f(s)ds = F (b) F (a).

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1 Analysis 3, Woche 9 Berechnen der Integrale 91 Einleitung Um ein Integral eplizit berechnen zu können, greift man fast immer auf ein Ergebnis zurück: den Hauptsatz der Integralrechnung Er stellt die Verbindung her zwischen Integration und Stammfunktion Wenn F f auf [a, b] R, dann gilt b a f(sds F (b F (a Beim Riemann-Integral haben wir schon gesehen, dass sich ein n-dimensionales Integral umformen lässt zu einem n-fachen eindimensionalen Integral: [a 1,b 1 ] [a n,b n] f(d b1 a 1 bn a n f( 1,, n d n d 1 Für diese eindimensionalen Integrale kann es möglich sein, den oben genannten Satz zu verwenden und so einen epliziten Wert zu bekommen Es sollte einem aber bewusst sein, dass nur die wenigsten Integrale eplizit zu lösen sind Das bedeutet, dass man sich meistens beschränkt auf einen Beweis der Beschränktheit und vielleicht sogar versucht, eine Abschätzung für die Größe zu finden Manchmal ist es hilfreich die Symmetrie des Gebietes zu benutzen und Pol- oder Kugelkoordinaten zu verwenden In diesem Fall braucht man auch noch einen Transformationssatz Die drei Hauptbestandteile für das Berechnen eines Integrals kann man so wie folgt zusammenfassen: Der Hauptsatz der (eindimensionalen Integralrechnung Der Satz von Fubini-Tonelli, um mehrdimensionale Integrale auf mehrfache eindimensionale Integrale zurückzuführen Der Transformationssatz, um Integrationsgebiet und Funktion besser passend zu gestalten Beispiel 91 Sei f α : R n R definiert durch f( ( 1 + α Wir wollen uns die folgende Frage anschauen: Für welche α R + gilt f L p (R n? 73

2 74 14 Dezember 1 Woche 9, Berechnen der Integrale Indem man f approimiert mit kreisförmig definierten einfachen Funktionen, ( 1 + (ε [ /ε + 1] α f( ( 1 + (ε [ /ε] α, kann man sich davon überzeugen, dass die Frage umformuliert werden kann zu: Wann ist (1 + r pα r n 1 dr endlich? Übrigens ist [ ] wiederum die Ganzzahlfunktion und der Faktor r n 1 taucht auf durch die Skalierung: Vol (B r+ε (\B r ( σ n ((r + ε n r n σ n εr n 1 (1 + O (ε Statt dieses Integral genau zu berechnen, verwenden wir eine der Abschätzungen pα r pα+n 1 ( 1 + r pα r n 1 r pα+n 1 für r 1 Weil (1 + r pα r n 1 dr endlich ist genau dann, wenn (1 + r pα r n 1 dr endlich 1 ist, bleibt noch herauszufinden, wann 1 r pα+n 1 dr endlich ist Hier lässt sich jetzt der Hauptsatz verwenden: M 1 r pα+n 1 dr { 1 α+n (M pα+n 1 falls n pα, log (M falls n pα Man sieht, dass man für M nur einen endlichen Wert bekommt, wenn pα > n Die Antwort auf die Frage lautet also: für α > n p Übrigens war Cavalieri 1 einer der ersten, der Volumen berechnete, indem er die Flächeninhalte von infinitesimal dünnen Scheiben addierte Diese Prozedur ist bekannt als das Cavalierische Prinzip 9 Fubini und Tonelli Wir haben bei der Riemann-Integation die technischen Schwierigkeiten gesehen, die man bekommt, wenn man den Satz von Fubini-Tonelli anwenden möchte auf ein nicht rechteckiges Gebiet Beim Lebesgue-Integral von f : R n R auf einer Lebesguemessbaren Menge kann man ohne weiteres f auf R n \ erweitern durch Man braucht sich keine Sorgen zu machen, ob eine mögliche Unstetigkeit am Rande Probleme macht, denn das Lebesgue-Integral braucht keine Stetigkeit Wir können uns also beschränken auf eine Formulierung der Sätze von Fubini und Tonelli auf ganz R n 1 Bonaventura Francesco Cavalieri, italienischer Mathematiker, lebte von 1598 bis 1647

