Mehrdimensionale Integralrechnung 1

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1 Mehrdimensionale Integralrechnung Im - dimensionalen Fall wurde die Integralrechnung eingeführt, um Flächen unter Kurven zu berechnen. Eine ähnliche Fragestellung führt uns auf die mehrdimensionale Integralrechnung. Sei eine Funktion in Variablen f : R R, (x, y) f(x, y) gegeben. Wir können uns jetzt fragen, welches Volumen sich unter dem Graphen von f befindet. Exakt wie im D Fall nähern wir das Ergebnis zuerst an, indem wir Oberund Untersummen bilden. D.h. wir teilen das Volumen in ein paar Quader auf, deren Volumen sich als Grundfläche mal Höhe berechnet und summieren diese. Wenn man jetzt die Grundfläche im Grenzübergang infinitesimal klein werden lässt, A da, wird unsere Näherung immer besser und liefert letztendlich ein sogenanntes Gebietsintegral: f(x, y) da D Die Berechnung erfolgt, indem man d dy dx setzt und das verschachtelte Integral von INNEN nach AUSSEN löst. Also zuerst nach x, dann nach y integriert. b d(x) f(x, y) d f(x, y) dy dx D a Man kann sich mit dem Bild unten vorstellen was dabei geschieht. Die erste Integration berechnet Flächen unter Kurven in Abhängigkeit von x. Mit der zweiten Integration werden diese Flächen aufsummiert. Merke:. Beim Integrieren nach y betrachten wir x als konstant (wie beim Ableiten). Die Grenzen dürfen im Allgemeinen von Variablen abhängen nach denen zu einem späteren Zeitpunkt integriert wird. (Das ist immer der Fall, wenn man nicht über ein Rechteck integriert).. Im Gegensatz dazu darf aber eine Variable nicht mehr auftauchen, wenn nach dieser bereits integriert wurden. Im Beispiel oben heisst das, nachdem d(x) f(x, y) dy berechnet wurde, darf y nicht mehr vorkommen. 4. Bei abhängigen Grenzen, darf die Integrationsreihenfolge nicht vertauscht werden! 5. Die Grenzen, d(x) findet man indem man sich überlegt, welche Werte y annehmen darf, wenn x konstant ist. Analysis II Georg Brunner

2 Beispiel : Berechne das Volumen unter dem Graphen der Funktion f(x, y) = + (x + y) wenn (x, y) Werte innerhalb des Dreiecks mit den Eckpunkten (, ), (, ), (, ) annehmen können. Zuerst skizzieren wir uns den Integrationsbereich: Die Grenzen bilden die drei Geraden y =, x = und y = x. Wir wollen zuerst nach y integrieren und dann nach x. Bei einem konstanten x kann y Werte zwischen den Geraden y = und y = x annehmen, d.h. unsere Grenzen sind wie folgt V = x dy dx + (x + y) Das innere Integral kann man entweder mit Hilfe einer Formelsammlung lösen, oder man weiss, dass d arctan (x) = dx + x ist, somit V = arctan (x + y) dx V = x arctan (x) arctan (x x)dx Der Arcus Tangens von ist. Es bleibt noch das letzte Integral zu lösen. Wir machen dies mittels partieller Integration: V = x arctan (x) x + x dx V = arctan ( ) log ( + x ) π V = log Vertauschen der Integrationsreihenfolge Manchmal kann die Integration einfacher werden, wenn die Reihenfolge vertauscht wird. Bei konstanten Grenzen kann dies ohne Anpassungen passieren. Sind aber die Grenzen abhängig, so müssen die Inversen Funktionen gebildet. Skizzen können hier sehr helfen. Betrachten wir ein Beispiel! Analysis II Georg Brunner

