Mehrdimensionale Integration

Transkript

1 Kapitel C Mehrdimensionale Integration h s r h h r h r

2 Inhalt dieses Kapitels C000 1 Der Satz von Fubini 3 Aufgaben und Anwendungen 1 Vertauschen von Integral und Reihe

3 Mehrdimensionale Integration #Der Transformationssatz

4 Erinnerung: Transformationssatz C207 Seien X, Y R n und Φ : X Y bijektiv und stetig diff.bar. Es gilt f(y) dy f(φ(x)) det Φ (x) dx. Y X Ist dieser Wert endlich, so ist f absolut integrierbar, und es folgt f(y) dy f(φ(x)) det Φ (x) dx. Y X Auch hier ist die absolute Integrierbarkeit von f wesentlich! Die Ableitung Φ : X R n n ist die #Jacobi Matrix, Φ ( j Φ i ) ij. Die Funktion det Φ : X R ist hierzu die #Funktionaldeterminante. Bemerkung: Die Abbildung Φ ist meistens eine Umparametrisierung bzw. Koordinatentransformation: y alte Koordinaten, x neue Koordinaten.

5 Erinnerung: Polarkoordinaten C208 Zu Radien 0 r 0 < r 1 < betrachten wir den Kreisring Y K { (x, y) R 2 r0 2 x 2 + y 2 r1 2 }. Diesen können wir durch #Polarkoordinaten parametrisieren: ( ) ( ) ( ) x ρ cos ϕ ρ Φ : X [r 0, r 1 ] [0, 2π] K mit : Φ y ρ sin ϕ ϕ Jacobi Matrix und Funktionaldeterminante sind hier: ( ) Φ (x, y) cos ϕ ρ sin ϕ (ρ, ϕ) det Φ ρ sin ϕ ρ cos ϕ Für jede absolut integrierbare Funktion f : K C gilt somit: ( ) x r1 2π ( ) ρ cos ϕ f d(x, y) f ρ dϕ dρ y ρ sin ϕ K ρr 0 ϕ0 F-det

6 Polarkoordinaten und das Gaußsche Integral C209 #Aufgabe: (1) Skizzieren Sie die #Gaußsche Glockenkurve f : R R, f(x) e x2 /2, sowie die Glockenfläche g : R 2 R, g(x, y) f(x)f(y) (2) Können Sie b a e x2 /2 dx in geschlossener Form angeben? (3) Berechnen Sie zur Funktion g das Flächenintegral e (x2 +y 2 )/2 d(x, y) K über dem Kreisring K { (x, y) R 2 a 2 x 2 + y 2 b 2 }. (4) Welches Integral erhalten Sie für a 0 und b? (5) Bestimmen Sie hiermit das Integral I R e x2 /2 dx.

7 Das Gaußsche Integral C210 #Lösung: (1) Skizze der Gaußschen Glockenkurve: f(x) e x2 /2 x (2) Für die Integralfunktion F (x) x 0 f(t) dt gibt es keine geschlossene Formel, ebensowenig für die Integrale b a f(t) dt F (b) F (a).

8 Das Gaußsche Integral Skizze der Gaußschen Glockenfläche g(x, y) e (x2 +y 2 )/2 C x y 2

9 Das Gaußsche Integral C212 Diese Funktion g wollen wir über den Kreisring K integrieren: x y 2

10 Anwendung: Das Gaußsche Integral C213 (3) In Polarkoordinaten (x, y) (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) gilt d(x, y) ρ d(ρ, ϕ). Die Integration gelingt dank Transformationssatz, Fubini und HDI: e (x2 +y 2 )/2 Trafo d(x, y) e ρ2 /2 ρ d(ρ, ϕ) Fub HDI K b ρa 2π ϕ0 [ 2π e ρ2 /2 ] b ρ e ρ2 /2 dϕ dρ ρa HDI [a,b] [0,2π] b ρa 2πρ e ρ2 /2 dρ 2π (e ) a2 /2 e b2 /2 Fu det (4) Für a 0 und b finden wir: R 2 e (x2 +y2 )/2 d(x, y) 2π

