LGS nennt man dann reduzierte Stufenform. Bringt man in dieser reduzierten Stufenform die freien Variablen auf die rechte Seite, hat man direkt einen Ausdruck für die abhängigen Variablen in Abhängigkeit der freien Variablen. 41 of 11 Aachen Andreas Maurischat x ik

42 3.3 Gauß-Verfahren Teil 3: reduzierte Stufenform x 1 + x + x 3 = 60 Bauernhof-Beispiel: x x 3 = 40 x 3 = 4 Addiere ( 3 4 -fache der dritten Zeile zur zweiten Zeile und das ( -fache der dritten Zeile zur ersten Zeile: x 1 + x = 1 x = 8 x 3 = 4 Addiere schließlich das ( 1-fache der zweiten Zeile zur ersten Zeile: x 1 = 4 x = 8 {( } x 3 = 4 48 Die Lösungsmenge des LGS ist L =. Probe nur nötig, um zu testen, ob man sich nicht verrechnet hat! 4 4 of 11 Aachen Andreas Maurischat

43 3.3 Gauß-Verfahren Teil 3: reduzierte Stufenform Bemerkung: Zur Lösung des linearen Gleichungssystems (1 mit dem Gauß-Verfahren kann man auch einfacher die entsprechenden Umformungen auf die Zeilen der erweiterten Koeffizientenmatrix (A b anwenden und aus der resultierenden Matrix wieder das umgeformte Gleichungssystem in reduzierter Stufenform bilden. Bauernhof-Beispiel x 1 + x + 4 x 3 = 10 (I x 1 + x + x 3 = 36 (II x 1 x = 0 (III hat die erweiterte Koeffizientenmatrix: of 11 Aachen Andreas Maurischat

44 3.3 Gauß-Verfahren Teil 3: reduzierte Stufenform Gauß-Verfahren: ( ( ( ( 1 3 ( 1 Als lineares Gleichungssystem: ( ( (I (I (III 4 3 (III x 1 = 4 x = 8 x 3 = 4 {( } 48 Die Lösungsmenge des LGS ist L =. 4 ( ( (II 44 of 11 Aachen Andreas Maurischat

45 3.4 Komplettes Beispiel Wir betrachten das LGS x 1 + x + x 3 x 4 = 7 x 1 + 3x x 4 = 8 x 1 3x 3 + 5x 4 = 9 Um dieses zu lösen, wenden wir das Gauß-Verfahren auf die zugehörige erweiterte Koeffizientenmatrix an: Wir sehen schon, dass das LGS lösbar ist und dass man x 3 als freie Variable wählen kann. Weiter zur reduzierten Stufenform: Also x 3 = r (freie Variable und x 1 = 4 3r, x = 1 + r und x 4 = 1. Die Lösungsmenge ist also {( {( 4 3r 41 L = 1+r r r R} = 0 + r r R}. 1 1 ( of 11 Aachen Andreas Maurischat

46 3.5 Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme Allgemeine Aussagen Ein lineares Gleichungssystem über R hat entweder (0 keine Lösung (wenn es in der Stufenform eine Zeile 0 = b j gibt, wobei b j nicht 0 ist, oder (1 genau eine Lösung (wenn Fall (0 nicht zutrifft und jede Variable zu einer Treppenstufe in der Stufenform gehört oder ( unendlich viele Lösungen (wenn Fall (0 nicht zutrifft und es mindestens eine Variable gibt, die zu keiner Treppenstufe in der Stufenform gehört. Des Weiteren gilt: ˆ Jedes homogene LGS hat mindestens eine Lösung, da Fall (0 nicht eintreten kann (x 1 = 0,..., x n = 0 ist stets eine Lösung des homogenen LGS. ˆ Jedes homogene LGS mit mehr Variablen als Gleichungen hat unendlich viele Lösungen (da Fall (0 nicht eintritt und es weniger Stufen als Variablen gibt. ˆ Die Lösungsmenge eines inhomogenen LGS erhält man auch, indem man alle Lösungen des zugehörigen homogenen LGS auf eine spezielle Lösung des inhomogenen LGS addiert; sofern das inhomogene LGS überhaupt eine Lösung besitzt. 46 of 11 Aachen Andreas Maurischat

47 3.5 Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme Allgemeine Aussagen Beim LGS von vorhin Und daher L = x 1 + x + x 3 x 4 = 7 x 1 + 3x x 4 = 8 x 1 3x 3 + 5x 4 = {( 4 3r 1+r r 1 r R} = {( r hatten wir gerechnet: ( r R}. Beim zugehörigen homogenen LGS steht in jeder Gleichung auf der rechten Seite 0, was sich auch beim Gauß-Verfahren nicht ändert. Als Lösungsmenge L 0 des homogenen LGS erhält man also L 0 = { r ( r R}. 47 of 11 Aachen Andreas Maurischat

48 4 Lagebestimmungen von Punkt, Geraden und Ebenen Lagebeziehungen im R : Punkt Punkt: sind (a gleich oder (b nicht gleich Punkt Gerade: (a Punkt liegt auf Gerade oder (b nicht Gerade Gerade: sind (a gleich, (b parallel oder (c haben Schnittpunkt. Lagebeziehungen im R 3 : (zusätzlich zu den Möglichkeiten im R Gerade Gerade: (d können auch windschief sein. Punkt Ebene: (a Punkt liegt auf Ebene oder (b nicht. Gerade Ebene: (a Gerade in Ebene, (b parallel oder (c schneidet in Punkt. Ebene Ebene: sind (a gleich, (b parallel oder (c haben Schnittgerade. 48 of 11 Aachen Andreas Maurischat

49 4.1 Lage: Punkt Gerade und Punkt Ebene Wann liegt ein Punkt auf einer Geraden? Sei P R bzw. R 3 und g eine entsprechende Gerade in Parameterform, also {( g = {( 1 u + r ( u1 ( v1 } 1 v r R} bzw. g = u 3 + r v 3 r R. Dann liegt P auf g, falls die Gleichung (das Gleichungssystem ( ( 1 u + r ( 1 v = ( u1 ( v1 ( p1 1 p bzw. u 3 + r v 3 = p 3 eine Lösung besitzt. Andernfalls liegt P nicht auf g. Beispiel: Der Punkt P = (1; 3 liegt nicht auf g = {( 0 + r ( 1 r R}, denn das Gleichungssystem [ ] [ ] r = 1 r = 1 r ( 1 = ( 1 3 ( 0 r = 1 0 = 1 besitzt keine Lösung. 49 of 11 Aachen Andreas Maurischat

