Wenn man den Kreis mit Radius 1 um (0, 0) beschreiben möchte, dann ist. (x, y) ; x 2 + y 2 = 1 }

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1 A Analsis, Woche Implizite Funktionen A Implizite Funktionen in D A3 Wenn man den Kreis mit Radius um, beschreiben möchte, dann ist { x, ; x + = } eine Möglichkeit Oft ist es bequemer, so eine Figur oder einen Teil einer solchen Figur als Graph einer Funktion darzustellen Für die obere Hälfte geht das: = fx mit f : [, ] R und fx = x Auch die untere Hälfte kann man ähnlich explizit beschreiben: fx = x Wenn man aber eine Figur betrachtet, die definiert ist durch {x, ; e x + 4x + e = e 4 }, hat man zwar etwas, das aussieht wie ein Fernseher aus 95, aber nicht etwas, das sich leicht mit Hilfe von Funktionen = fx oder x = f beschreiben läßt Trotzdem, wenn man das Bild betrachtet, - - würde man erwarten, auch hier lokal das Bild als Graph einer Funktion beschreiben zu können Mathematisch geht das wie folgt Theorem Satz über implizite Funktionen in D Sei f : R R eine zweimal differenzierbare Funktion Sei a, b R derart, dass fa, b = und fa, b Dann gibt es eine Umgebung B r a B s b von a, b und eine differenzierbare Funktion g : B r a R mit ga = b derart, dass: Für x, B r a B s b gilt fx, = = gx 3 Für x B r a gilt g x = fx, fx, =gx 9

2 3 3 Juli 4 Woche, Implizite Funktionen b a Abbildung : fx, = ist lokal = gx Der Graph von g ist in rot dargestellt Hier wird übrigens fx, = x + 3x x 3 und a, b =, verwendet Bemerkung Für x B r a gilt f x, gx = Bemerkung Der Satz für inverse Funktionen wird benutzt und man kann sehen, dass es auch hier reicht, wenn f einmal stetig differenzierbar ist Bemerkung 3 Die Bedingung, dass f stetig differenzierbar ist, kann man nicht weglassen Man kann Beispiel 9 verwenden um zu zeigen, dass differenzierbar alleine nicht reicht! Die Funktion in dem Beispiel ist x für x, fx, = x für x < < x, + x für x, und man hat f, = Es gibt jedoch mindestens drei Funktionen g derart, dass g = und fx, gx =, nämlich g x = x, g x = und g 3 x = x Übrigens sieht man mit fx, = für x, dass f nicht stetig ist in, Beweis Definiere F : R R durch x F = x fx, Dann ist F zweimal stetig differenzierbar und es gilt x F = fx, fx, Man hat F a b = a und det F b = fa, b Durch Satz 5 gibt es für F Bεa,b eine inverse Funktion G : B δ a, R mit x x x G F = für B ε a, b und ξ ξ ξ F G = für F B η η η ε a, b,

3 Implizite Funktionen in D 3 Juli f x x Abbildung : Graphen und Niveaulinien der Funktion aus Beispiel 9 und Bemerkung 3 Man kann die drei g s erkennen g x =, g ± x = ±x, die zusammen fx, = um, beschreiben und G ist differenzierbar Anders gesagt: für gilt F { x = ξ fx, = η x ξ = η x B ε a, b und { x x = ξ = gξ, η ξ = G η Wir setzen r = ε und definieren g : B ra R für r = ε durch gx = G x, ξ η F B ε a, b Es gilt B r a B r b B ε a, b Dann folgt für x a r, a + r dass F fx, = = x x x = gx x = G Anders gesagt, fx, = in B r a B r b kann man auch beschreiben durch = gx für x a r, a + r Weil f und g differenzierbar sind, gilt außerdem für hx = fx, gx, dass = h x = fx, gx + fx, gxg x, also g x = fx, fx, =gx

