Klausur DI/LA F 2006 LA : 1

Transkript

1 Klausur DI/LA F 26 LA : Aufgabe (4+2=6 Punkte): Gegeben seien die Matrix A und der Vektor b mit λ A = λ und b = λ a) Bestimmen Sie die Werte λ R, für welche das Gleichungssystem Ax = b genau eine, keine Lösung oder mehrere Lösungen besitzt. b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge von Ax = b für λ =.. Lösung: a) Durch elementare Zeilenumformungen ergibt sich λ λ λ λ λ λ λ λ 2 λ λ λ λ 2 λ 2 λ λ = λ λ λ (λ )(λ + 2) λ Ist also λ =, so sind die zweite und die dritte Zeilen Nullzeilen, somit hat das Gleichungssystem in diesem Fall mehrere Lösungen. Ist λ = 2, so entspricht die dritte Zeile der Gleichung x + x 2 + x =. Also hat das Gleichungssystem in diesem Fall keine Lösung. Gilt λ und λ 2, so existiert genau eine Lösung des Gleichungssystems. b) Nach Teil a) existiert für λ = genau eine Lösung x. Diese ist zu bestimmen aus x =. ( )( + 2) Also lautet die Lösungsmenge: L = /5 /5 /5.

2 Klausur DI/LA F 26 LA : 2 Aufgabe 2 (2+4=6 Punkte): Gegeben seien die Geraden 5 g : x = + t, t R und g 2 : x = s 2, s R. a) Berechnen Sie den Schnittpunkt von g und g 2. b) Berechnen Sie die Ebene E, die beide Geraden enthält. Geben Sie diese Ebene in Parameterform und in der Form ax + bx 2 + cx = d (Hesse s Form) an. Lösung: a) Bestimme t und s aus R, für die gilt t = Somit ist P = der Schnittpunkt. b) Die Parameterform der Ebene E lautet 2 E : x = + s t + s 2 s = 4, t = 2., s, t R. a In der Darstellung ax + bx 2 + cx = d ist b ein Normalenvektor der Ebene. Wir c bestimmen diesen als das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene, also a 2 b = =. c Somit gilt E : x + x 2 + x = d. Setzt man nun einen Punkt der Ebene zum Beispiel den Punkt P in diese Gleichung ein, so erhält man d = =. Damit erhalten wir E : x + x 2 + x =. 2

3 Klausur DI/LA F 26 LA : Aufgabe (7 Punkte): Bestimmen Sie die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren der Matrix A, wobei a A = a 2a a und a R \ {} gilt. Lösung:. Eigenwerte ausrechnen: Es gilt det(a λe) = (a λ) 2 (a λ). Damit sind λ = a und λ 2 = a die Eigenwerte von A. 2. Eigenräume ausrechnen: Zu λ = a: Es sind alle Lösugen des Gleichungssystems (A λ E)v = zu bestimmen. Wegen (A λ E) = 2a 2a und a sind und Eigenwert λ. Zu λ 2 = a: Wir bestimmen alle Lösungen von (A λ 2 E)v =. Wegen erhalten wir zwei linear unabhängige Eigenvektoren von A zum A λ 2 E = 2a 2a 2a als Eigenvektor zum Eigenwert λ 2.

4 Klausur DI/LA F 26 LA : 4 Aufgabe 4 (5 Punkte): Gegeben sei der Vektor b = 2. Gesucht sind alle Vektoren x R so, dass. die Länge von x gleich 2 ist, und 2. die Vektoren x und e 2 den Winkel π/2 einschließen, und. der Vektor x senkrecht zu dem Vektor b ist. Lösung: Sei x = (x, x 2, x ) T. Aus 2. folgt x 2 =< x, e 2 >= x e 2 cos(π/2) =. Wegen. folgt daraus =< x, b >= 2x + x. Folglich gilt 2x = x. Zusammen mit. ergibt sich nun 4 = x 2 + x x 2 = x 2 + 2x 2, woraus x = ± 4/ folgt. Also sind x = 2/ 2 2/ und x 2 = 2/ 2 2/ die gesuchten Vektoren. 4

5 Klausur DI/LA F 26 LA : 5 Aufgabe 5 (+5=6 Punkte): Es sei die Matrix A α R (,) gegeben durch 4 2 A α = 2 2 α, α + (α ) 2 wobei α R. a) Existiert eine Cholesky-Zerlegung von A 2? Falls ja, bestimmen Sie eine Cholesky- Zerlegung. Falls nein, begründen Sie Ihre Aussage. b) Bestimmen Sie eine Cholesky-Zerlegung von A. Hinweis: eine Cholesky-Zerlegung einer positiv semidefiniten Matrix A ist eine untere Dreiecksmatrix L = b c, so daß LL T = A. a d e f Lösung: a) Nein, denn det(a 2 ) = 8, d.h. mindestens einer der Eigenwerte von A 2 ist negativ. Daher ist A 2 nicht positiv semidefinit. a b) Ist L = b c, so gilt d e f 4 2 a 2 ab ad 2 2 = A = LL T = ab b 2 + c 2 bd + ce. 5 ad bd + ce d 2 + e 2 + f 2 Aus a 2 = 4 folgt, daß a = 2. Im folgenden sei a = 2. Aus ab = 2 und ad = folgern wir b = und d =. Unter Verwendung der Gleichung b 2 + c 2 = 2 können wir nun c = schließen. Wir wählen c =. Mit bd + ce = folgt nun, daß e =. Als letztes können wir aus d 2 + e 2 + f 2 = 5 schließen, daß f = 2. Im folgenden sei f = 2. Eine 2 Cholesky-Zerlegung von A ist also durch L = gegeben. 2 5