50 4.1 Lage: Punkt Gerade und Punkt Ebene Wann liegt ein Punkt in der Ebene? Sei P R 3 und E eine Ebene in Parameterform, also {( u1 ( v1 ( w1 } E = u 3 + r v 3 + s w 3 r, s R. Dann liegt P in E, falls die Gleichung (das Gleichungssystem ( u1 ( v1 ( w1 ( p1 u 3 + r v 3 + s w 3 = p 3 eine Lösung besitzt. Andernfalls liegt P nicht in E. {( ( ( Beispiel: Der Punkt P = (; 3; liegt auf E = + r + s 0 4 denn das Gleichungssystem [ ] [ ( ( ( ( r + s = 4 0 besitzt die Lösung ( r s = ( of 11 Aachen Andreas Maurischat r + s = 1 s = r + 4s = r + s = 1 s = 1 0 = 0 r, s R }, ]

51 4. Intermezzo Lineare Abhängigkeit Definition 10 Ein Vektor v heißt linear abhängig von Vektoren w 1,..., w k, wenn es reelle Zahlen r 1,..., r k gibt, so dass v = r 1 w r k w k gilt. Andernfalls heißt v linear unabhängig von w 1,..., w k. Mehrere Vektoren v 1,..., v l heißen linear abhängig, wenn mindestens einer der Vektoren von den anderen linear abhängig ist, und sie heißen linear unabhängig, wenn keiner der Vektoren von den anderen linear abhängig ist. Satz 4 Vektoren v 1,..., v l im R n sind genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung nur für r 1 =... = r l = 0 erfüllt ist. r 1 v r l v l = o 51 of 11 Aachen Andreas Maurischat

52 4. Intermezzo Lineare Abhängigkeit Beispiel 1 3 Seien v 1 =, v = 3, v 3 = 4 gegeben Um zu entscheiden, ob v 1, v, v 3 linear abhängig sind, müssen wir also herausfinden, ob die Gleichung r 1 v 1 + r v + r 3 v 3 = o nur durch r 1 = r = r 3 = 0 gelöst wird. Wir lösen also das folgende homogene LGS mit Variablen r i : ( s Die Lösungsmenge ist L = { s s 1 r 1 + r + 3 r 3 = 0 r r + 4 r 3 = 0 3 r r + 7 r 3 = 0 s R }. Also sind v 1, v, v 3 linear abhängig. Indem man die so gefundene lineare Abhängigkeit für s = 1 nach je einem der Vektoren v 1, v, v 3 auflöst, erhält man also zum Beispiel v 1 = v 1 v 3, v = 1 v v 3, v 3 = 1 v 1 + v. 5 of 11 Aachen Andreas Maurischat

53 4. Intermezzo Lineare Abhängigkeit Bemerkung Zwei Vektoren v und w sind genau dann linear unabhängig, wenn keiner ein Vielfaches des anderen ist. Insbesondere müssen beide Vektoren o sein. Die Menge { u + r v + s w r, s R} beschreibt genau dann eine Ebene, wenn die Vektoren v und w linear unabhängig sind. Bemerkung Sind w 1,..., w k R n linear unabhängig und v R n. Dann sind die Vektoren w 1,..., w k, v genau dann linear abhängig, wenn v linear abhängig von den Vektoren w 1,..., w k ist. 53 of 11 Aachen Andreas Maurischat

54 4.3 Lage: Gerade Gerade im R g und h Anzahl der Schnittpunkte Richtungsvektoren von g und h sind sind identisch linear abhängig sind (echt parallel 0 linear abhängig schneiden sich 1 linear unabhängig Seien g = {( 1 p + r ( 1 v r R} und h = {( 1 q + s ( 1 w s R}. Dann ist die Anzahl der Schnittpunkte gleich der Anzahl der Lösungen des linearen Gleichungssystems p + r v = q + s w [ v 1 r w 1 s = q 1 p 1 ] v r w s = q p.. Im Falle genau eines Schnittpunktes S g,h (d.h. genau einer Lösung ( r 0 s0 ist OS g,h = ( 1 p + r 0 ( 1 v = ( 1 q + s 0 ( 1 w. 54 of 11 Aachen Andreas Maurischat

55 4.3 Lage: Gerade Gerade im R 3 g und h Richtungsvektoren von g und h sind sind identisch linear abhängig sind (echt parallel 0 linear abhängig schneiden sich 1 linear unabhängig sind windschief 0 linear unabhängig Für g = { p + r v r R}, h = { q + s w s R} löse wieder p + r v = q + s w. Im R 3 ist das aber ein LGS mit 3 Gleichungen (und Variablen, deshalb gibt es zwei Fälle, in denen es keine Lösung hat, nämlich bei Stufenform [ r + a 1 s = b 1 s = b 0 = b 3 ] oder [ a 11 r + a 1 s = b 1 0 = b 0 = b 3 ]. (windschief (parallel 55 of 11 Aachen Andreas Maurischat

56 4.3 Lage: Gerade Gerade im R 3 Beispiel {( ( } Wir betrachten die beiden Geraden g = + r r R und {( ( } h = + s s R. Wie liegen diese zwei Geraden zueinander? 4 1. Richtungsvektoren keine Vielfachen voneinander, d.h. linear unabhängig Geraden schneiden sich oder sind windschief. Löse folgende LGS ( 11 0 ( 10 + r ( 3 = 4 [ ( 11 + s r s = 1 s = r s = 4 Das LGS besitzt keine Lösung, also sind die Geraden windschief. ] [ r s = 1 s = 0 = ]. 56 of 11 Aachen Andreas Maurischat

57 4.4 Lage: Gerade Ebene Gerade g, Ebene E Anzahl der Schnittpunkte Richtungsvektoren von g und E sind g liegt in E linear abhängig g (echt parallel zu E 0 linear abhängig g und E schneiden sich 1 linear unabhängig Für g = { p + r u r R}, E = { q + s v + t w s, t R} löse p + r u = q + s v + t w, ein LGS mit 3 Gleichungen und 3 Variablen r, s und t. Im Falle genau eines Schnittpunktes S g,e (d.h. genau einer Lösung OS g,e = p + r 0 u = q + s 0 v + t 0 w. ( r0 s0 t 0 ist 57 of 11 Aachen Andreas Maurischat

58 4.5 Lage: Ebene Ebene E 1 und E Anzahl der Schnittpunkte sind identisch ( freie Variablen sind (echt parallel 0 schneiden sich (1 freie Variable { } Für E 1 = { p + r v + s w r, s R}, E = q + t v + u w t, u R löse p + r v + s w = q + t v + u w, ein LGS mit 3 Gleichungen und 4 Variablen r, s, t und u. Hat die Lösungsmenge eine freie Variable, d.h. L = Schnittgerade {( r0 +xr 1 s 0 +xs 1 t 0 +xt 1 u 0 +xu 1 g E1,E = {( p + r 0 v + s 0 w + x (r 1 v + s 1 w x R} = {( q + t 0 v + u 0 w + x (t 1 v + u 1 w x R}. x R}, so ist die 58 of 11 Aachen Andreas Maurischat

