Brückenkurs Mathematik. Dienstag Freitag

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1 Brückenkurs Mathematik Dienstag Freitag Vorlesung 4 Lineare Gleichungssysteme und Analytische Geometrie Kai Rothe Technische Universität Hamburg Montag 8.10.

2 0 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 Lineare Gleichungssysteme Matrizen Gaußsches Eliminationsverfahren Lösen linearer 2 2 Gleichungssysteme.. 11 Geradengleichung in der Ebene Lineare Interpolation Lösen linearer 3 3 Gleichungssysteme.. 20 Quadratische Interpolation Geradengleichung im Raum Ebenengleichung im Raum Kreisgleichung Ellipsengleichung Hyperbelgleichung Kugelgleichung Gerader Kreiszylinder Gerader Kreiskegel

3 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 1 Lineare Gleichungssysteme Seien a ij, b i R für 1 i m, 1 j n beliebige Konstanten. Dann ist a 11 x a 1n x n = b 1 a 21 x a 2n x n = b 2. a m1 x a mn x n = b m. ein (inhomogenes) lineares Gleichungssystem (LGS) mit n Unbekannten und m Gleichungen.

4 2 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 Matrix mal Vektor Ein Zahlenschema der Form für reelle Zahlen a ij a 11 a 12 a 1n A := a 21 a 22 a 2n... a m1 a m2 a mn heißt reellwertige (m, n) Matrix. m heißt Zeilenzahl und n heißt Spaltenzahl der Matrix. Für einen Vektor x R n wird die (nichtkommutative) Multiplikation von Matrix und Vektor erklärt durch := a 11 a 12 a 1n a 21. a 22. a 2n. a m1 a m2 a mn x 1 x 2. x n }{{}}{{} A x a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n } {{ } A x Ax (abkürzende Schreibweise)

5 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 3 Beispiel Das lineare 2 2 Gleichungssystem, also n = m = 2, a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 lautet in Matrix mal Vektor Schreibweise ( a11 a 12 a 21 a 22 ) ( x1 x 2 ) = ( b1 b 2 ) }{{} =b oder kurz nur Ax = b mit A R (2,2) und x, b R 2. Kurzschreibweise in einem Koeffizientensystem ( a11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 ). Die erste Spalte gehört zur Variablen x 1, die zweite zu x 2 und die dritte zur rechten Seite b.

6 4 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 Beispiel Das lineare 3 3 Gleichungssystem, also n = m = 3, a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 lautet in Matrix mal Vektor Schreibweise a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 } a 31 a 32 a {{ 33 } A x 1 x 2 x 3 }{{} x = b 1 b 2 b 3 }{{} b oder kurz nur Ax = b mit A R (3,3) und x, b R 3. Kurzschreibweise in einem Koeffizientensystem a 11 a 12 a 13 b 1 a 21 a 22 a 23 b 2 a 31 a 32 a 33 b 3. Die erste Spalte gehört zur Variablen x 1, die zweite zu x 2, die dritte zu x 3 und die vierte zu b.

7 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 5 Lösen eines linearen Gleichunssystems Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems bleibt unter folgenden Äquivalenzumformungen unverändert: Vertauschen von Gleichungen Multiplizieren einer Gleichung mit einer Zahl c 0. (Äquivalenzumformung) Addition einer Gleichung auf eine andere. (Äquivalenzumformung)

8 6 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 Gaußsches Eliminationsverfahren Ziel ist es, das lineare Gleichungssystem durch obige Umformungen auf Dreiecksgestalt zu bringen (m n): ã 11 x 1 + ã 12 x 2 + ã 13 x ã 1n x n = b 1 ã 22 x 2 + ã 23 x ã 2n x n = b 2. ã mm x m + + ã mn x n = b m. oder in Matrix-Vektor-Schreibweise ã 11 ã 12 ã 1n 0 ã 22 ã 2n ã mm ã mn x 1 x 2. x n = b1 b2. bm Dann läßt sich das Gleichungssystem von unten nach oben durch Rückwärtseinsetzen auflösen.