11 Das Gaußsche Integral C214 (5) Schließlich erhalten wir so auch das eindimensionale Integral: ( Lin Fub 2 e dx) x2 /2 Kunstgriff: Statt I berechnen wir I 2! R R e x2 /2 dx R R R R R e y2 /2 dy e x2 /2 e y2 /2 dy dx e (x2 +y 2 )/2 d(x, y) Lin Exp R R (4) 2π e x2 /2 R R e y2 /2 dy dx e (x2 +y 2 )/2 dy dx Satz C2C (Gaußsches Integral) Es gilt e x2 /2 dx 2π. R

12 Gaußsche Glockenkurve und Integralfunktion C215 π/2 f(x) e x2 /2 elementar F (x) x t0 f(t) dt nicht elementar!

13 Erinnerung: Die Gamma Funktion C217 Definition C2D Die #Gamma-Funktion Γ : R >0 R >0 ist Γ(z) : x0 xz 1 e x dx. Dieses Integral konvergiert für z > 0 und divergiert für z 0. Zur Berechnung nutzt man Ausschöpfung und partielle Integration. Satz C2E (Funktionalgleichung) Für alle z > 0 gilt Γ(z + 1) z Γ(z). Mit Γ(1) 1 folgt per Induktion Γ(n + 1) n! für alle n N.

14 Die Gamma Funktion an halbzahligen Stellen C218 #Aufgabe: Berechnen Sie den Wert ( 1 Γ x 2) 1/2 e x dx. x0 #Lösung: Die Substitution x u 2 und dx 2u du ergibt: ( 1 Γ u 2) 1 e u2 2u du 2 e u2 du u0 u0 e u2 du 1 2 e v2 /2 dv π Dank der Funktionalgleichung Γ(z + 1) z Γ(z) aus Satz C2E folgt: Γ ( 1 2) π und Γ ( n ) (2n 1) 2 n π

15 Zylinderkoordinaten C219 Beispiel Griechische Amphore aus dem Louvre, Bildquelle: wikipedia.org Stuttgarter Fernsehturm, Bildquelle: wikipedia.org

16 Zylinderkoordinaten C220 b z a x y #Aufgabe: Bestimmen Sie das Volumen des Rotationskörpers R { (x, y, z) R 3 a z b, r 0 (z) 2 x 2 + y 2 r 1 (z) 2 } (1) in Zylinderkoordinaten (2) mit Fubini (zum Vergleich). (3) Was erhalten Sie für 1 z 1 mit r 0 0 und r 1 (z) cosh(z)?

17 Zylinderkoordinaten C221 #Lösung: Wir nutzen #Zylinderkoordinaten um die z Achse: z x ρ cos ϕ ρ y ρ sin ϕ : Φ ϕ z z z x ϕ ρ y Φ : D R mit D { (ρ, ϕ, z) R 3 a z b, r 0 (z) ρ r 1 (z), 0 ϕ 2π } Die #Funktionaldeterminante ist wie zuvor bei Polarkoordinaten: ρ cos ϕ ρ sin ϕ 0 ρ Φ ϕ (x, y, z) (ρ, ϕ, z) sin ϕ ρ cos ϕ 0 det Φ ϕ ρ z z

18 Volumen eines Rotationskörpers C222 (1) Volumenberechnung in Zylinderkoordinaten, d(x, y, z) ρ d(z, ρ, ϕ): b r1 (z) 2π vol 3 (R) 1 d(x, y, z) Trafo ρ d(z, ρ, ϕ) Fub ρ dϕ dρ dz HDI b za R r1 (z) ρr 0 (z) 2πρ dρ dz HDI D b za [πρ 2] r 1 (z) r 0 (z) dz za ρr 0 (z) b za ϕ0 πr 1 (z) 2 πr 0 (z) 2 dz (2) Mit Fubini und Kreisringen erhalten wir dasselbe Ergebnis: b b vol 3 (R) Fub I R (x, y, z) d(x, y) dz Kreis πr 1 (z) 2 πr 0 (z) 2 dz za R 2 (3) Für r 0, r 1 : [ 1, 1] R mit r 0 0 und r 1 (z) cosh(z) erhalten wir: 1 1 za vol 3 (R) π cosh(z) 2 1 dz π z 1 z 1 2 cosh(2z) dz [ 1 π 4 sinh(2z) + z 1 ( 1 ) 2] π z 1 2 sinh(2)