59 4.5 Lage: Ebene Ebene Beispiel {( 5 ( 11 ( } 3 Die Schnittmenge der Ebenen E 1 = 3 + r + s r, s R und {( ( 11 } E = + t + u t, u R soll berechnet werden. 4 5 ( Es muss also das LGS ( ( 11 + r 1 in r, s, t und u gelöst werden. ( 3 + s mit Lösungsmenge (vgl. Bsp. in 3.4 { ( rs L = t = x R} u ( 4 3x 1+x x 1 Daher haben wir eine Schnittgerade. 0 ( 5 = 4 + t ( r + s + t u = 7 r + 3s u = 8 r 3t + 5u = 9 {( 41 = x ( 11 + u 5 ( x R}. 59 of 11 Aachen Andreas Maurischat

60 4.5 Lage: Ebene Ebene {( 5 ( 11 ( } 3 E 1 = 3 + r + s r, s R, {( 5 ( 1 ( 11 } E = + t 0 + u t, u R { ( rs L = t = x R} u ( 4 3x 1+x x 1 Die Schnittgerade ist dann gegeben durch {( 5 ( 11 ( } 3 x g E1,E = 3 + (4 3x + (1 + x R {( ( 14 1 } x = + x 0 R bzw. 1 3 {( 5 ( 1 ( 11 } x g E1,E = + x 0 + ( 1 R {( } 14 x = + x R 1 ( of 11 Aachen Andreas Maurischat

61 5 Skalarprodukt, Längen und Winkel 5. Skalarprodukt, Längen und Winkel Um richtig Geometrie machen zu können, müssen wir in der Lage sein, auch Abstände von Punkten und Winkel zwischen Geraden etc. berechnen zu können. Wichtigstes Hilfsmittel dazu ist das sogenannte Skalarprodukt zweier Vektoren. Bemerkung Wir gehen im Folgenden von der Anschauung im R und R 3 aus und erhalten mittels des Skalarprodukts Formeln für Längen und Winkel. In der Mathematik werden jedoch normalerweise diese Formeln als Definition verwendet, weil man diese auch für abstrakte Vektorräume verwenden kann. 61 of 11 Aachen Andreas Maurischat

62 5.1 Skalarprodukt Definition 11 Es seien v, w Vektoren im R n. Das Skalarprodukt v w von v und w ist definiert als die reelle Zahl v 1 w 1 v w = v. w. v n w n n := v i w i = v 1 w 1 + v w + + v n w n i=1 ( ( 1 3 Sind zum Beispiel v = und w =, so ist das Skalarprodukt von v und w 1 1 gegeben durch ( ( 1 3 v w = = ( = = of 11 Aachen Andreas Maurischat

63 5.1 Skalarprodukt Rechenregeln Für das Skalarprodukt gelten folgende Rechenregeln: 1. Seien v, w R n. Dann gilt v w = w v. Man darf also die Vektoren v und w vertauschen.. Seien r, s R und u, v, w R n. Dann gilt Es gilt also eine Art Distributivgesetz. v (r w + s u = r ( v w + s ( v u. 63 of 11 Aachen Andreas Maurischat

64 5. Länge von Vektoren, Abstände von Punkten Satz des Pythagoras Ein Dreieck ABC mit Seitenlängen a, b und c hat genau dann einen rechten Winkel bei C (vgl. Abb., wenn für die Seitenlängen gilt: a + b = c bzw. c = a + b. Für den Abstand eines Punktes P = (p 1 ; p ; p 3 vom Ursprung O gilt damit: d(p, O = p 1 + p + p 3 = p 1 + p + p 3 64 of 11 Aachen Andreas Maurischat

65 5. Länge von Vektoren, Abstände von Punkten Satz 5 Es sei v R n. Die Norm oder Länge von v ist die nicht-negative reelle Zahl v := n vi = v1 + v + + v n = v v. i=1 ( 13 Für v = ist zum Beispiel 13 v = ( = = = 14. Satz 6 Der Abstand d(q, R von zwei Punkten Q und R im R n ist gleich der Länge des Verbindungsvektors QR. 65 of 11 Aachen Andreas Maurischat

66 5. Länge von Vektoren, Abstände von Punkten Beispiel Im R ist das Viereck ABCD mit den Eckpunkten A = (0; 0, B = (6; 1, C = (10; 6 und D = (4; 5 gegeben. Ist dieses Viereck ein Parallelogramm oder sogar eine Raute? Erinnerung: Ein ebenes Viereck ist ein Parallelogramm, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist: 1. Gegenüberliegende Seiten sind parallel.. Die Diagonalen des Vierecks halbieren sich gegenseitig (d.h. ihr Schnittpunkt ist Mittelpunkt beider Diagonalen. 3. Zwei Seiten sind parallel und gleich lang. 4. Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang. 5. Die Winkel an gegenüberliegenden Ecken sind gleich groß. 6. Die Winkel an benachbarten Ecken ergänzen sich zu 180. (Abgesehen von 4. und 5. implizieren die Bedingungen sogar, dass das Viereck eben ist. Eine Raute (oder Rhombus ist ein Parallelogramm, dessen Seiten alle gleich lang sind. 66 of 11 Aachen Andreas Maurischat

67 5. Länge von Vektoren, Abstände von Punkten Beispiel Im R ist das Viereck ABCD mit den Eckpunkten A = (0; 0, B = (6; 1, C = (10; 6 und D = (4; 5 gegeben. Ist dieses Viereck ein Parallelogramm oder sogar eine Raute? Für Parallelogramm ist am einfachsten die dritte Bedingung: Zwei Seiten sind parallel und gleich lang. zu testen. Dies bedeutet nämlich, dass die Vektoren AB und DC gleich sein müssten (bzw. die Vektoren AD und BC. Wir haben AB = ( = ( 6 1 und DC = ( = ( 6 1. Also ist das Viereck ABCD ein Parallelogramm. Um zu sehen, ob es eine Raute ist, müssen wir also noch testen, ob d(a, B = d(a, D ist, d.h. ob AB = AD gilt. AB = = 37 und AD = ( 4 5 = = 41. Die Seiten sind verschieden lang, also handelt es sich um keine Raute. 67 of 11 Aachen Andreas Maurischat