9 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 7 Gaußsches Eliminationsverfahren Schritt 1: Die 1. Gleichung wird durch den Koeffizienten a 11 vor x 1 geteilt und dann für die Gleichungen 2 bis m jeweils mit den Koeffizienten a 21,..., a m1 von x 1 multipliziert und von der entsprechenden Gleichung subtrahiert. Beispiel 2 2 Gleichungssystem a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 ( a21 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 a 11 ) + a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 ã 22 x 2 = b 2 Mit ã 22 = a 22 a 12a 21 a 11 und b 2 = b 2 b 1a 21 a 11. Damit ist hier bereits die obere Dreiecksgestalt hergestellt.

10 8 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 Beispiel 3 3 Gleichungssystem a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 ( a21 a 11 ) ( a31 a 11 ) a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 + a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 + a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 ã 22 x 2 + ã 23 x 3 = b 2 ã 32 x 2 + ã 33 x 3 = b 3 Mit ã 22 = a 22 a 12a 21 a 11, ã 23 = a 23 a 13a 21 a 11, ã 32 = a 32 a 12a 31 a 11, ã 33 = a 33 a 13a 31 a 11, b2 = b 2 b 1a 21 a 11, b3 = b 3 b 1a 31 a 11.

11 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 9 Schritt 2: Die 2. Gleichung wird durch den Koeffizienten ã 22 vor x 2 geteilt und dann für die Gleichungen 3 bis m jeweils mit den Koeffizienten ã 32,..., ã m2 von x 2 multipliziert und von der entsprechenden Gleichung subtrahiert. Beispiel 3 3 Gleichungssystem a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 ã 22 x 2 + ã 23 x 3 = b 2 ( ã32 ã 32 x 2 + ã 33 x 3 = b 3 ã 22 ) + a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 ã 22 x 2 + ã 23 x 3 = b 2 â 33 x 3 = ˆb 3 Mit â 33 = ã 33 ã23ã 32 ã 22 und ˆb 3 = b 3 b 2 ã 32 ã 22. Damit ist hier die obere Dreiecksgestalt hergestellt.

12 10 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 Schritte 3 bis m: Die Schritte 1 (bzw. 2) werden analog lange wiederholt, bis das Gleichungssystem in oberer Dreiecksgestalt vorliegt. Lösen durch Rückwärtseinsetzen: Beispiel 2 2 Gleichungssystem a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 x 1 = b 1 a 12 x 2 a 11 ã 22 x 2 = b 2 x 2 = b 2 ã 22 Beispiel 3 3 Gleichungssystem a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 ã 22 x 2 + ã 23 x 3 = b 2 â 33 x 3 = ˆb 3 x 3 = ˆb 3 â 33 x 2 = b 2 ã 23 x 3 ã 22 x 1 = b 1 a 12 x 2 a 13 x 3 a 11

13 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 11 Lösen linearer 2 2 Gleichungssysteme Beispiel: eindeutige Lösbarkeit 2x 1 +4x 2 = 6 3x 1 x 2 = 23 Gauss 2x 1 +4x 2 = 6 7x 2 = 14 Rückwärtseinsetzen x 2 = 14 7 = 2 x 1 = 6 4x 2 2 = 7

14 12 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 Beispiel: keine Lösung 2x 1 6x 2 = 8 x 1 3x 2 = 5 Gauss 2x 1 6x 2 = 8 0 = 1 Die zweite Gleichung ist falsch. Damit ist das Gleichungssystem nicht lösbar.

15 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 13 Beispiel: Gerade als Lösungsmenge 3x 1 6x 2 = 9 x 1 + 2x 2 = 3 3x 1 6x 2 = 9 Es liegt also nur eine lineare Gleichung vor. Es kann beispielweise x 2 R als freier Parameter gewählt werden und man erhält x 1 = 3 + 2x 2 (Geradengleichung). Die Lösungsmenge besitzt damit die Darstellung ( x1 x 2 ) = ( 3 + 2x2 x 2 ) = ( ) ( ) 3 2 +x 0 2, x 1 2 R. }{{}}{{} a r Dies ist eine Gerade im R 2 in Parameterdarstellung mit Ortsvektor a und Richtungsvektor r.

