KLAUSUR. Analysis (E-Techniker/Mechatroniker/W-Ingenieure) Dr. habil. Sebastian Petersen Dr. Anen Lakhal. Version mit Lösungsskizzen

Transkript

1 KLAUSUR Analysis (E-Techniker/Mechatroniker/W-Ingenieure) Dr. habil. Sebastian Petersen Dr. Anen Lakhal Version mit Lösungsskizzen Für jede Aufgabe gibt es Punkte. Zum Bestehen der Klausur sollten 27 Punkte erreicht werden.

2 Aufgabe. a) Man berechne die folgenden Grenzwerte: lim n 2 + n 7n 2 + ( ) n, lim n 2 + 2n 2 +, und lim n3 b) Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass n und berechnen Sie dann den Grenzwert Lösungsskizze zu Aufgabe. a) lim n 2 +n 7n 2 +( ) n lim n 2 + 2n 2 + n 3 +n lim. 7+( ) n n 2 7 lim +n 2. 2+n k. cos ( 2n 3n 3 ). 2 k 8 n+5 2 n für alle n N gilt, lim cos( 2n ) lim 3n 3 cos( 2 ) cos(), wobei wir im vorletzten 3n 2 3n 3 Schritt die Stetigkeit des Cosinus benutzt haben. b) Behauptung: Es gilt Induktionsanfang: für n richtig. Induktionsschritt: n n+ 2 k 8 n+5 2 n für alle n N. 2 k und , d.h. die zu zeigende Aussage ist 2 k n 2 k + (n+)+3 2 n+ (!) 8 n+5 2 n + n+4 2 n+ 8 2n+ 2 n+ + n+4 2 n+ 8 n+6 2 n+, wobei an der mit (!) gekennzeichneten Stelle die Induktionsannahme benutzt wurde. Nun sieht man, dass gilt. k k lim 8 n n 8

3 Aufgabe 2. Wir betrachten die Funktion f : R \ {} R, f(x) ex x. a) Hat f eine Nullstelle? b) Bestimmen Sie die erste Ableitung f von f. c) Bestimmen Sie Lage und Art der lokalen Extrema von f. d) Berechnen Sie lim x,x< f(x), lim f(x), x,x> lim f(x) und lim f(x). x x e) Skizzieren Sie den ungefähren Verlauf des Graphen von f. Lösungsskizze zu Aufgabe 2. a) Nein. b) f (x) ex (x ) e x (x ) 2 ex (x 2) (x ) 2 für alle x D R \ {}. c) Offenbar ist x : 2 die einzige Nullstelle von f und somit der einzige Kandidat für ein Extremum. Es ist f (x) < für x ], 2[, d.h. f ist in ], 2[ streng monoton fallend. Es ist f (x) > für x ]2, [, d.h. f ist in ]2, [ streng monoton wachsend. Damit sieht man, dass in x 2 ein isoliertes lokales Minimum vorliegt; weitere lokale Extrema hat f nicht. Anmerkung: Alternativ kann man die stationäre Stelle x mit Hilfe der zweiten Ableitung klassifizieren. (Dafür muss man f natürlich erst einmal berechnen, was ein gewisser Mehraufwand gegenüber dem hier geschilderten Weg ist.) d) lim f(x). (Situation.) x,x< lim f(x). (Situation.) x,x> + lim f(x). (Situation.) x lim f(x) lim e x, wobei im vorletzten Schritt die Regel von de L Hospital x x benutzt wurde. e) Skizze machen!

4 Aufgabe 3. a) Für die Funktion f : R R, f(x) sin(x 2 4x + 3) berechne man f und f und das Taylorpolynom 2. Ordnung von f im Entwicklungspunkt x. e b) Man berechne lim 7x. (Hinweis: L Hospital!) x sin(3x) c) Berechnen Sie die folgenden Integrale: (i) 3x 2 ln(x)dx, x >. (Hinweis: Partielle Integration!) (ii) π 2 cos( x)+ 6 x dx. (Hinweis: Man substituiere u x.) Lösungsskizze zu Aufgabe 3. a) Es gilt f(x) sin(x 2 4x + 3), f(), f (x) (2x 4) cos(x 2 4x + 3), f () 2, f (x) 2 cos(x 2 4x + 3) (2x 4) sin(x 2 4x + 3), f () 2. Das gesuchte Taylorpolynom ist also T (x) f() + f ()(x ) + f () (x ) 2 2(x ) + (x ) 2. 2 b) exp(7x) lim x sin(3x) lim x 7 exp(7x) (Es wurde die Regel von de L Hospital benutzt.) 3 cos(3x) 7 exp() 3 cos() 7 3. c) (i) 3x 2 ln(x)dx x 3 ln(x) x 3 x dx x 3 ln(x) x 2 dx x 3 ln(x) 3 x3 + C. (ii) Substituiere u x, du dx π 2 2 x : cos( x)+ 6 dx π (cos(u) + )du [sin(u) + x 3 3 u]π π. 3