19 Kugelkoordinaten C223 Beispiel z r sin θ r cos ϑ x θ ϕ ϑ r r cos θ r sin ϑ y #Aufgabe: Bestimmen Sie das Volumen der #Kugel vom Radius r: K { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 r 2 } (1) in Kugelkoordinaten und (2) als Rotationskörper (zum Vergleich).

20 Kugelkoordinaten C224 Beispiel z ρ θ ϕ y x Wir parametrisieren durch #Kugelkoordinaten: x ρ sin θ cos ϕ ρ y ρ sin θ sin ϕ : Φ θ z ρ cos θ ϕ Φ : D K mit D { (ρ, θ, ϕ) R 3 0 ρ r, 0 θ π, 0 ϕ 2π } Wir berechnen die #Jacobi Matrix und #Funktionaldeterminante: ρ sin θ cos ϕ ρ cos θ cos ϕ ρ sin θ sin ϕ Φ θ (x, y, z) (ρ, θ, ϕ) sin θ sin ϕ ρ cos θ sin ϕ ρ sin θ cos ϕ ϕ cos θ ρ sin θ 0 det Φ ρ 2 sin θ (Übung!)

21 Kugelvolumen C225 Beispiel #Lösung: (1) Das Volumen berechnen wir in #Kugelkoordinaten: vol 3 (K) 1 d(x, y, z) Trafo ρ 2 sin θ d(r, θ, ϕ) Fu det! Fub HDI r ρ0 r ρ0 K π 2π θ0 ϕ0 D ρ 2 sin θ dϕ dθ dρ HDI [ ] π 2π ρ 2 cos θ dρ θ0 r ρ0 r ρ0 π θ0 4πρ 2 dρ HDI 2πρ 2 sin θ dθ dρ [ 4π 3 ρ3] r (2) Zum Vergleich die Rechnung als #Rotationskörper: r vol 3 (K) Fub π(r 2 z 2 ) dz HDI π [r 2 z z3 ] r 3 z r z r ρ0 4π 3 r3 4π 3 r3

22 Kugelsegment C226 h r 2 z 2 z r #Aufgabe: Bestimmen Sie das Volumen des #Kugelsegments K { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 r 2, r h z r }. #Lösung: Wir nutzen Zylinderkoordinaten: r r 2 z 2 2π vol 3 (K) 1 d(x, y, z) Trafo ρ dϕ dρ dz Fub K zr h ρ0 ϕ0 r s.o. π(r 2 z 2 ) dz HDI π [r 2 z z3 ] r zr h 3... πh2( r h ) zr h 3

23 Masse, Schwerpunkt, Trägheitsmoment C301 Sei K R 3 ein Körper. Berechnung der #Masse aus der Dichte ϱ: M(K) ϱ(x 1, x 2, x 3 ) d(x 1, x 2, x 3 ) K Berechnung des #Schwerpunkts S(K) (S 1, S 2, S 3 ) zur Dichte ϱ: S i (K) 1 x i ϱ(x 1, x 2, x 3 ) d(x 1, x 2, x 3 ) M(K) K #Trägheitsmoment T 3 (K) des Körpers K bzgl. der x 3 Achse: T 3 (K) (x x 2 2) ϱ(x 1, x 2, x 3 ) d(x 1, x 2, x 3 ) K