16 14 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 Geradengleichung in der Ebene: Parameterdarstellung einer Geraden G Ortsvektor a, Richtungsvektor r und Parameter λ IR: x = a + λ r : ( ) x = y }{{} x ( ) a1 +λ a }{{ 2 } a ( r1 r 2 ) }{{} r. Der Normalenvektor n zu G steht senkrecht auf r: n = ( n1 n 2 ) mit n = 1 und < n, r >= 0. 2 r 0 n a G

17 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 15 Umwandlung der Parameterdarstellung von G in eine Einzelgleichung: < n, x > = < n, a + λ r > = < n, a > +λ < n, r > = < n, a > Man erhält für G die Einzelgleichung n 1 x + n 2 y =< n, a >=: d. Der (kürzeste) Abstand der Geraden zum Nullpunkt ist d =< n, a >. Umwandlung einer Einzelgleichung y = cx + d in Parameterdarstellung: ( x y ) = ( x cx + d ) = ( 0 d ) + x ( 1 c ).

18 16 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 Beispiel Man bestimme( für die ) Gerade ( ) G in( Parameterform ) x 1 3 x = = + λ y 2 4 eine zugehörige Geradengleichung und gebe den (positiven) Abstand von G zum Nullpunkt an. Normalenvektor zu G der Länge eins: n = 1 5 ( 4 3 ) < n, x >= 4x 5 + 3y 5 = ( ), ( 1 2 ) = 2 Auflösen nach y ergibt: 4x 5 + 3y 10 = 2 4x + 3y = 10 y = 5 3 4x 3. 4 y y = x x 1, Abstand zum Nullpunkt d = 2

19 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 17 Gerade im R 2 durch zwei Punkte Eine Gerade G in der Ebene ist durch zwei Vektoren a = (x 1, y 1 ) und b = (x 2, y 2 ) eindeutig bestimmt: 0 b a a b G Mit λ R als Parameter erhält man die Parameterform: ( ) ( ) ( ) x x1 x2 x = + λ 1. y y 1 y 2 y 1 Ortsvektor a, Richtungsvektor b a

20 18 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 Umwandlung dieser Parameterdarstellung von G in eine Einzelgleichung: Der Parameter λ kann eliminiert werden: Auflösen nach y ergibt x x 1 x 2 x 1 = λ = y y 1 y 2 y 1. y = y 1 + (x x 1)(y 2 y 1 ) x 2 x 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 x+y 1 x 1(y 2 y 1 ) x 2 x 1 also die Geradengleichung y = cx + d mit c = y 2 y 1 x 2 x 1 und d = y 1 x 1 y 2 y 1 x 2 x 1.

21 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 19 Beispiel: lineare Interpolation Man bestimme das durch die Wertetabelle x 1 3 y 2 2/3 bestimmte Polynom ersten Grades y = cx + d. Parameterform der Geraden: ( ) ( ) ( x = +λ y 2 2/3 2 ) = ( 1 2 ) ( 2 +λ 8/3 ). Gerade als Einzelgleichung: λ = x 1 2 y = 2 8λ 3 = 2 8(x 1) 6 = x y x -0.5 y = x 3

22 20 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 Lösen linearer 3 3 Gleichungssysteme Beispiel: eindeutige Lösbarkeit x 1 +x 2 +x 3 = 2 2x 1 +3x 2 +4x 3 = 7 3x 1 +5x 2 +8x 3 = 14 x 1 +x 2 +x 3 = 2 x 2 +2x 3 = 3 2x 2 +5x 3 = 8 x 1 +x 2 +x 3 = 2 x 2 +2x 3 = 3 x 3 = 2 Rückwärtseinsetzen x 2 = 3 2x 3 = 1 x 1 = 2 x 2 x 3 = 1