4 3 3 Juli 4 Woche, Implizite Funktionen Bemerkung 4 Wenn man sich nicht genau erinnert, welche Bedingungen in dem Satz zu impliziten Funktionen stehen, kann man sich das wie folgt merken Wenn man f x, = auch als = Y x schreiben kann, wobei Y eine differenzierbare Funktion ist, dann gilt f x, Y x = Falls f und Y stetig differenzierbare Funktionen sind, folgt = d f f f x, Y x = x, Y x + dx x x, Y x Y x Wenn x, auf der Kurve liegt und f x,, dann gilt f x, wegen der stetigen Ableitung für x, in einer Umgebung von x, und man findet für x, Y x in dieser Umgebung f Y x x = f x, Y x x, Y x Stetige Differenzierbarkeit von f und f x, sind genau die Bedingungen des Satzes Übrigens folgt aus der Kettenregel angewendet auf f u mit u x = x, Y x oder auch aus der Definition, dem Mittelwertsatz, der stetigen Differenzierbarkeit und der Kettenregel in einer Dimension = lim h d f x + h, Y x + h f x, Y x f x, Y x = lim dx h h f x + h, Y x + h f x, Y x + h f x, Y x + h f x, Y x + h h f = lim h x x + θ f x, Y x + h f x, Y x h, Y x + h + lim h h Hier ist θ h eine Zahl zwischen und h = f f x, Y x + x x, Y x Y x Implizite Funktionen in höheren Dimensionen Betrachten wir die folgende Menge: K = { x,, z R 3 ; x + + z = und + z = } Das sind die Punkte in R 3, die sowohl auf einer Kugel mit Radius um,, liegen als auch auf einem Zlinder mit Radius um die Achse {, t, ; t R} Der Durchschnitt dieser beiden Oberflächen gibt eine Kurve in R 3 Lokal sollte man so eine Kurve auch bei fast allen Punkten beschreiben können durch {x, f x, f x ; x I} Das geht auch fast immer In diesem Fall kann man die Funktionen f, f sogar berechnen: f x = x, f x = ± 4 x4 und I = [, ] Nur wenn f x =, also bei x = ±, kommen beide Alternativen zusammen und K ist lokal nicht mehr eindeutig wie in zu schreiben

5 Implizite Funktionen in höheren Dimensionen 3 Juli 4 33 Zusammenfassung Wir haben angefangen mit G : R 3 R, nämlich x + + z G x,, z = + z, und haben G x,, z = nach einer Variablen gelöst: = f x und z = f x Die Idee ist, dass unabhängige Gleichungen mit 3 Variablen nur einen Freiheitsgrad ergeben Hier haben wir x freigelassen und und z als Funktion von x geschrieben Allgemeiner hat man G : R n R m mit n > m und man möchte diese m Gleichungen G x,, x n = lösen nach n m Variablen Das heißt, wir suchen F : R m R n m derart, dass Die Frage lautet: x m+ x n = F x x m Wann existiert lokal eine derartige Funktion? Wenn wir wissen, dass es eine solche Funktion gibt, heißt das nicht, dass wir die auch als explizite Formel finden können Es heißt aber, dass Lösungen eines solchen Problems sich regulär verhalten und sich dann auch zum Beispiel mit Talorreihen oder auch numerisch approximieren lassen Die Antwort, ob eine solche Funktion existiert, wird gegeben in: Theorem 3 Satz über implizite Funktionen Sei n > m und f : R n R m eine zweimal differenzierbare Funktion Sei a, b R n m R m derart, dass fa, b = und b f a, b b f a, b b m f a, b det b f a, b b f m a, b b f a, b b m f a, b b f m a, b b m f m a, b

6 34 3 Juli 4 Woche, Implizite Funktionen Dann gibt es eine Umgebung B r a B s b von a, b und eine differenzierbare Funktion g : B r a R n m R m mit g a = b derart, dass: für x, B r a B s b gilt fx, = = gx für x B r a gilt: g x = f x n m+ f x n m+ f x n m+ f x n m+ x n m+ x n m+ f x n f x n x n f x f x x f x n m f x n m x n m x,gx Beweis Der Beweis ist ähnlich zu dem für den zweidimensionalen Fall Die ersten n m Koordinaten nennen wir x und die letzten m nennen wir : x = x x n m und = Wir betrachten F : R n m R m R m mit F x, = Dann gilt und F x, = x f x, x n m+ x n f x x f x n m f x n m det F x, = n m det f f m Aus der Annahme folgt, dass det F a, b, und der Satz über inverse Funktionen liefert uns lokal eine inverse Funktion G zu F Das heißt, es gibt ε > und G : F B ε a, b R n derart, dass: m f m m x, G F x, = x, für alle x, B ε a, b x,

7 Implizite Funktionen in höheren Dimensionen 3 Juli 4 35 Außerdem ist G differenzierbar Weil F i x, = x i für i =,, n m und x, B ε a, b gilt, folgt G i F x, = x i für i =,, n m Wir setzen r = ε und legen dann g : B ra R n m R m fest durch gx = Für x, B r a B r b folgt, dass G n m+ x, G n x, fx, = F x, = x, x, = G x, = gx Weil F x, gx = folgt außerdem, dass = F x, gx = x F x, =gx + F x, =gx g x, und weil F x, invertierbar ist auf B r a, b, gilt wie oben behauptet g x = F x, gx x F x, gx