24 Trägheitsmoment eines Zylinders C302 #Aufgabe: Berechnen Sie das Trägheitsmoment T z (K) des Zylinders K { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 r 2, 0 z h } bezüglich der z Achse. Die Massendichte sei konstant ϱ 1. #Lösung: In Zylinderkoordinaten (x, y, z) (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z) gilt d(x, y, z) ρ d(ρ, ϕ, z). Für das Trägheitsmoment finden wir: T z (K) (x 2 + y 2 ) d(x, y, z) K h 2πh r z0 ρ0 r ρ0 2π ϕ0 ρ 2 ρ Fu det dϕ dρ dz ρ 3 dρ 2πh r4 4 π 2 hr4

25 Trägheitsmoment einer Kugel C303 #Aufgabe: Berechnen Sie das Trägheitsmoment T z (K) der Kugel K { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 r 2 } (1) in Kugelkoordinaten und (2) in Zylinderkoordinaten (zum Vergleich). #Lösung: (1) Für (x, y, z) (ρ cos ϕ sin θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos θ) gilt d(x, y, z) ρ 2 sin(θ) d(ρ, θ, ϕ). Für das Trägheitsmoment finden wir: T z (K) (x 2 + y 2 ) d(x, y, z) K r 2π π ρ0 θ0 r ρ0 2π ρ 4 dρ ϕ0 π ρ 2 sin(θ) 2 ρ 2 sin(θ) θ0 Fu det dϕ dθ dρ sin(θ) 3 dθ 2π r πr5

26 Trägheitsmoment einer Kugel C304 (2) Alternative Berechnung in Zylinderkoordinaten: T z (K) (x 2 + y 2 ) d(x, y, z) K r (x 2 + y 2 ) d(x, y) dz z r D(z) mit der Kreisscheibe D(z) { (x, y) R 2 x 2 + y 2 r 2 z 2 }. Das innere Integral kennen wir aus der vorigen Aufgabe! T z (K) π 2 r π 2 (r2 z 2 ) 2 dz π 2 [r 4 z 2 3 r2 z r5] r z r z r r r r 4 2r 2 z 2 + z 4 dz π r πr5

27 Volumen eines Volltorus C317 #Aufgabe: Bestimmen Sie für 0 < r < R das Volumen des Volltorus (R + ρ sin θ) cos ϕ ρ 0 ρ r V (R + ρ sin θ) sin ϕ : Φ θ 0 θ 2π. ρ cos θ ϕ 0 ϕ 2π (1) in Toruskoordinaten und (2) als Rotationskörper (zum Vergleich).

28 Volumen eines Volltorus C318 #Lösung: (1) Wir nutzen die angegebene Parametrisierung Φ: sin θ cos ϕ ρ cos θ cos ϕ (R + ρ sin θ) sin ϕ Φ (x, y, z) (ρ, θ, ϕ) sin θ sin ϕ ρ cos θ sin ϕ (R + ρ sin θ) cos ϕ cos θ ρ sin θ 0 det Φ ρ (R + ρ sin θ) Volumenberechnung dank #Transformationssatz und #Fubini und #HDI: r 2π 2π vol 3 (V ) 1 d(x, y, z) ρ (R + ρ sin θ) dϕ dθ dρ 2π V r ρ0 [ ρ (2π) 2 2 R 2 ρ0 [ ρ (Rθ ρ cos θ) ] r ρ0 θ0 ϕ0 ] 2π θ0 2πR πr2 dρ 2π r ρ0 ρ R 2π dρ Bemerkung: Das entspricht der #Guldinschen Volumenregel für Rotationskörper: πr 2 ist der Flächeninhalt des kleinen Kreises, 2πR ist der bei Rotation zurückgelegte Weg seines Schwerpunkts.