68 5.3 Orthogonalität Satz 7 Zwei Vektoren v, w R n sind genau dann senkrecht (auch orthogonal genannt zueinander, wenn v w = 0 gilt. Beweis Der Satz des Pythagoras sagt für nebenstehende Skizze aus, dass v und w genau dann orthogonal sind, wenn v + w = v + w gilt. Die linke Seite der Gleichung ist: v + w = v v + w w Die rechte Seite ist mit Hilfe der Distributivität und Kommutativität: v + w = ( v + w ( v + w = v v + w v + v w + w w = v v + w w + v w Also ist die Gleichheit genau dann gegeben, wenn v w = of 11 Aachen Andreas Maurischat

69 5.3 Orthogonalität Beispiel Im R ist das Viereck ABCD mit den Eckpunkten A = (; 3, B = (4; 6, C = (1; 8 und D = ( 1; 5 gegeben. Ist dieses Viereck ein Rechteck oder sogar ein Quadrat? Erinnerung: Ein ebenes Viereck ist ein Rechteck, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist: 1. Alle Innenwinkel sind rechte Winkel.. Die Diagonalen sind gleich lang und halbieren sich gegenseitig. 3. Das Viereck ist ein Parallelogramm und besitzt einen rechten Winkel. 4. Das Viereck ist ein Parallelogramm und die Diagonalen sind gleich lang. (Alle Bedingungen implizieren sogar, dass das Viereck eben ist. Ein Quadrat ist ein Rechteck, dessen Seiten alle gleich lang sind. 69 of 11 Aachen Andreas Maurischat

70 5.3 Orthogonalität Beispiel Im R ist das Viereck ABCD mit den Eckpunkten A = (; 3, B = (4; 6, C = (1; 8 und D = ( 1; 5 gegeben. Ist dieses Viereck ein Rechteck oder sogar ein Quadrat? Für Rechteck ist am einfachsten die dritte Bedingung Das Viereck ist ein Parallelogramm und besitzt einen rechten Winkel zu testen, da wir nur AB = DC und AB AD = 0 testen müssen: AB = ( 4 ( 6 3 = ( 3, DC = 1 ( 1 = ( und AD = ( = ( 3 Also gilt AB = DC und AB AD = ( 3 ( 3 = 0, d.h. das Viereck ist ein Rechteck. Zuletzt müssen wir noch testen, ob AB = AD gilt: AB = + 3 = 13 und AD = Also ist das Viereck sogar ein Quadrat. ( 3 + = of 11 Aachen Andreas Maurischat

71 5.4 Normalenform einer Gerade im R Definition 1 Es sei g eine Gerade im R. Ein Normalenvektor der Geraden g ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor n, der senkrecht auf g steht, also orthogonal zum Richtungsvektor von g ist. Ist die Länge des Vektors n gleich 1, so spricht man auch von einem Einheitsnormalenvektor und schreibt häufig n 0. {( ( } Beispiel: Für g = 1 + r 3/ 1/ r R ( ist n = 1/ 3/ ein Normalenvektor, aber auch jedes Vielfache von diesem Vektor, also zum Beispiel n 1 = ( of 11 Aachen Andreas Maurischat

72 5.4 Normalenform einer Gerade im R Sei g = { p + r v r R} eine Gerade im R und n ein Normalenvektor zu g (z.b. n = ( v v 1 für v = ( 1 v. Dann lässt sich die Gerade g auch beschreiben durch g = { x R ( x p n = 0}. Diese Darstellung der Geraden nennt man Punkt-Normalenform von g. Durch Umformen erhält man g = { x R x n = d} mit d = p n, welche Normalenform genannt wird, bzw. Hessesche Normalenform, wenn der Normalenvektor n die Länge 1 hat. Durch Ausschreiben des Skalarprodukts erhält man die Koordinatenform der Geraden g = { ( 1 x R n1 x 1 + n x = d }. 7 of 11 Aachen Andreas Maurischat

73 5.4 Normalenform einer Gerade im R Beispiel {( Für g = 1 + r und daher ( } 3/ 1/ r R g = { ( x 1 x R g = { ( x 1 x R ( x 1 x ( 1 3 g = { ( x 1 x R x 1 + 3x = 5}. hatten wir einen Normalenvektor n = ( 1 3 ( ( x1 ( ( x 1 1 = 0}, bzw. 3 = = 5}, bzw. ( 1 ( of 11 Aachen Andreas Maurischat

74 5.4 Normalenform einer Gerade im R Umrechnung Koordinatenform zu Parameterform Um aus der Koordinatenform g = { ( x 1 x R n1 x 1 + n x = d } einer Geraden g wieder eine Parameterform zu bekommen, muss man einfach die Lösungsmenge des Gleichungssystems n 1 x 1 + n x = d (1 Gleichung, Variablen bestimmen. Alternativ kann man auch einen Punkt auf g berechnen (indem man z.b. x 1 = 0 wählt und x = d n bzw. x = 0 wählt und x 1 = d n 1 je nachdem, ob n 1 oder n nicht 0 ist, und einen Richtungsvektor von g berechnet, z.b. v = ( n n 1. Für g = { ( x 1 x R x 1 + 3x = 5} hätten wir also zum Beispiel: P = ( 5; 0 und v =, also g = {( s ( 3 1 ( } 3 1 s R. 74 of 11 Aachen Andreas Maurischat

75 5.5 Normalenform einer Ebene im R 3 Definition 13 Es sei E eine Ebene im R 3. Ein Normalenvektor der Ebene E ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor n, der senkrecht auf E steht, also orthogonal zu den beiden Richtungsvektoren der Ebene ist. Ist die Länge des Vektors n gleich 1, so spricht man auch von einem Einheitsnormalenvektor und schreibt häufig n 0. Das Kreuzprodukt liefert zu zwei Richtungsvektoren einen Normalenvektor: Definition 14 ( v1 ( w1 Seien v = v 3 und w = w 3 R 3 zwei linear unabhängige Vektoren (insb. o, dann ist das Kreuzprodukt von v und w (oder Vektorprodukt der Vektor n = v w := v w 3 v 3 w 0 v 3 w 1 v 1 w 3 0. v 1 w v w 1 0 Dieser ist orthogonal zu v und w. 75 of 11 Aachen Andreas Maurischat

76 5.5 Normalenform einer Ebene im R 3 v 1 w 1 v w v 1 w 1 v w v 1 w 1 v w v 3 w 3 v 3 w 3 v 3 w 3 v w 3 v 3 w v 3 w 1 v 1 w 3 v 1 w v w 1 Beispiel: = 1 4 = v w 3 v 3 w v 3 w 1 v 1 w 3 v 1 w v w 1 76 of 11 Aachen Andreas Maurischat