3 Beispiel : Berechne den von den Kurven y(x) = 4 x und y(x) = x eingeschlossenen Flächeninhalt mittels Gebietsintegral. Führe die Berechnung durch, indem einmal zuerst nach x und einmal zuerst nach y integriert wird. Zuerst muss man sich überlegen, wie wir mittels Gebietsintegral, das ja prinzipiell ein Volumen berechnet, einen Flächeninhalt bekommen. Wir wählen dazu als zu integrierende Funktion f(x, y) =. Damit bekommen wir das Volumen eines Prismas mit Höhe, d.h. Volumen und Grundfläche haben denselben Wert. Der Schnittpunkt der beiden Kurven liegt bei: 4 x = x x = x6 x = y = 8. Möglichkeit: dy dx (linker Plot) Die äussersten Grenzen dürfen nie von Variablen, nach denen integriert wird, abhängen. Das heisst, wir schränken das Gebiet zwischen zwei Geraden ein. In unserem Fall d(x) dy dx Um jetzt noch und d(x) zu bestimmen, überlegen wir uns, von wo bis wo y gehen darf, wenn wir ein konstantes x betrachten. Hier sind das ja genau die gegebenen Funktionen, also 4 x x 4 x y dx = x ( 4 (x) 4 x4 dy dx (4 x x )dx ) = 4 (4) 4 4 Analysis II Georg Brunner

4 . Möglichkeit: dx dy (rechter Plot) Wir beschränken das Gebiet jetzt zuerst durch zwei Geraden parallel zur x-achse 8 d(y) c(y) dx dy Diesmal müssen wir fragen, welche Werte x annehmen kann, wenn wir ein bekanntes y haben. Dafür müssen wir die gegebenen Gleichungen nach x auflösen, d.h. wir bilden die Inversen Funktionen. y = 4 x x = y Damit haben wir unsere Grenzen gefunden y = x x = y 8 y dx dy y 8 y 8 x dy = ( y y y )dy ( ) 4 (y) x = 4 (8) Koordinaten - Transformationen und Integrale Bei D Integralen kam es manchmal vor, dass diese nur durch eine geeignete Substitution lösbar waren. Wir hatten dazu x durch einen beliebigen Term ersetzt, z.b. x = u und durften dabei aber nicht einfach dx mit du ersetzen - man sagt die Abbildung sei nicht längentreu - sondern mussten die korrekte Abbildung dieser infinitesimalen Elemente finden. Als Merkregel galt: dx = u dx = u du du Auch mehrdimensionale Integrale können manchmal bedeutend einfacher werden, wenn man ein anderes Koordinatensystem wählt als das Kartesische. Dabei ersetzt man die Variablen (x, y, z) durch beliebige Terme von anderen Variablen, also (x, y, z) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) Auch hier darf man nicht einfach dx dy dz mit du dv dw ersetzen, sondern man muss einen sogenannten Verzerrungsfaktor (= Jacobi - Determinante) berücksichtigen: x (x, y, z) u x v x w dv = dx dy dz = dv dw = det(j) du dv dw = det y u y v y w du dv dw (u, v, w) du z u z v z w Im D Fall würde man lediglich die erste nordwestliche Unterdeterminante bestimmen. Analysis II 4 Georg Brunner

5 Vorgehensweise:. Neue Koordinaten einführen (oft gegeben). Den Integrationsbereich anpassen (Also das Bild des alten Bereichs unter der Transformation berechnen). Die Jacobi - Determinante bestimmen 4. Einsetzen und ausrechnen Beispiel : Sei f(x, y) = x y und B der Bereich zwischen den Hyperbeln y = x, y = 4 x und den Geraden y = 4x, y 4 = 9x. Berechne B f(x, y) da mit Hilfe der Transformation x = u v und y = v u, mit u, v > I. Die Koordinaten sind gegeben II. Wir wollen sehen worauf B abgebildet wird. Dazu setzen wir die gegeben Funktionen von x und y einfach in die 4 Kurven ein. y = x v u = u v v =. y = 4 x v u = 4 u v v =. y = 4x v u = 4uv u = 4. y = 9x v u = 9uv u = Diese bestimmte Transformation bildet also Hyperbeln auf Geraden ab. III. Die Jacobideterminante (D) ist ( ) xu x det(j) = det v = x u y v y u x v = v u + v u = v u y u y v IV. u v v u v dv du = u 6 u ( 6 6) du = ( 6 ) 6 = 5 4 Analysis II 5 Georg Brunner