29 Zusammenfassung #Integrationstechniken

30 Hauptsatz (HDI) C320 Der #Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung erklärt, in welchem Sinne Differenzieren und Integrieren einander umkehren: Jede stetige Funktion f : [a, b] R ist integrierbar. Ihre Integralfunktion F : [a, b] R mit F (x) : x a f(t) dt ist differenzierbar, und für die Ableitung gilt F f. Ist umgekehrt F : [a, b] R differenzierbar mit stetiger Ableitung f F, so gilt b a f(x) dx [ ] b F a mit [ ] b F : F (b) F (a). a Dieser nützliche Zusammenhang gilt noch wesentlich allgemeiner: f stetig F stetig differenzierbar HM1 f stückweise stetig F stückweise stetig differenzierbar f absolut integrierbar F absolut stetig

31 Satz von Fubini C321 Seien X R p, Y R q und f : X Y C. Es gilt f(x, y) d(x, y) f(x, y) dy dx X Y X Y Y X f(x, y) dx dy. Ist dieser Wert endlich, so ist f absolut integrierbar, und es gilt f(x, y) d(x, y) f(x, y) dy dx f(x, y) dx dy. X Y X Y Y X Hierzu ist die absolute Integrierbarkeit wesentlich! Andernfalls ist das erste Integral nicht definiert und die letzten beiden evtl. verschieden. #Daumenregel: Gilt wieder, dass f nicht negativ oder absolut integrierbar ist (z.b. X, Y und f beschränkt, also insbesondere für X, Y kompakt und f stetig), so folgt Vertauschbarkeit).

32 Fubini über Normalbereichen C322 Integration über Normalbereiche ist ein wichtiger Spezialfall und die wohl häufigste Anwendung des Satzes von Fubini: Das Integral einer absolut integrierbaren Funktion f : B C über B { x R n a k (x 1,..., x k 1 ) x k b k (x 1,..., x k 1 ) für alle k } lässt sich durch iterierte eindimensionale Integrale berechnen: f(x) dx b 1 b 2 (x 1 ) b n(x 1,...,x n 1 ) f(x 1, x 2,..., x n ) dx n dx 2 dx 1 B x 1 a 1 x 2 a 2 (x 1 ) x na n(x 1,...,x n 1 ) Dies gilt ebenso bei jeder anderen Reihenfolge der Variablen. Man muss hierzu allerdings die Integrationsgrenzen umschreiben! Das gelingt oft am besten anhand einer Skizze. Das Ergebnis ist dasselbe, aber der Rechenweg kann verschieden schwierig sein. Für ein bemerkenswertes Beispiel siehe.

33 Transformationssatz C323 Seien X, Y R n und Φ : X Y bijektiv und stetig differenzierbar. Es gilt f(y) dy Y X f(φ(x)) det Φ (x) dx. Ist dieser Wert endlich, so ist f absolut integrierbar, und es gilt f(y) dy f(φ(x)) det Φ (x) dx. Y X Auch hier ist die absolute Integrierbarkeit wesentlich! Die Ableitung Φ : X R n n ist die #Jacobi Matrix, Φ ( j Φ i ) ij. Die Funktion det Φ : X R ist hierzu die #Funktionaldeterminante.

34 Polarkoordinaten C324 Zu Radien 0 r 0 < r 1 < betrachten wir den Kreisring Y K { (x, y) R 2 r0 2 x 2 + y 2 r1 2 }. Diesen können wir durch #Polarkoordinaten parametrisieren: ( ) ( ) ( ) x ρ cos ϕ ρ Φ : X [r 0, r 1 ] [0, 2π] K mit : Φ y ρ sin ϕ ϕ Jacobi Matrix und Funktionaldeterminante sind hier: ( ) Φ (x, y) cos ϕ ρ sin ϕ (ρ, ϕ) det Φ ρ sin ϕ ρ cos ϕ Für jede absolut integrierbare Funktion f : K C gilt somit: ( ) x r1 2π ( ) ρ cos ϕ f d(x, y) f ρ dϕ dρ y ρ sin ϕ K ρr 0 ϕ0 F-det