77 5.5 Normalenform einer Ebene im R 3 Sei E = { p + r v + s w r, s R} eine Ebene, und n ein Normalenvektor zu E (z.b. n = v w. Dann lässt sich die Ebene E auch beschreiben durch E = { x R 3 ( x p n = 0}. Diese Darstellung der Ebene nennt man Punkt-Normalenform von E. Durch Umformen erhält man E = { x R 3 x n = d} mit d = p n, welche Normalenform genannt wird, bzw. Hessesche Normalenform, wenn der Normalenvektor n die Länge 1 hat. Durch Ausschreiben des Skalarprodukts erhält man die Koordinatenform der Ebene {( x1 } E = x 3 R 3 n1 x 1 + n x + n 3 x 3 = d. 77 of 11 Aachen Andreas Maurischat

78 5.5 Normalenform einer Ebene im R 3 {( ( ( } r, Für E = + r + s s R hatten wir eben einen 0 ( 4 4 Normalenvektor n = 0 berechnet und daher ist { ( ( x1 ( E = x 3 R 3 x1 ( } ( 11 4 x 3 0 = 0, bzw. 0 E = E = {( x1 x x 3 R 3 ( x1 x x 3 ( 4 0 ( 11 = } 0. {( x1 x x 3 R 3 4x1 + x 3 = 4 ( 4 0 } = 4, bzw. Umrechnung Koordinatenform zu Parameterform {( x1 } Um aus der Koordinatenform E = x 3 R 3 n1 x 1 + n x + n 3 x 3 = d wieder eine Parameterform zu bekommen, muss man einfach die Lösungsmenge des Gleichungssystems n 1 x 1 + n x + n 3 x 3 = d (1 Gleichung, 3 Variablen bestimmen. 78 of 11 Aachen Andreas Maurischat

79 5.6 Leichtere Lagebestimmung mit Normalenformen Im R : Sind P ein Punkt, h eine Gerade in Parameterform und g eine Gerade in Normalenform. Dann lässt sich leicht testen, ob P auf g liegt, indem man durch Einsetzen nachprüft, ob der Ortsvektor von P die Gleichung der Normalenform von g erfüllt. Ebenso lässt sich die Schnittmenge von h und g einfach dadurch berechnen, dass man die Parameterform von h in die Normalenform von g einsetzt, und die resultierende Gleichung nach dem Parameter löst. Beispiel P = (1; 3, h = {( 0 + r ( 1 r R} und g = {( x 1 x R x ( 1 3 = 5}. Dann ist ( 1 3 ( 1 3 = 1 ( = 8 5, und daher P nicht auf g. Für g und h berechnen wir die Lösung(en von (( 0 + r ( 1 ( 1 3 = r( = 5. Diese ist r 0 = 1 5. Daher haben g und h genau einen Schnittpunkt, nämlich den Punkt S mit ( OS = ( 0 + r 0 ( 1 = 0, 1,6 79 of 11 Aachen Andreas Maurischat

80 5.6 Leichtere Lagebestimmung mit Normalenformen Ähnlich wird die Lagebestimmung im R 3 einfacher, wenn eine Ebene im Spiel ist, die in Normalenform gegeben { ist. } der Ortsvektor des Punktes Auch hier muss lediglich die Parameterform der Gerade in die Normalenform die Parameterform einer zweiten Ebene { } eingesetzt werden, was zu einer führt. Beispiel {( 5 E 1 = 3 5 ( 11 + r 1 0 gültigen oder ungültigen Gleichung zu lösenden Gleichung für den Parameter der Geraden zu lösenden Gleichung für die zwei Parameter der Ebene ( } 3 + s r, s R und E = {( x1 ( } 31 x 3 x = 1. Einsetzen der Parameterform von E 1 in die Normalenform von E liefert für r und s (( die Gleichung 5 ( 11 ( ( r + s = 1 r = 7 3s Also ist die Schnittgerade gegeben durch g E1,E = {( (7 3s ( 11 1 ( } 3 + s s R 0 {( 4 = + s ( } s R. 80 of 11 Aachen Andreas Maurischat

81 5.7 Winkel Satz 8 Der Winkel ϕ zwischen zwei Vektoren v und w im R n ist der eindeutige Winkel zwischen 0 und 180 (bzw. die Zahl zwischen 0 und π, für welchen cos(ϕ = v w v w gilt. ( ( Beispiel: Für die Vektoren v = und w = berechnen wir den Winkel ϕ als ( ( cos(ϕ = ( = ( = 5 30 Daraus ergibt sich ϕ of 11 Aachen Andreas Maurischat

82 5.7 Winkel Projektion Es gilt (mit Bezeichnungen wie in der Skizze: sowie v w = v OP, v w = w OQ. Genauer sind sogar OP = v w v und OQ = v v w w w, d.h. das Vorzeichen des Skalarprodukts zeigt an, ob OP bzw. OQ in die gleiche Richtung zeigt wie v bzw. w oder in die entgegengesetzte. 8 of 11 Aachen Andreas Maurischat

83 5.7 Winkel zwischen Geraden Sind g = { p + r v r R}, h = { q + s w s R} sich schneidende Geraden im R oder R 3, so berechnet sich ihr Schnittwinkel als der Winkel ϕ zwischen 0 und 90 (d.h. zwischen 0 und π mit cos(ϕ = v w v w. Beispiel {( ( } {( r 3 Für g = + r R und h = 0 der Rechnung von eben: ϕ = (g, h 4. ( } 11 s + s R gilt also nach 83 of 11 Aachen Andreas Maurischat

84 5.7 Winkel zwischen Gerade und Ebene bzw. zwei Ebenen Sind g = { p + r v r R} eine Gerade und E = { x x n = d} eine Ebene im R 3, die sich schneiden, so berechnet sich ihr Schnittwinkel als der Winkel ϕ zwischen 0 und 90 (d.h. zwischen 0 und π mit sin(ϕ = v n v n Für zwei Ebenen E 1 = { x x n 1 = d 1 } und E 1 = { x x n = d } ist ihr Schnittwinkel der Winkel ϕ zwischen 0 und 90 (d.h. zwischen 0 und π, welcher erfüllt. cos(ϕ = n 1 n n 1 n 84 of 11 Aachen Andreas Maurischat

85 6 Abstände 6. Abstände Ziel des kommenden Abschnitts ist es, Abstände von Punkten zu Geraden oder Ebenen, sowie Abstände zwischen zwei Geraden, Geraden und Ebenen bzw. zwei Ebenen zu berechnen, sofern sie sich nicht schneiden. 85 of 11 Aachen Andreas Maurischat