5 Aufgabe 4. a) Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe n 7n n (x 3) n mit dem Quotientenkriterium. ( 2 3 n) n x n mit dem Wur- b) Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe n zelkriterium. c) Wir betrachten die Funktion f : R \ {, 2} R, f(x) (x )(x 2). (i) Berechnen Sie A, B R derart, dass für alle x R \ {, 2} gilt. f(x) A x + B x 2 (ii) Berechnen Sie nun das unbestimmte Integral f(x)dx. (iii) Berechnen Sie die Taylorreihe von f im Entwicklungspunkt x. (Hinweis: Man verwende Teil (i) und die geometrische Reihe; x n für x ], [.) x Lösungsskizze zu Aufgabe 4. a) Wir setzten a n : 7 n n. Dann gilt lim a n+ 7 n+ (n + ) lim 7 n n a n n lim 7 n + n Also ist R der Konvergenzradius der angegebenen Potenzreihe. 7 b) Wir setzen b n : ( 2 3 n) n. Es gilt lim bn lim (2 3 n ) 2. Also ist R der Konvergenzradius der angegebenen Potenzreihe. 2 c) (i) (x )(x 2) 7. A x x 2 A(x 2) + B(x ) x + (A + B)x (2A + B) Wir sehen, dass f(x) x + x 2 gilt. (ii) Es folgt f(x)dx ln( x ) + ln( x 2 ). (iii) Ferner sieht man, dass f(x) x 2 A + B und 2A + B A und B 2 x x n 2 n 2 n x n n ( 2 n )x n zumindest für alle x mit x < gilt. Die Potenzreihe n ( 2 n )x n muss also die Taylorreihe von f sein. n

6 Aufgabe 5. Wir betrachten die Funktion f : R 2 R, f(x, x 2 ) x 2 + 2x x x 2 + 6x 2. a) Berechnen Sie den Gradient f(x, x 2 ) und die Hesse-Matrix Hessf(x, x 2 ). b) Bestimmen Sie Lage und Art der lokalen Extrema von f. c) Finden Sie die Gleichung der Tangetialebene an f im Punkt (, ). Lösungsskizze zu Aufgabe 5. a) f(x, x 2 ) (2x + 2x 2, 2x + 4x 2 + 6). Ferner gilt ( 2 2 Hessf(x, x 2 ) 2 4 b) f(x, x 2 ) (, ) ). ( ) ( ) ( ) 2 2 x ( 2 4 ) ( x 2 ) ( 6 ) x 2 x 2 6 (x, x 2 ) (3, 3) Einziger Kandidat für ein lokales Extremum ist also der Punkt (3, 3). Die Matrix H : Hessf(3, 3) hat einen positiven (, )-Eintrag und det(h) ist positiv. Nach dem Hauptminorenkriterium ist H positiv definit. Also hat f in (3, 3) ein isoliertes lokales Minimum und keine weiteren lokalen Extrema. c) Die Tangentialebene ist der Graph des -ten Taylorpolynoms T (x, x 2 ) f(, ) + f(, ), (x, x 2 ) + 4(x ) + 2(x 2 ). Die Gleichung der Tangetialebene ist y T (x, x 2 ).

7 Aufgabe 6. a) Berechnen Sie das Mehrfachintegral b) Wir betrachten das Dreieck ( x2 y 2 )dydx. D : {(x, y) R 2 : x, y, y x} mit den Eckpunkten (, ), (, ) und (, ). Berechnen Sie xy d(x, y). D c) Sei V der Viertelkreis V : {(x, y) R 2 : x, y, x 2 + y 2 }. Man berechne (x 5y) d(x, y). (Hinweis: Polarkoordinaten!) V Lösungsskizze zu Aufgabe 6. a) ( x2 y 2 )dydx [y x2 y 3 y3 ] ydx ( 2 3 x2 )dx [ 2x 3 3 x3 ]. 3 b) D xy d(x, y) xydydx x [ 2 xy2 ] yxdx (x 2 x3 )dx [ 2 2 x2 4 x4 ] 8 c) Die Polarkoordinatentransformation ϕ(r, α) (r cos(α), r sin(α) bildet das Rechteck R [, ] [, π ] auf V ab, und die Funktionaldeterminante von ϕ ist bekanntlich r. 2 Mit der Transformationsformel ergibt sich: (x 5y) d(x, y) g(ϕ(r, α))rd(r, α)) V }{{} R :g(x,y).5π (r cos(α) 5r sin(α))rdrdα.5π ( r2 (cos(α) 5 sin(α))drdα ) ( ).5π r2 dr (cos(α) 5 sin(α))dα [sin(α) + 5 cos(α)].5π 3 ( 5)