35 Zylinderkoordinaten C325 Zu Radien r 0, r 1 : [a, b] R >0 betrachten wir den Rotationskörper K { (x, y, z) R 3 a z b, r0 (z) 2 x 2 + y 2 r 1 (z) 2 }. Diesen können wir durch #Zylinderkoordinaten parametrisieren: x ρ cos ϕ ρ y ρ sin ϕ : Φ ϕ z z z mit den Grenzen a z b und 0 ϕ 2π sowie r 0 (z) ρ r 1 (z). Die Funktionaldeterminante ist hier wie zuvor det Φ ρ (Übung!). Für jede absolut integrierbare Funktion f : K C gilt somit: x b r1 (z) 2π ρ cos ϕ f y d(x, y, z) f ρ sin ϕ ρ dϕ dρ dz K z za ρr 0 (z) ϕ0 z F-det

36 Kugelkoordinaten C326 Zum Radius r > 0 betrachten wir die Kugelschale K { (x, y, z) R 3 r 2 0 x 2 + y 2 + z 2 r1 2 }. Diese können wir durch #Kugelkoordinaten parametrisieren: x ρ cos ϕ sin θ ρ y ρ sin ϕ sin θ : Φ θ z ρ cos θ ϕ mit den Grenzen r 0 ρ r 1 und 0 θ π sowie 0 ϕ 2π. Die Funktionaldeterminante ist hier det Φ ρ 2 sin θ. (Übung!) Für jede absolut integrierbare Funktion f : K C gilt somit: x r1 π 2π ρ cos ϕ sin θ f y d(x, y, z) f ρ sin ϕ sin θ ρ 2 sin θ dϕ dθ dρ K z ρr 0 θ0 ϕ0 ρ cos θ F-det

37 Kapitel C Integrale und Grenzwerte

38 Inhalt dieses Kapitels C000 1 Der Satz von Fubini 3 Aufgaben und Anwendungen 1 Vertauschen von Integral und Reihe

39 Wann vertauschen Integral und Limes? C001 Überblick Integration einer Reihe: Unter welchen Voraussetzungen gilt [ ] [ ] f k (x) dx f k (x) dx? Ω Ω k0 k0 Stetigkeit des Integrals: Unter welchen Voraussetzungen gilt [ ] [ ] lim f k(x) dx lim f k (x) dx? Ω k k Ω Ableitung des Integrals: Unter welchen Voraussetzungen gilt [ ] [ ] f(x, y) dy f(x, y) dy? x x Y Die Gleichungen gelten nicht immer! Das muss man wissen. Es gibt einfache Kriterien. Die müssen Sie beherrschen. Das zentrale Kriterium ist die majorisierte Integrierbarkeit. Y

40 Gegenbeispiel zu Reihen C101 Beispiel Für k N sei f k I [k,k+1] I [k+1,k+2]. k k + 1 k + 2 Offensichtlich gilt R f k(x) dx 0. Auch für f 0 + f 1 ist das Integral Null.

41 Gegenbeispiel zu Reihen C102 Beispiel Graph zu f 0 + f 1 + f 2 : Graph zu f 0 + f 1 + f 2 + f 3 : Das Integral ist jeweils Null.

42 Gegenbeispiel zu Reihen C103 Beispiel Graph zu f 0 + f 1 + f 2 + f 3 + f 4 : Graph zu f 0 + f f n : 0 1 n + 1 n + 2 Das Integral ist jeweils Null.

43 Gegenbeispiel zu Reihen C104 Beispiel #Aufgabe: Man berechne und vergleiche: [ ]? f k (x) dx R k0 #Lösung: Für jedes k N sehen wir : f k (x) dx 0 R R [ k0 ] f k (x) dx [ ] f k (x) dx 0 R Andererseits kennen wir für jedes x R die Teleskopsumme n f k (x) I [0,1] (x) I [n+1,n+2] (x) I [0,1] (x) für n. k0 k0 Für jedes x R und n gilt daher punktweise Konvergenz: [ ] f k (x) I [0,1] (x) f k (x) dx 1 k0 R k0 Anschauliche Ursache: Masse verschwindet nach Unendlich.