86 6.1 Lot und Lotfußpunkt Definition 15 ˆ Sei g eine Gerade im R beziehungsweise R 3 und P ein Punkt im R beziehungsweise R 3, der nicht auf der Geraden g liegt. Dann ist das Lot von P auf g definiert als die Gerade durch P, die senkrecht auf g steht. ˆ Der Lotfußpunkt (oder auch Fußpunkt des Lotes ist definiert als der Schnittpunkt des Lotes mit der Geraden g. ˆ Sei P ein Punkt im R 3 und E eine Ebene, die P nicht enthält. Dann ist das Lot von P auf E definiert als die Gerade durch P, die senkrecht auf E, also senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren von E, steht. ˆ Der Lotfußpunkt ist definiert als der Schnittpunkt des Lotes mit der Ebene E. 86 of 11 Aachen Andreas Maurischat

87 6.1 Lot und Lotfußpunkt Seien ein Punkt P und eine Gerade g = { u + r v r R} gegeben und P liege nicht auf g, dann gilt für den Lotfußpunkt L OL = u + r 0 v, wobei r 0 die Lösung der Gleichung ist. Das heißt: ( u + r v p v = 0 r 0 = ( p u v v. Das Lot l von P auf g ist dann die Gerade durch P und L, d.h. { l = p + s } PL s R. 87 of 11 Aachen Andreas Maurischat

88 6.1 Lot und Lotfußpunkt Beispiel: Der Punkt P = (1; 3 liegt nicht auf g = {( 0 + r ( 1 r R} (siehe Abschnitt 3.1. Wir berechnen den Lotfußpunkt: Nach der Formel ist OL = ( 0 + r 0 ( 1 (( mit 1 3 ( 0 ( 1 ( (3 r 0 = ( 1 = = 3 ( Also ( OL = ( ( 1 = 3/5 16/5 Die Lotgerade l ist dann: { ( } l = ( s /5 1/5 s R = {( t ( 1 t R} 88 of 11 Aachen Andreas Maurischat

89 6.1 Lot und Lotfußpunkt Seien ein Punkt P und eine Ebene E = { x x n = d} gegeben und P liege nicht auf E, dann ist das Lot l von P auf E gegeben durch l = { p + s n s R}. Der Lotfußpunkt L ist der Schnittpunkt von l mit E, d.h. OL = p + s 0 n, wobei s 0 die Lösung der Gleichung ist. Das heißt: ( p + s n n = d s 0 = d p n n. 89 of 11 Aachen Andreas Maurischat

90 6. Abstände von Punkten zu Geraden und Ebenen Den Abstand d(p, g eines Punkte P von einer Geraden g zu bestimmen, ist nun einfach: Man berechne den Lotfußpunkt L von P auf g, dann ist d(p, g nichts anderes als der Abstand von P zu L, also d(p, g = d(p, L. Ebenso erhält man den Abstand d(p, E eines Punktes P von einer Ebene E dadurch, dass man den Lotfußpunkt L von P auf E bestimmt und dessen Abstand zu P. Es gilt nämlich auch hier wieder d p n d(p, E = d(p, L = s 0 n =. n Bemerkung Die angegebenen Verfahren zur Bestimmung des Lotfußpunktes funktionieren auch, wenn der Punkt P auf der Geraden bzw. auf der Ebene liegt. In diesem Fall erhält man L = P und der Abstand ist of 11 Aachen Andreas Maurischat

91 6. Abstände von Punkten zu Geraden und Ebenen Beispiel Im R 3 seien die Punkte A = (1; 1; 0, B = (; 1;, C = (3; 3; 4 und S = (4; 0; 0 gegeben. Bestimmen Sie das Volumen der dreiseitigen Pyramide mit Spitze S und Grundfläche Dreieck ABC. Formel für das Volumen einer Pyramide ist: V = 1 3 Grundfläche Höhe = 1 3 Fläche( ABC d(s, E ABC, wobei E ABC die Ebene durch die drei Punkte A, B und C ist. Die Formel für die Dreiecksfläche ist: F = 1 Grundseite Höhe = 1 d(a, B d(c, g AB, wobei g AB die Gerade durch A und B ist. Insgesamt: V = 1 3( 1 d(a, B d(c, g AB d(s, E ABC = 1 6 d(a, B d(c, g AB d(s, E ABC. 91 of 11 Aachen Andreas Maurischat

92 6. Abstände von Punkten zu Geraden und Ebenen Beispiel Im R 3 seien die Punkte A = (1; 1; 0, B = (; 1;, C = (3; 3; 4 und S = (4; 0; 0 gegeben. Bestimmen Sie das Volumen der dreiseitigen Pyramide mit Spitze S und Grundfläche Dreieck ABC. 1. d(a, B = AB = ( 10 = = 5.. d(c, g AB : {( ( g AB = + r r R} 0 Lotfußpunkt L C von C auf g AB ist daher OL C = OA + r 0 v mit v = ( 10 AB = ( ( 10 AC v 4 r 0 = = v = + 8 =. 5 5 ( ( Also ist d(c, g AB = d(c, L C = ( + = ( = und 91 of 11 Aachen Andreas Maurischat

93 6. Abstände von Punkten zu Geraden und Ebenen Beispiel Im R 3 seien die Punkte A = (1; 1; 0, B = (; 1;, C = (3; 3; 4 und S = (4; 0; 0 gegeben. Bestimmen Sie das Volumen der dreiseitigen Pyramide mit Spitze S und Grundfläche Dreieck ABC. 3. d(s, E ABC : {( ( ( E ABC = + r + s r, s R} = 0 Lotfußpunkt L S von S auf E ABC ist daher OL S = t 0 = d OS n n = 4 {( x1 x x 3 x OS + t 0 n mit n = ( ( ( = 4 0 ( 4 0 ( 4 0 } = 4 und 4 ( = 1 0 = 3 5. Also ist d(s, E ABC = d(s, L S = SLS = t 0 n = t 0 0 = Insgesamt also V = 1 6 d(a, Bd(C, g ABd(S, E ABC = =. 91 of 11 Aachen Andreas Maurischat

