Mathematik II Sammlung von Klausuraufgaben

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1 Mathematik II Sammlung von Klausuraufgaben Die Klausur wird aus etwa 10 Aufgaben bestehen. Die folgenden Aufgaben sollen einen Eindruck vom Typ der Aufgaben vermitteln, die Bestandteil der Klausur sein könnten. 1. Was versteht man unter der Partialbruchzerlegung der Bildungsvorschrift der Funktion f : R \ {, 3} R mit f(x) = 4 (x 3)(x + ) und welche Rolle spielt sie beim Ermitteln einer Stammfunktion für die Funktion f?. Für das bestimmte Integral 1 e x 3e x + dx soll die Substitution 3e x + = y durchgeführt werden. Wie gehen Sie dabei vor und welches bestimmte Integral ergibt sich als Ergebnis dieser Substitution? 3. Wie kann man mit dem Quotientenkriterium argumentieren, dass die unendliche Reihe 3n n konvergent ist? n=1 4. Bestimmen Sie die Richtungsableitung der Funktion f : R R mit f(x, y) = y sin(x) + x e 3y ( 1 ) an der Stelle (x 0, y 0 ) = (π, ) in Richtung des Einheitsvektors Es sei G R das Flächenstück in der Ebene, welches von dem Dreieck mit den Eckpunkten (1, 1), (3, 1) und (3, ) begrenzt wird. Die Funktion f : R R mit f(x, y) = e x sin(x + y) soll über das Gebiet G integriert werden. Welches Doppelintegral liefert den Wert dieses Gebietsintegrals (Sie müssen den Wert des Integrals nicht ausrechnen)?

2 6. Wie groß ist der Fehler δ = f( π) p( π ) der Näherung der Funktion 4 4 f : [0, π] R mit f(x) = 3 sin(x) durch das Taylorpolynom p von f vom Grad, das an der Stelle x 0 = π gebildet wird. 7. Die Geschwindigkeit v(t) eines Fahrzeugs als Funktion der Zeit t für den Zeitraum 0s t 10s sei v(t) = { 1 m t + 10 m s s falls 0s t < 60s 40 m s e 1 1 s t+60 falls 60s t 10s Was ist die durchschnittliche Geschwindigkeit des Fahrzeugs in diesem Zeitraum? 8. Mit welchem Ansatz kann man eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung 5y (x) y(x) + 4e x sin(3x) = 0 bestimmen und wie geht man dabei vor? 9. Geben Sie eine Gleichung an, die die Menge derjenigen Punkte (x, y) R beschreibt, die auf der Niveaulinie zum Niveau 4 der Funktion liegen. f : R R mit f(x, y) = 4x + 3y Wie kann man die Bildungsvorschrift der Funktion f : R \ { } R mit f(x) = 3x3 x + 4 x + so umformen, dass die Ermittlung einer Stammfunktion für die Funktion f auf die Bildung von Stammfunktionen für elementare Funktionen zurückgeführt wird? 11. Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes der Fläche, die vom Graphen der Funktion f : [ 1, 1] R mit f(x) = e x und der x-achse eingeschlossen wird.

3 1. Berechnen Sie für die Funktion g : R R mit (x, y) x y und die Kurve C : [0, π 4 ] R mit t (cos(t), sin(t)) den Wert des Kurvenintegrals C g. 13. Bestimmen Sie den Gradienten der Funktion f : R R mit f(x, y) = cos(3x) sin(5y) + 1 xy an der Stelle (x 0, y 0 ) = ( π, π ). Welche Bedeutung hat der von Ihnen 6 10 berechnete Gradient in Bezug auf den Verlauf der Funktion f? 14. Geben Sie den Vektor des Richtungsfeldes der Differentialgleichung y (x) + e y(x) = 3x + y (x) an der Stelle (x 0, y 0 ) = (1, 0) an. 15. Die Kurven und C 1 : [0, 1] R mit t (t, 3t 3 ) C : [0, 1] R mit t (t, t) schneiden sich im Punkt p = C 1 ( 1 4 ) = C ( 1 4 ). In welchem Winkel schneiden sich die beiden Kurven im Punkt p? 16. An welcher Stelle hat die Funktion f : R R mit f(x, y) = e x + (y 1) + 3 ein lokales Extremum? Handelt es sich dabei um ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum? 17. Führen Sie für das bestimmte Integral 1 0 x 1 x dx die Substitution x = sin(t) einschließlich der Anpassung der Integrationsgrenzen durch. Sie müssen den Wert des sich durch die Substitution ergebenden Integrals nicht ausrechnen.

4 18. Führen Sie mittels Partialbruchzerlegung die Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion der Funktion durch. f(x) = 9x x + x 19. Geben Sie eine aus der Vorlesung bekannte divergente Reihe (Minorante) an, mit deren Hilfe man folgern kann, dass die Reihe S n = n k=1 (k + 3) k(k + 1) divergent ist. 0. Wie groß ist der Fehler δ = h(1) p(1) der Näherung der Funktion h(x) = e x durch das Taylorpolynom p von h vom Grad, welches an der Stelle x 0 = 0 gebildet wird? 1. Geben Sie den Konvergenzbereich der Potenzreihe an. (k + 3)x k 5 k k=0. Welche geometrische Figur in der x-y-ebene bildet die Niveaulinie zum Niveau der Funktion f(x, y) = x + y? 3. In welcher Richtung wächst die Funktion f(x, y) = x cos(y) + 3x vom Punkt (1, π) aus gesehen am stärksten? 4. Geben Sie für die Funktion f(x, y) = x y + 4xy + 3x + 1x + y + 6y die stationären Punkte an. Welche dieser Punkte sind lokale Extremstellen? Geben Sie bei den Extremstellen jeweils an, ob es sich um ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum handelt. 5. Die Zeit zwischen zwei Anfragen an einen Server ist exponentialverteilt mit Parameter 5. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass die Zeit zwischen zwei Anfragen mindestens 1 Sekunde aber nicht mehr als 6 Sekunden beträgt?

5 6. Bestimmen Sie eine spezielle Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung y (x) 4y(x) + x 3 = Bestimmen Sie mit partieller Integration die allgemeine Stammfunktion der Funktion f(x) = xe 3x. 8. Berechnen Sie den Wert des uneigentlichen Integrals 1 x 3 dx. 9. Geben Sie eine aus der Vorlesung bekannte konvergente Reihe (Majorante) an, mit deren Hilfe man folgern kann, dass die Reihe S n = n k=1 cos(k) k 3 konvergent ist. 30. Berechnen Sie den Wert des Kurvenintegrals entlang der Kurve C : [0, π] R mit C(t) = (t + 1, t + 1) für die Funktion f(x, y) = sin(x y). 31. Geben Sie für die Messwerte i x i den Interquartilsabstand an. 3. Berechnen Sie die Koordinaten (x S, y S ) des Schwerpunkts für das Gebiet G = {(x, y) R : x y }.