8 36 3 Juli 4 Woche, Implizite Funktionen 3 Extrema unter Nebenbedingungen Wenn die Temperatur auf der Oberfläche einer Kugel, G x,, z := x + + z R = mit R = = 74 km, 3 definiert ist durch T x,, z = x + + z, 4 kann es sein, dass das Maximum in Rio de Janeiro erreicht wird? Abbildung 3: Die Farbe ist abhängig von T x,, z Um die Stelle zu finden wo t maximal ist, könnte man z als Funktion von x und schreiben implizite Funktion! und z = gx, in T einsetzen und anschließend auf die übliche Weise T x, := T x,, gx, untersuchen Das heißt, man hat als Kandidaten für die Extrema die stationären Punkte von T Diese stationären Punkte findet man, indem man T = löst: = T x, = T x,, gx, = T x,, z gx, gx, T x,, z + 3 T x,, z gx,, T x,, z + 3 T x,, z gx, Der Satz über implizite Funktionen Satz 3 sagt gx, = 3 G x,, z Gx,, z, Gx,, z z=gx, Zusammengefasst bedeutet T x, =, dass T x,, z = 3T x,,z 3 Gx,,z Gx,, z, T x,, z = 3T x,,z 3 Gx,,z Gx,, z, 3 T x,, z = 3T x,,z 3 Gx,,z 3Gx,, z = z=gx,

9 3 Extrema unter Nebenbedingungen 3 Juli 4 37 Die letzte Zeile ist beigefügt als Trivialität aber auch weil man so sieht, dass an einer stationären Stelle gilt: es gibt λ R derart, dass T x,, z = λ G x,, z Wir haben angenommen, dass z = gx, existiert Wenn 3 G x,, z, dann darf man das wegen des Satzes über implizite Funktionen Wenn jedoch 3 G x,, z = und G x,, z gelten würde, dann hätten wir eine ähnliche Geschichte erzählen können, wenn wir und z vertauschen Beispiel 4 Für 3-4 haben wir T x,, z =, x, und G x,, z = x,, z Weil G x,, z = gilt für G x,, z =, folgt, dass entweder x G x,, z, x G x,, z oder x G x,, z ungleich ist Das heißt, dass an jeder Stelle x,, z auf der Sphäre der Satz über implizite Funktionen anwendbar ist bezüglich mindestens einer der Variablen x, oder z Das heißt wiederum, die stationären Punkte findet man durch Es folgt, dass x,, = λ x,, z und G x,, z = x = λx, = λ, = λz und x + + z = Wir finden x = oder λ = und = z Dann haben diese vier Gleichungen mit vier Variablen die folgenden Lösungen: x z λ T P : P : P 3 : P 4 : 3 3 Schaut man diese Kandidaten für Extremwerte genauer an, so findet man zwei Maxima, nämlich in P 3 und P 4, und ein Minimum in P Dieser Ansatz bringt uns folgendes Ergebnis: Theorem 5 Multiplikatorsatz von Lagrange für eine Nebenbedingung Sei F : R n R und G : R n R stetig differenzierbare Funktionen Wenn ein Extremum hat in a, dann gilt: F a = λ Ga für λ R, oder Ga = R n F : {x R n ; Gx = } R Bemerkung 5 Dieser Satz hilft uns, die folgende Frage zu beantworten: Wie findet man ein Extremum von x F x unter der Nebenbedingung Gx =? Der Satz liefert uns die Kandidaten für die Extremstellen

10 38 3 Juli 4 Woche, Implizite Funktionen Bemerkung 5 Sei F : R n R eine differenzierbare Funktion Wir haben schon gesehen, dass an der Stelle x R n der Gradient F x die Richtung angibt in welcher F maximal zunimmt Auch ist der Vektor Ga in a orthogonal auf der Hper-Oberfläche {x R n ; Gx = Ga} Für F x = x x + und Gx = x + x sieht das wie folgt aus: In blau die Niveaulinien von F und das zugehörige Gradientenfeld Die Nebenbedingung Gx = bedeutet, dass man nur x auf dem Kreisrand betrachtet In den grünen Punkten gilt, F und G sind gleich oder gegengesetzt gerichtet Dort liegen auch die vier Extrema: P st = s 4 5 t 33, 8 Auch dieser Ansatz lässt sich verallgemeinern t 33 für s, t {±} Theorem 6 Multiplikatorsatz von Lagrange Sei F : R n R und G : R n R m, mit m < n, stetig differenzierbare Funktionen Wenn ein Extremum hat in a, dann gilt: F : {x R n ; Gx = } R