94 6.3 Abstände paralleler Geraden bzw. Ebenen Wenn sich zwei Ebenen E 1 und E im R 3 nicht schneiden, sind sie parallel. In diesem Fall kann man ihren Abstand d(e 1, E berechnen, indem man einen Punkt auf einer der beiden Ebenen wählt und dessen Abstand zur anderen Ebene berechnet. Sind beide Ebenen in Normalenform gegeben E 1 = { x x n = d 1 } und E = { x x n = d } mit demselben Normalenvektor n, so kann man den Abstand auch direkt berechnen durch d(e 1, E = d d 1. n Entsprechend erhält man für eine Gerade g, die zu einer Ebene E parallel ist, deren Abstand d(g, E, indem man einen Punkt auf der Geraden g wählt und dessen Abstand zur Ebene E berechnet. Auch für zwei zueinander parallele Geraden g und h berechnet man deren Abstand d(g, h, indem man einen Punkt auf einer der beiden Geraden wählt und dessen Abstand zur anderen Geraden berechnet. 9 of 11 Aachen Andreas Maurischat

95 6.4 Abstand windschiefer Geraden im R 3 Satz 9 Sind g = { p + r v r R} und h = { q + s w s R} zwei Geraden, die nicht parallel sind, so gibt es auf g und h jeweils einen eindeutigen Punkt L g bzw. L h so, dass der Abstand d(l g, L h minimal ist unter allen Abständen von Punkten auf g und Punkten auf h. Per Definition ist dann d(g, h= d(l g, L h. L g und L h sind eindeutig dadurch charakterisiert, dass die Gerade durch L g und L h sowohl auf g als auch auf h senkrecht steht. Die Punkte L g und L h sind gegeben durch OL g = p + r 0 v und OL h = q + s 0 w, wobei ( r 0 s0 die eindeutige Lösung des Gleichungssystems [ ] ( p + r v q s w v = 0 ( p + r v q s w w = 0 [ ] v r ( v w s = ( q p v v w r ist. w s = ( q p w 93 of 11 Aachen Andreas Maurischat

96 6.4 Abstand windschiefer Geraden im R 3 Beispiel {( ( } Wir betrachten die beiden Geraden g = + r r R und {( ( } h = + s s R, welche zueinander windschief sind (vgl. Bsp. in Welchen Abstand haben diese zwei Geraden zueinander? Für die Lotfußpunkte L g und L h ist also das folgende Gleichungssystem zu lösen ( ( ( ( ( ( r s = 0 ] ] 0 4 ( ( ( ( ( r s 4 ( 11 = 0 [ 5r 5s = 9 5r 6s = 11 [ 5r 5s = 9 s = Also s 0 = und r 0 = 1 5 (9 10 = 1 5, d.h. L g = ( 4 5 ; 1; 5 und L h = (0; 1; 0. Der Abstand beträgt also: d(g, h = d(l g, L h = ( (1 1 + ( = = of 11 Aachen Andreas Maurischat

97 6.4 Abstand windschiefer Geraden im R 3 Wenn man die Lotfußpunkte nicht benötigt, sondern nur den Abstand zwischen den windschiefen Geraden sucht, gibt es auch folgende Formel: Satz 10 Sind g = { p + r v r R} und h = { q + s w s R} zwei Geraden im R 3, die nicht parallel sind, und n ein Vektor, der zu beiden Geraden orthogonal ist, so lässt sich der Abstand von g und h berechnen durch ( q p n d(g, h = n {( ( } {( ( } Im Beispiel mit g = + r r R und h = + s s R ist 0 4 ( ( n = v w = = und n = ( + 1 = 5 und daher d(g, h = (( 4 ( 11 0 ( 0 1 ( 0 1 = 1 5 ( 1 ( = 5 = of 11 Aachen Andreas Maurischat

98 7 Kreise und Kugeln 7. Kreise und Kugeln 96 of 11 Aachen Andreas Maurischat

99 7.1 Kreisrand und Kreisfläche Definition 16 Es sei M = (m 1 ; m ein Punkt im R und r R mit r 0. Dann ist der Kreis um M mit Radius r (genauer die Kreislinie die Menge aller Punkte, die von M den Abstand r haben, also K(M; r = { x R x m = r } {( } x1. = R (x 1 m 1 + (x m = r x Das doppelte des Radius wird Durchmesser d = r genannt. Die Fläche, die vom Kreis begrenzt wird, also die Menge { x R x m r } {( } x1 = R (x x 1 m 1 + (x m r wird Kreisfläche mit Mittelpunkt M und Radius r (bzw. Durchmesser d = r genannt. 97 of 11 Aachen Andreas Maurischat

100 7.1 Kreisrand und Kreisfläche Definition 17 Sei M = (m 1 ; m R beliebig. Der Kreis mit Radius r {( } x1 K(M; r = R (x 1 m 1 + (x m = r x hat den Umfang πr und die zugehörige Kreisfläche hat den Flächeninhalt πr. Insbesondere sind Umfang und Flächeninhalt eines Kreises unabhängig vom Mittelpunkt des Kreises. Beispiel: Der Kreis um M = (1; 1 mit Radius 1 ist gegeben durch K(M; 1 = { x (x (x + 1 = 1}. Sein Umfang beträgt U = π und sein Flächeninhalt A = π. 98 of 11 Aachen Andreas Maurischat

101 7. Kugelfläche und Vollkugel Definition 18 Sei M = (m 1 ; m ; m 3 R 3 ein Punkt und r R mit r 0. Dann ist die Kugel um M mit Radius r (genauer die Kugel(oberfläche die Menge aller Punkte, die von M den Abstand r haben, also K(M; r = { x R 3 x m = r } = {( x1 x 3 R 3 (x1 m 1 + (x m + (x 3 m 3 = r }. Der von der Kugel begrenzte Bereich, also die Menge { x R 3 x m r } {( x1 = x 3 R 3 (x1 m 1 + (x m + (x 3 m 3 r } wird Vollkugel mit Mittelpunkt M und Radius r (bzw. Durchmesser d = r genannt. 99 of 11 Aachen Andreas Maurischat

102 7. Kugelfläche und Vollkugel Definition 19 Sei M = (m 1 ; m ; m 3 R 3 beliebig. Die Kugelfläche mit Radius r {( x1 K(M; r = x 3 R 3 (x1 m 1 + (x m + (x 3 m 3 = r } hat den Flächeninhalt 4πr, die zugehörige Vollkugel hat das Volumen 4 3 πr 3. Insbesondere sind Flächeninhalt und Volumen einer Kugel unabhängig vom Mittelpunkt der Kugel. 100 of 11 Aachen Andreas Maurischat

103 7.3 Kreise und Geraden Definition Sei M R beliebig und K(M; r der Kreis(rand mit Radius r um M. Dann nennt man 1. eine Gerade im R, die den Kreis nicht berührt, eine Passante,. eine Gerade im R, die den Kreis nur in genau einem Punkt berührt, eine Tangente und 3. eine Gerade im R, die den Kreis in genau zwei Punkten schneidet, eine Sekante. 101 of 11 Aachen Andreas Maurischat