23 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 21 Beispiel: quadratische Interpolation Man bestimme das durch die Wertetabelle x y bestimmte Polynom zweiten Grades y = c + bx + ax 2. c +b +a = 0 c +2b +4a = 1 c +3b +9a = 4 c +b +a = 0 b +3a = 1 2b +8a = 4 c +b +a = 0 b +3a = 1 2a = 2 Rückwärtseinsetzen a = 1 b = 1 3a = 2 c = b a = 1 4 y x y = x 2 2x + 1 = (x 1) 2

24 22 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 Beispiel: keine Lösung x 1 3x 2 +x 3 = 4 2x 1 6x 2 +3x 3 = 9 3x 1 9x 2 +4x 3 = 11 x 1 3x 2 +x 3 = 4 x 3 = 1 x 3 = 1 Die zweite und dritte Gleichung wiedersprechen sich. Damit ist das Gleichungssystem nicht lösbar.

25 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 23 Beispiel: Gerade als Lösungsmenge x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 x 2 + x 3 = 2 0 x 3 = 0 Damit kann beispielweise x 3 R als freier Parameter gewählt werden und man erhält x 2 = 2 x 3 x 1 = 2x 2 3x 3 = 4 x 3. Die Lösungsmenge besitzt damit die Darstellung x 1 x 2 x 3 = 4 x 3 2 x 3 x 3 = x , x 3 R. Dies ist eine Gerade im R 3 in Orts-, Richtungsvektordarstellung.

26 24 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 Beispiel: Ebene als Lösungsmenge x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 1 0 x x 3 = 0 0 x 3 = 0 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 1 x 3 R und x 2 R sind frei wählbare Parameter: Rückwärtseinsetzen ergibt: x 1 = 1 2x 2 3x 3. Alle Lösungen dieses Gleichungssystems aus einer Gleichung mit drei Unbekannten, liegen auf der folgenden Ebene in Parameterform: x 1 x 2 x 3 = = 1 2x 2 3x 3 x x 3 + x mit x 2, x 3 R + x

27 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 25 Ebenengleichung im Raum: Parameterdarstellung einer Ebene E mit λ, µ IR: x = a+λ r+µ s : x y z = Normalenvektor zu E : n = 0 a 1 a 2 a 3 n 1 n 2 n 3 +λ r 1 r 2 r 3 +µ mit n = 1 s r 2 n a Ebenengleichung für E n 1 x + n 2 y + n 3 z = d < n, x >= < } n, a {{ > } =:d Abstand der Ebene zum Nullpunkt: d =< n, a > E s 1 s 2 s 3.

28 26 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 Beispiel Für die Ebene E mit der Gleichung 2x + 3y + 4z = 29 bestimme man den Abstand zum Nullpunkt. Normalenvektor: n = mit n = Abstand von E zum Nullpunkt: d = = 29 Man berechne den Durchstoßpunkt der Geraden G λ durch die Ebene E. Einsetzen von G in E ergibt 29 = 2(3 2λ) + 3(2 + 3λ) + 4(1 + 2λ) = λ λ = 1 Durchstoßpunkt von G mit E: =

29 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 27 Ebene im R 3 durch drei Punkte Eine Ebene im Raum ist durch drei Vektoren a, b, c R 3 bestimmt: Es gilt für jeden Punkt x R 3 auf der Ebene, dass λ, µ R existieren, so dass gilt: x = a + λ( b a) + µ( c a), d.h. x 1 x 2 x 3 = a 1 a 2 a 3 + λ b 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 + µ c 1 a 1 c 2 a 2 c 3 a 3. a = Ortsvektor, der auf die Ebene führt b a = Richtungsvektor, der in der Ebene verläuft c a = Richtungsvektor, der in der Ebene verläuft

30 28 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 Kreisgleichung: Die Punkte (x, y) IR 2 der Lösungsmenge von x 2 + y 2 = r 2 für r > 0 liegen auf einem Kreis um (0, 0) vom Radius r. 1 y x Kreis x 2 + y 2 = r 2 mit r = 1 Kreisumfang: L = 2πr, Kreisfläche: A = πr 2 Parameterdarstellung der Lösungsmenge mit festem Radius r R + : { (x, y) = (r cos(φ), r sin(φ)) R 2 φ [0, 2π) }