3 9 Fubini und Tonelli 75 Abbildung 91: Der Ansatz von Cavalieri: mit Scheiben zum Volumen Satz 9 (Tonelli Für eine L (n+m -A T -messbare Funktion f : R n+m [, ] gilt: 1 f(, y : R n [, ] ist L (n -A T -messbar für λ (m -fast alle y R m und y f(, y : R m [, ] ist L (m -A T -messbar für λ (n -fast alle R n ; y R n f(, y dλ (n : R m [, ] ist L (m -A T -messbar und y R n f(, y dλ (m : R n [, ] ist L (n -A T -messbar; 3 und y R m f (, y dλ (n+m (,y R ( n+m ( f(, y dλ (n dλ (m f(, y dλ (m dλ (n R n y R m R n Satz 93 (Fubini Für eine L (n+m -integrierbare Funktion f : R n+m R gilt: 1 f(, y : R n R ist L (n -integrierbar für λ (m -fast alle y R m und y f(, y : R m R ist L (m -integrierbar für λ (n -fast alle R n ; y R n f(, y dλ n : R m R ist L (m -integrierbar und y R n f(, y dλ m : R n R ist L (n -integrierbar; 3 und y R m f (, y dλ (n+m (,y R ( n+m ( f(, y dλ (n dλ (m f(, y dλ (m dλ (n R n R n y R m Ein erster Schritt zum Beweis von Tonelli als auch von Fubini ist der folgende Satz: Wir haben L (k -A T -messbar definiert für Funktionen von R k R Hier muss man diese Definition erweitern für Funktionen die werden können Dazu erweitert man die Basis für T der offenen Intervalle {(a, b ; a, b R, a < b} mit {(t, ]} t R als offene Umgebungen von Der Inde in L (k und λ (k ist angebracht um deutlich zu machen, dass es Lebesgue-Messbarkeit und Lebesgue-Maß in R k betrifft

4 76 14 Dezember 1 Woche 9, Berechnen der Integrale Abbildung 9: Cavalieri, Tonelli, Fubini und Murphy hatten Schnäuzer und mit Integration zu tun Satz 94 Für jede Menge A L (n+m gilt: 1 A : {y R m ; (, y A} L (m für λ (n -fast alle R n ; λ (m (A ist L (n -A T -messbar; 3 λ (m+n (A R n λ (m (A dλ (n Bemerkung 941 Dieser Satz ist eine Erweiterung des Cavalierischen Prinzips Der zweite Schritt besteht aus der Anwendung des letzten Satzes auf elementare Funktionen, um so das Ergebnis von Fubini und Tonelli für elementare Funktionen zu bekommen Der letzte Schritt verwendet die Limessätze (Fatou und Folgen um zu zeigen, dass man auch allgemeinere Funktionen zulassen kann 93 Transformationen Beim Riemann-Integral hat man schon, sowohl Polar- und Zylinderkoordinaten als auch allgemeine Koordinatensysteme verwendet, um bestimmte Integrale eplizit berechnen zu können Einzelne Stellen, an denen die auftauchenden Transformationfaktoren singulär werden, hat man lokal mit einem Limesverfahren bewältigen können Wir werden sehen, dass sich auch da das Lebesgue-Integral großzügiger verhält Wir werden die Beweise nur in groben Zügen erklären Die ersten Schritte sind ähnlich wie beim Riemann-Integral: Schritt 1 Sei A : R n R n eine invertierbare lineare Abbildung und R [a 1, b 1 ] [a n, b n ] Dann gilt Vol (A (R det A Vol (R In zwei Dimensionen gilt für den Flächeninhalt I P Ecken (,, (a 1, a, (a 1 + b 1, a + b und (b 1, b : ( I P det a1 b 1 a b des Parallelogramms P mit den

5 93 Transformationen 77 In drei Dimensionen gilt für das Volumen V P des Parallelepipeds, aufgespannt durch die Vektoren a, b und c mit a 1 b 1 c 1 a a a 3, b b b 3 und c c c 3, dass V P det a 1 b 1 c 1 a b c a 3 b 3 c Abbildung 93: Das Volumen vom Parallelepiped kann man mit einer Determinante berechnen Schritt Sei A : R n R n eine invertierbare lineare Abbildung und Ω L (R n Dann gilt A (Ω L (R n und falls λ(ω < gilt λ(a (Ω det A λ(ω Schritt 3 Als nächstes ersetzen wir invertierbare lineare Abbildungen durch Diffeomorphismen Wir erinnern uns an die Definition: Definition 95 Seien, R n offen Eine bijektive Abbildung Φ : mit Φ und Φ inv C 1 -Abbildungen (differenzierbar mit stetiger Ableitung, nennt man ein Diffeomorphismus von auf Für einen solchen Diffeomorphismus finden wir, dass der n n-matri Φ 1 ( Φ 1 1 ( n Φ ( Φ n( 1 invertierbar ist und dass ( Φ inv (y Φ 1 ( Φ n( n Φ 1 ( n 1 Φ n( 1 Φ n( n 1 Φ inv (y