11 3 Extrema unter Nebenbedingungen 3 Juli 4 39 F a = m i= λ i G i a für λ,, λ m R, oder Rang Ga < m Bemerkung 6 Für m = bedeutet Rang Ga < m genau Ga = Das heißt, Satz 5 ist ein Spezialfall von Satz 6 Beweis Wir nehmen an, dass Rang Ga = m Dann gibt es in G a G a n G a G m a G m a n G m a m unabhängige Spalten Ohne Verlust der Allgemeinheit dürfen wir annehmen, dass diese Spalten die letzten m sind: n m+ G a n m+ G a n G a n m+ G a n m+ G a n G a n m+ G m a, n m+ G m a,, n G m a Wegen des Satzes über implizite Funktionen gibt es eine Umgebung U R n m a = a, a,, a m und eine Funktion g : U R m derart, dass für x B r a gilt von Gx = x n+m+, x n+m+,, x n = g x, x,, x m Auch kann man die Ableitungen von g schreiben mit Hilfe der Ableitungen von G Bevor wir noch länger jede Menge riesige Matrizen schreiben, schlagen wir folgende kürzere Notation vor: G = G a n m G a G m a n m G m a, G = n m+ G a n G a n m+ G m a n G m a Das heißt Ga = G, G mit G M m n m R und G M m m R Der Satz über implizite Funktionen liefert uns so Wir setzen f : U R durch ga = G G f x, x,, x m = F x, x,, x m, g x, x,, x m und definieren ähnlich F a = F, F mit F M n m R, F M m R Wir finden fa = F + F ga = F F G G 5 Die Funktion F : {x B r a; Gx = } R hat ein Extremum in a, genau dann, wenn f ein Extremum hat in a Weil f differenzierbar ist, hat man fa = Schreiben wir zu 5 auch noch = F F G G, dann folgt Man soll bemerken, dass F Ergebnis F a = F G Ga G M m R Mit λ,, λ m := F G folgt das

12 4 3 Juli 4 Woche, Implizite Funktionen Beispiel 7 Wir möchten die Extrema finden von f x,, z = x + z für x,, z K, wobei K die Menge ist, der wir schon in Abbildung auf Seite 33 begegnet sind: K = { x,, z R 3 ; x + + z = und + z = } Nennen wir g x,, z = x + + z und g x,, z = + z Der Multiplikatorsatz besagt, dass die Kandidaten für Extrema sich befinden in x,, z mit f x,, z = λ g x,, z + λ g x,, z, oder g x,, z Rang < g x,, z Die erste Möglichkeit ergibt x + z x x z Es folgt Wir unterscheiden vier Fälle: = λ x z + λ z x = oder + z = λ und x = λ + λ λ und z = oder x = λ + λ x = und z = Dann soll gelten, dass = und = und wir finden keine Lösung x = und x = λ + λ Dann bekommt man + z = und + z = Also + = und wir haben als Kandidaten P =,, und P =,, 3 + z = λ und z = Dann bekommt man x + = und = Dann folgt = oder =, aber wir haben nur neue Kandidaten für = : P 3 =,, und P 4 =,, Für = finden wir einen Widerspruch zu = x + + z = z = λ und x = λ + λ Mit x + + z = folgt λ + λ = und λ = λ = z Wir haben zu lösen: x + + z = und + z = und x = x z Die letzte Gleichung liefert + z = und mit + z = folgt = Die Kandidaten sind: P 5,6,7,8 = σ,, 3σ mit σ, σ {, } Die zweite Möglichkeit ist, dass g x,, z und g x,, z abhängig sind Man kann zeigen, dass das auf K nicht passiert In den Punkten P i nimmt f folgende Werte an: f,, ± =, f ±,, = und f ±,, ± 3 = Weil K kompakt ist, werden die Extrema angenommen Es lässt sich raten, welche Punkte die Maxima und welche die Minima liefern Ein Bild steht auf der nächsten Seite

13 3 Extrema unter Nebenbedingungen 3 Juli 4 4 x - z Abbildung 4: Eine Skizze zu Beispiel 7 K wird dargestellt durch die schwarze Kurve; die Extremstellen sind blau; die Funktionswerte sind proportional zu der Länge der Stäbchen

14 4 3 Juli 4 Woche, Implizite Funktionen