104 7.3 Kreise und Geraden Gegeben: Gerade g und K(M; r ein Kreis mit Radius r um den Mittelpunkt M R. Gefragt: Ist die Gerade eine Passante, Tangente oder Sekante? ˆ d(m, g > r g ist eine Passante. ˆ d(m, g = r g ist eine Tangente. ˆ d(m, g < r g ist eine Sekante. 10 of 11 Aachen Andreas Maurischat

105 7.3 Kreise und Geraden Gegeben: g = {( u 1 u + s ( v 1 v s R}, Gesucht: Schnittmenge K(M; r = { ( x 1 x R (x 1 m 1 + (x m = r } 1. Setze für x die Werte der Geraden ein. Umformen liefert die quadratische Gleichung = (u 1 + s v 1 m 1 + (u + s v m = r. s ( u m v v s + u m r v = 0, 3. Setze die Lösungen für s wieder in die Geradengleichung ein, um die Schnittpunkte zu bekommen. keine Lösung: Gerade ist eine Passante genau eine Lösung: Gerade ist eine Tangente zwei verschiedene Lösungen: Gerade ist eine Sekante. 103 of 11 Aachen Andreas Maurischat

106 7.3 Kreise und Geraden Beispiel Wir wollen untersuchen, wie die Gerade g = { x R x 1 x = 1} zum Kreis K(M; 1 mit M = (1; 1 liegt, und gegebenenfalls die Schnittpunkte berechnen. Zunächst ist P = (1; 0 ein Punkt auf g und v = ( 1 1 ein Richtungsvektor, weshalb eine Parameterform von g gegeben ist als g = {( s ( 1 1 s R}. Weiter ist K(M; 1 = { x R (x (x + 1 = 1 }. Wir setzen dann die Parameterform der Gerade in die Gleichung ein: ((1 + s 1 + (s + 1 = 1 s + s + s + 1 = 1 s + s = 0 s(s + 1 = 0 Also gibt es die zwei Lösungen s = 0 und s = 1. Daher ist die Gerade eine Sekante und die Schnittpunkte sind S 1 = (1; 0 und S = (0; of 11 Aachen Andreas Maurischat

107 7.4 Schnitte von Kreisen Sind im R zwei Kreise K 1 = K(M 1 ; r 1 und K = K(M ; r gegeben, kann man sich auch die Frage stellen, welche gemeinsamen Punkte diese Kreise haben. Es gibt in diesem Fall vier Möglichkeiten: 1. Die Kreise haben keinen gemeinsamen Punkt, d.h. sie schneiden sich nicht.. Die Kreise haben einen gemeinsamen Punkt, d.h. sie berühren sich. 3. Die Kreise schneiden sich in genau zwei Punkten. 4. Die Kreise sind gleich (d.h. M 1 = M und r 1 = r, Abgesehen vom letzten Fall, bei dem beide Gleichungen identisch sind, lassen sich die Möglichkeiten folgendermaßen charakterisieren: 1. d(m 1, M < r 1 r (ein Kreis liegt komplett im anderen oder d(m 1, M > r 1 + r (die Mittelpunkte liegen zu weit auseinander.. d(m 1, M = r 1 r (berührt von innen oder d(m 1, M = r 1 + r (berühren sich außen. 3. r 1 r < d(m 1, M < r 1 + r (schneiden sich. 105 of 11 Aachen Andreas Maurischat

108 7.4 Schnitte von Kreisen Beispiel zur Berechnung der Schnittmenge K 1 = K(M 1 ; 1 und K = K(M ; 3 mit M 1 = (1; 1 und M = (3; 0. Die Kreisgleichungen sind dann K 1 = { x (x (x + 1 = 1} = { x x 1 x 1 + x + x + 1 = 0} K = { x (x (x 0 = 3 } = { x x 1 6x 1 + x = 0}. Zieht man die zweite von der ersten ab, erhält man die Geradengleichung 4x 1 + {( x + 1 = 0. Eine Parameterform } für die zugehörige Gerade g ist: g = s ( 1 s R. Einsetzen in zweite Kreisgleichung liefert ( s 6( s + ( 1 + s = 0, und schließlich die Lösungen s 1, = 5 ± Daher erhalten wir zwei Schnittpunkte S 1 = ( ; und S = ( ; und 106 of 11 Aachen Andreas Maurischat

109 7.5 Kugeln und Geraden Gegeben: Gerade g eine Gerade im R 3 und K r (M eine Kugel mit Radius r um den Mittelpunkt M R 3. Gefragt: Ist die Gerade eine Passante, Tangente oder Sekante? ˆ d(m, g > r g ist eine Passante. ˆ d(m, g = r g ist eine Tangente. ˆ d(m, g < r g ist eine Sekante. 107 of 11 Aachen Andreas Maurischat

110 7.5 Kugeln und Geraden {( u1 Gegeben: g = u 3 + s {( x1 K r (M = x 3 Gesucht: Schnittmenge 1. Setze für x die Werte der Geraden ein ( v1 v v 3 s R }, R 3 (x1 m 1 + (x m + (x 3 m 3 = r } = (u 1 + s v 1 m 1 + (u + s v m + (u 3 + s v 3 m 3 = r.. Umformen liefert die quadratische Gleichung s ( u m v v s + u m r v = 0, 3. Setze die Lösungen für s wieder in die Geradengleichung ein. keine Lösung: Gerade ist eine Passante genau eine Lösung: Gerade ist eine Tangente zwei verschiedene Lösungen: Gerade ist eine Sekante. 108 of 11 Aachen Andreas Maurischat

111 7.6 Beispiel Fragestellung Gesucht ist ein Punkt S im Raum, welcher zu den drei Punkten M 1 = (0; 0; 0, M = (; 1; 0 und M 3 = (0; 1; die Abstände r 1 = 1, r = bzw. r 3 = hat. Wo liegt der gesuchte Punkt? Alle Punkte, die von M 1 den Abstand r 1 haben, liegen auf dem Kreis um M 1 mit Radius r 1. Entsprechend für M und M 3. Der Punkt S liegt also in der Schnittmenge K 1 K K 3 der drei Kugeln K 1 = { x x 1 + x + x 3 = 1}, K = { x (x 1 + (x 1 + x 3 = } = { x x 1 4x 1 + x x + x 3 = 1}, K 3 = { x x 1 + (x 1 + (x 3 = } = { x x 1 + x x + x 3 4x = 1}, d.h. die Koordinaten von S = (s 1 ; s ; s 3 sind eine Lösung aller drei Gleichungen. 109 of 11 Aachen Andreas Maurischat

112 7.6 Beispiel 110 of 11 Aachen Andreas Maurischat