2 a 6. a 4 a Wir führen nun den Gauÿalgorithmus durch: 2 a a 2 4a 2 4a a a 2 2a 0 2 a

Transkript

1 Aufgabe 8 Punkte). Bestimmen Sie die Lösungsmenge in R in Abhängigkeit von a R) des folgenden linearen Gleichungssystem: x + ax + 6x = 4, ax + 4x + ax =, x + 4x =. Lösung. Wir schreiben das lineare Gleichungssystem zunächst in Matrizenschreibweise: a 6 4 a 4 a Wir führen nun den Gauÿalgorithmus durch: a 4 a II II ai 8 a 4a 4a 8 a a a = II II+aIII a )a + 4) a Wir machen nun eine Fallunterscheidung: a = 4: Die zweite Zeile ist nicht lösbar, d.h. die Lösungsmenge ist leer. a = : Wir erhalten: 6 4 I I+III Damit ist die Lösungsmenge L = 7 5λ + λ λ ; λ R. a und a 4: Wir erhalten a )a + 4) a I I III 4 a + 6 a + 4) Damit gilt x = und somit x a+4 = + sowie x 4 a+4) = 4 ist also a+ 4 a+4 L = a a+4) a+ a+4. Die Lösungsmenge

2 Aufgabe +4+=7 Punkte). i) Bestimmen Sie die Determinante der Matrix 7 A = 5 und folgern Sie, dass A invertierbar ist. ii) Bestimmen Sie A. Hinweis: Alle Einträge von A sind ganzzahlig. iii) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem Ax = b mit b = Lösung. i) Wir entwickeln nach der ersten Zeile: ) 5 deta) = 7 det ) det = 7 ) + ) ) =. ) 5 + ) det ) Damit ist A invertierbar. ii) Wir führen den Gauÿalgorithmus auf beiden Seiten durch: II 7II+5I 5 7 III 7III+I III III+II I I+III II II+III I I+II Damit gilt iii) Es gilt A = x = A b = 6

3 Aufgabe 8 Punkte). Bestimmen Sie alle komplexen) Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren der Matrix B = i i i + i Lösung. Wir berechnen zunächst das charakteristische Polynom: λ i) detλe B) = det i λ + + i λ + i) ) λ + + i = λ i)) det λ + i) = λ i))λ + )λ + i)), wobei wir nach der. Zeile entwickelt haben. Damit sind die Eigenwerte i, und + i. Zu i: Mit dem Gauÿalgorithmus erhalten wir i 5 i + i i i +i 5 i II II iiii i = +i Damit sind die Eigenvektoren Vielfache von Zu : Mit dem Gauÿalgorithmus erhalten wir 5 + i i + i II II iiii 5 i 5 i Damit sind die Eigenvektoren Vielfache von Zu + i: Mit dem Gauÿalgorithmus erhalten wir i +i i i 5 + i + i I I+iIII II II iiii +i 5+i 5 i + i i. + 6i 5 i. = +i Damit sind die Eigenvektoren Vielfache von +i 5 + i + i. III III+I

4 Aufgabe 4 +4=7 Punkte). Bestimmen Sie alle komplexen) Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen: i) z + z6 4i) + 9 = i, ii) z 4 + 8z + 7 =. Lösung. i) Die Gleichung ist äquivalent zu z + z6 4i) + i) = 9 + i + i) = 9 + i + 9 i 4 = 4 und damit zu z + i)) = 4. Damit ergeben sich die zwei Lösungen z = i i) = + 4i und z = i i) =. ii) Wir benutzen die Substitution u = z, sodass u + 8u + 7 =. Dies ist äquivalent zu u + 8u + 4 = und damit zu u + 4) = 9. Damit erhalten wir die Lösungen u = 4 = und u = 4 = 7. Durch Rücksubstitution erhalten wir z = i, z = i, z = 7i und z 4 = 7i.

5 Aufgabe 5 +)+++)= Punkte). i) Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz: a) b) k= k= k! k k, k 4 + 5k 7 4k 4 + 4k + 9. ii) Existiert der Grenzwert k! lim k k? k Falls ja, geben Sie den Grenzwert an. Hinweis: Benutzen Sie Teil a) aus i). iii) Bestimmen Sie den Reihenwert der folgenden Reihen: a) b) k= k= kk + ), )) 6 k k + 9. Lösung. i) a) Die Reihe konvergiert nach dem Quotientenkriterium, da k+)! k+) k+ = k! k k für k. k + )! k! b) Die Reihe divergiert, da ) k k k k k + ) = k + k+ k + k + = ) + k e < k 4 + 5k 7 4k 4 + 4k + 9 = k k k 4 k k + 9 = k 4 7 k k k k k 4 4 für k. Damit ist das Trivialkriterium nicht erfüllt und die Reihe kann nicht konvergieren. ii) Da die Reihe in i) a) konvergiert, existiert nach dem Trivialkriterium der Grenzwert und ist gleich. iii) a) Sei N N. Es gilt: N k= für N. kk + ) = = = N k= N k= kk + ) = N k k= + + = 8 N k + k kk + ) = N k ) k + k= k= ) = N ) N+ k + k k k= k=4 N + N + ) N + ) 8 N + + N + + N +

6 b) Es gilt 6 k k + 9 )) = k= ) k ) ) k + 9 = 6 k= = k= = =. ) k + 9 k= ) k 6

7 Aufgabe 6 6 Punkte). Untersuchen Sie die Funktion x )x + ), für x, ], f : R R, x x lnx) 4, für x, ), e x, für x [, ) in jedem Punkt ihres Denitonsbereichs auf Stetigkeit. Lösung. Auÿerhalb von und ist f stetig. Zur Stetigkeit in : Es gilt limx )x + ) = 4 = f) x und sodass f in stetig ist. Zur Stetigkeit in : Es gilt lim x lnx) 4 = 4, x sodass f nicht in stetig ist. lim x lnx) 4 = 4 f) = e, x

8 Aufgabe 7 6 Punkte). Bestimmen Sie alle Extrema der Funktion f : R R, x x ) e x ). Wo ist f streng monoton wachsend, wo streng monoton fallend? Lösung. Die Ableitung berechnet sich für x R zu f x) = e x ) + x ) e x ) )x ) = e x ) + x + )x )) = e x ) x + x + x ) = e x ) x x + ). Die Nullstellen von f sind demnach und. Weiterhin gilt f ) <, f ) > und f ) <. Damit besitzt f in ein lokales Minimum und in ein lokales Maximum. Auf, ] und [, ) ist f monoton fallend, auf [, ] ist f monoton wachsend.

9 Aufgabe 8 +5=8 Punkte). Berechnen Sie die folgenden Integrale: i) ii) 9 π Lösung. x x + 9 dx, e x sinx) dx. i) Wir benutzen die Substitution ux) = x+9, sodass u x) = und erhalten 9 x x + 9 dx = = ux) 9) ux)u x)dx = t 9t dt = [ 5 t 5 6t 8 9 ] 8 t 9) t dt 9 = ) = 5 ) 5 6 ) ) = ) = 5 = ) + ) +. ii) Wir benutzen partielle Integration und erhalten π sodass durch umstellen gilt. e x sinx) dx = [ e x sinx) ] π + π π = [ e x cosx) ] π π = e π + π e x sinx) dx = e x sinx) dx, e π + ) e x cosx) dx e x sinx) dx