6 78 14 Dezember 1 Woche 9, Berechnen der Integrale Abbildung 94: Darstellung eines Diffeomorphismus von (, 1 zu (, 1 Weil eine Matri dann und genau dann invertierbar ist wenn ihre Determinante ungleich ist, folgt det (Φ ( Außerdem finden wir für y Φ (, dass ( (Φ inv det ( (y det (Φ ( 1 1 det (Φ ( Lemma 96 Sei, R n und sei Φ : Ȳ ein Diffeomorphismus, dann gilt für jedes R [a 1, b 1 ] [a n, b n ] mit R, dass λ (Φ (R R det (Φ dλ Um dieses Lemma zu beweisen, verwendet man, dass lokal eine differenzierbare Abbildung fast eine lineare Abbildung ist Das heißt, für jedes ε > kann man R in kleine Teilblöcke verteilen und zahlt dafür wie folgt mit ein etra ε: λ (Φ (R (Differenzierbarkeit (Verschiebungsinvarianz (Schritt (Verschiebungsinvarianz (Definition Integral (Differenzierbarkeit λ (Φ (R α λ (Φ ( α + Φ ( α (R α α + ε λ (Φ ( α (R α α + ε det (Φ ( α λ (R α α + ε det (Φ ( α λ (R α + ε det (Φ ( α dλ + ε R α det (Φ ( dλ + ε R α R det (Φ ( dλ + ε Auf ähnliche Art hat man, wenn man mit ε bezahlt

7 93 Transformationen 79 Schritt 4 Lemma 97 Sei, und Φ wie oben beschrieben, dann gilt für jedes Ω L (R n mit Ω, dass λ (Φ (Ω det (Φ dλ (91 Ω Man kann Ω mit abzählbar vielen Blöcken überdecken Für endlich viele verwendet man das letzte Lemma Für den Limes verwendet man den Satz für majorisierte Konvergenz ( ( lim λ m Φ R i i lim m lim λ (Φ (R i lim i m m i 1 R i det (Φ dλ lim 1 R i det (Φ dλ i 1 m i R i det (Φ dλ Es folgt ( ( λ Φ R i det (Φ dλ i i R i und wenn i R i die Menge Ω approimiert, folgt (91 Schritt 5 Sei jetzt f : [, eine einfache Funktion Wenn f m i c i1 Ai kann man sofort das Ergebnis aus dem letzten Schritt anwenden Wenn man aber m nach unendlich gehen läßt, folgt nur für nichtnegative, denn da gilt monotoner Konvergenz, dass f dλ lim lim c i 1 Ai i c i i lim dλ lim 1 Ai dλ lim c i 1 Ai dλ i c i i c i 1 Φ 1 (A i det (Φ dλ i 1 Φ 1 (A i det (Φ dλ (f Φ det (Φ dλ Bemerke, dass wenn f i N c i1 Ai mit A i disjunkt, dann gilt f Φ i N c i1 Φ 1 (A i Schritt 6 Schlussendlich soll man zeigen, dass das folgende Diagramm stimmt für eine Folge von elementaren Funktion {f k } k N, die nach f konvergieren: f dλ f k dλ (f k Φ det (Φ dλ (f Φ det (Φ dλ