31 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 29 Beispiel Man zeichne den folgenden Kreis: x 2 4x + y 2 = 12. Mit Hilfe quadratischer Ergänzungen ergibt sich: 12 = x 2 4x + y = x 2 4x y = (x 2) 2 + y 2 Kreisgleichung: Mittelpunkt (2, 0), Radius r = 4 Mathematica Plotbefehl: ParametricPlot[ {4 Cos[t] + 2, 4 Sin[t]}, {t, 0, 2 Pi}, AxesLabel -> {"x", "y"}] 4 y x 2 4 Kreis (x 2) 2 + y 2 = 4 2

32 30 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 Ellipsengleichung Lösungsmenge von x 2 a + y2 2 b = 1 2 für a, b R + sind die Punkte (x, y) IR 2 auf einer Ellipse um (0, 0) mit den Halbachsen a und b. y x -2 Ellipse x y2 = 1 mit a = 5 und b = Ellipsenfläche: A = abπ Parameterdarstellung der Lösungsmenge mit festen Halbachsen a, b R + : { (x, y) = (a cos(φ), b sin(φ)) R 2 φ [0, 2π) }

33 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 31 Beispiel Man zeichne die folgende Ellipse: 25x 2 + 4y 2 8y = 96. Mit Hilfe quadratischer Ergänzungen ergibt sich: 96 = 25x 2 + 4y 2 8y = 25x 2 + 4(y 1) 2 : = x2 (y 1) Ellipse: Mittelpunkt (0, 1), Halbachsen a = 2, b = 5 Mathematica Plotbefehl: ParametricPlot[{2 Cos[t], 5 Sin[t] + 1},{t, 0, 2 Pi}, AxesLabel -> {"x", "y"}] 6 y x 2 Ellipse x 2 (y 1)2 + =

34 32 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 Hyperbelgleichung Die Punkte (x, y) IR 2 der Lösungsmenge von x 2 a y2 2 b = 1 2 mit a, b R + liegen auf einer Hyperbel. y x -4-6 Hyperbel x y2 3 2 = 1 Parameterdarstellung der Lösungsmenge mit festen Halbachsen a, b R + : { (x, y) = (±a cosh(t), b sinh(t)) R 2 t R }

35 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 33 Beispiel Man zeichne die folgende Hyperbel: x 2 + 6x 16y 2 = 7. Mit Hilfe quadratischer Ergänzungen ergibt sich: 7 = x 2 + 6x 16y = (x + 3) 2 16y 2 : 16 1 = (x + 3)2 4 2 y 2 Mittelpunkt ( 3, 0), Halbachsen a = 4, b = 1 Mathematica Plotbefehl: ParametricPlot[{{4 Cosh[t] - 3, Sinh[t]}, {-4 Cosh[t] - 3,Sinh[t]}}, {t, -1.5, 1.5}, AxesLabel -> {"x", "y"}] y x 1 Hyperbel 2 (x + 3) y 2 = 1

36 34 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 Kugelgleichung Die Punkte der Lösungsmenge von x 2 + y 2 + z 2 = r 2 für r > 0 liegen auf einer Kugel um (0, 0, 0) vom Radius r y z x Kugel x 2 + y 2 + z 2 = 5 2 mit r = 5 Kugeloberfläche: S = 4πr 2, Kugelvolumen: V = 4πr3 3

37 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 35 Gerader Kreiszylinder Zylinderhöhe: h Kreisradius: r z x y -0.5 Zylinderhöhe h = 1, Kreisradius: r = 1 Mantelfläche: M = 2πrh, Oberfläche: S = 2πr(r + h), Zylindervolumen: V = πr 2 h

38 36 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 4 Gerader Kreiskegel Kegelhöhe: Kreisradius: h r Kegelhöhe h = 2, Kreisradius: r = 3 Länge der Mantellinie: s = r 2 + h 2, Mantelfläche: M = πrs, Oberfläche: S = πr(r + s), Kegelvolumen: V = πr2 h 3