8 8 14 Dezember 1 Woche 9, Berechnen der Integrale Satz 98 (Transformationssatz Seien, R n und sei Φ : Ȳ ein C 1 - Diffeomorphismus Wenn f : [, L-A T -messbar ist, dann gilt f dλ (f Φ det Φ dλ (9 Bemerkung 981 Also ist die Funktion f Lebesgue-integrierbar auf genau dann, wenn (f Φ det Φ integrierbar ist auf Dies gilt auch für Funktionen f : R mit Vorzeichenwechsel und es folgt dann, dass (9 auch gilt für L-integrierbare Funktionen Man kann sogar einige Stellen zulassen, an denen Φ lokal nicht bijektiv ist Satz 99 (Erweiterter Transformationssatz Seien, R n und sei Φ : eine C 1 -Abbildung Falls Ω L (R n mit Ω derart ist, dass Φ Ω : Ω Φ (Ω ein C 1 -Diffeomorphismus ist, dann gilt für jede L-A T -messbare Funktion f : Ω [,, dass f dλ (f Φ det Φ dλ Φ(Ω Ω Bemerkung 991 Für L-integrierbare Funktionen gilt dies auch, wenn sie das Vorzeichen wechseln 94 Kugeln und Zylinder Definition 91 Kugelkoordinaten in R n kann man beschreiben durch ( r, ϕ 1, ϕ,, ϕ n 1 mit 1 r sin ϕ 1 sin ϕ sin ϕ 3 sin ϕ n 1 r cos ϕ 1 sin ϕ sin ϕ 3 sin ϕ n 1 3 r cos ϕ sin ϕ 3 sin ϕ n 1 n n 1 n r cos ϕ n 3 sin ϕ n sin ϕ n 1 r cos ϕ n sin ϕ n 1 r cos ϕ n 1 mit r [,, ϕ 1 [, π und ϕ,, ϕ n 1 [, π, oder auch durch r ω mit r [, und ω B 1 ( : {ω R n ; ω 1}

9 94 Kugeln und Zylinder 81 Die Umkehrabbildung kann man grob wie folgt konstruieren: r n, cot ϕ 1 1, cot ϕ 3, 1 + cot ϕ 3 cot ϕ n 1 4, n n 1 Dabei ist ϕ 1 durch cot ϕ 1 1 nicht eindeutig festgelegt, sondern man nimmt ϕ 1 (, π, falls > und ϕ 1 (π, π falls < Falls oder 1 ist cot ϕ 1 1 auch nicht definiert Ähnliches passiert bei ϕ bis ϕ n 1 Verallgemeinerte Zylinderkoordinaten bekommt man, indem man Kugelkoordinaten nur auf eine Teildimension anwendet: R n R m R n m und man nimmt Koordinaten ( r, ϕ1,, ϕ m 1, m+1,, n Lemma 911 Das Volumen der Einheitskugel in R n π ist gleich n/ Γ(1+n/ Der Flächeninhalt der Oberfläche der Einheitskugel in R n ist gleich n πn/ Γ(1+n/ n : π n/ : π 4π 1 Γ(1+n/ 3 π 8 15 π 1 16 π π3 1 3 π π π π5 Die Gammafunktion Γ : R + R ist definiert durch Man hat Γ ( + 1 Γ( für >, Γ (1 1 und Γ ( 1 π Γ ( M t 1 e t dt Aus den ersten beiden Ergebnissen folgt n! Γ (n + 1 Man beweist dies wie folgt: ( [ t Γ ( + 1 t e t dt lim e t] M M + Weiter gilt Γ (1 t 1 e t dt Γ ( e t dt 1 und Γ ( 1 t 1/ e t dt t 1 e t dt e d π

10 8 14 Dezember 1 Woche 9, Berechnen der Integrale Beweis Wir setzen σ n V ol { R n ; 1} und verwenden die vollständige Induktion getrennt für gerade und ungerade Indizes Man kennt σ 1 und σ π Weiter gilt σ n 1 d 1 dy dz R n z R y R n 1 1 y 1 z ( σ n 1 z n dz Es folgt z R z 1 σ n 1 r π πσ n [ 1 n ( 1 r n 1 rdϕdr ( 1 1 r n/] π n σ n σ k σ k+1 (π k 1 k (k 4 σ πk k! π k Γ (1 + k, (π k (k + 1 (k 1 3 σ 1 Γ ( 1 π k Γ ( 3 1 πk+ + k Γ ( 3 + k Die beiden Formeln kann man zusammenfassen zu σ n πn/ Γ(1+n/ Vom Volumen zum Oberflächeninhalt der n-dimensionalen Sphäre (wenn wir mal annehmen, wir wissen wie er definiert wäre kommt man durch ( V ol (B r ( V ol (B 1 ( lim σ n r 1 r 1 r rn nσ n r1