Transformation mehrdimensionaler Integrale
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- Rolf Weiner
- vor 6 Jahren
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1 Transformation mehrdimensionaler Integrale Für eine bijektive, stetig differenzierbare Transformation g eines regulären Bereiches U R n mit det g (x), x U, gilt für stetige Funktionen f : f g det g du = U V f dv, V = g(u), wobei det g als Funktionaldeterminante der Transformation bezeichnet wird. Sie beschreibt die lokale Änderung des Volumenelementes: dv = det g du. Transformation mehrdimensionaler Integrale 1-1
2 U g V y = g(x) x Transformation mehrdimensionaler Integrale 1-2
3 U g V y = g(x) x Für eine lokal orthogonale Koordinatentransformation g, d.h.bei orthogonalen Spalten von g, ist det g = n g x i, d.h. der Skalierungsfaktor des Volumenelements ist das Produkt der Skalierungsfaktoren der einzelnen Variablen. i=1 Transformation mehrdimensionaler Integrale 1-3
4 Bei einer affinen Transformation y = Ax + b ändert sich das Volumenelement gemäß dy = det A dx. Insbesondere gilt für eine Skalierung der Variablen, y i = λ i x i, dy i = λ i dx i. Transformation mehrdimensionaler Integrale 1-4
5 Bei einer affinen Transformation y = Ax + b ändert sich das Volumenelement gemäß dy = det A dx. Insbesondere gilt für eine Skalierung der Variablen, y i = λ i x i, dy i = λ i dx i. Die Voraussetzungen können etwas abgeschwächt werden. Insbesondere muss die Bijektivität von g und die Invertierbarkeit von g nur im Innern von U gefordert werden. Unstetigkeiten von f und bestimmte Singularitäten sind ebenfalls möglich, wenn die Existenz beider Integrale gewährleistet ist. Transformation mehrdimensionaler Integrale 1-5
6 Beispiel: Bereich V, begrenzt durch zwei geradlinig verbundene Parabelsegmente ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x s x 1 s = y s 2, = + y 1 s 2, s 1 Transformation mehrdimensionaler Integrale 2-1
7 Beispiel: Bereich V, begrenzt durch zwei geradlinig verbundene Parabelsegmente ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x s x 1 s = y s 2, = + y 1 s 2, s 1 kontinuierliche Verschiebung der Parabelsegmente ( ) ( ) ( ) x 1 s = t + y 1 s 2, t 1 bijektive Abbildung auf das Einheitsquadrat U ( ) ( ) ( ) s x t + s = t y t + s 2, s, t 1 Transformation mehrdimensionaler Integrale 2-2
8 t y 1 U V 1 s x Jacobi-Matrix der Abbildung (x, y) (s, t) = mit der Funktionaldeterminante det ( 1 1 2s 1 ) (x, y) (s, t) = 2s + 1 > Transformation mehrdimensionaler Integrale 2-3
9 Volumenelement dv = dx dy = (2s + 1)ds dt = (2s + 1)dU Transformation mehrdimensionaler Integrale 2-4
10 Volumenelement dv = dx dy = (2s + 1)ds dt = (2s + 1)dU Transformationssatz für f (x, y) = x + y = [ (x + y) dx dy = ( t + s) + (t + s 2 ) ] (2s + 1) ds dt V = = U (s + s 2 )(2s + 1) ds dt }{{} 2s 3 +3s 2 +s ( ) dt = 2 2 Transformation mehrdimensionaler Integrale 2-5
11 Beispiel: Torus erzeugt durch Drehung der Kreisscheibe ( ) ( ) x R + rs cos ϑ =, s 1, ϑ 2π z rs sin ϑ mit Radius r < R um die z-achse Transformation mehrdimensionaler Integrale 3-1
12 Beispiel: Torus erzeugt durch Drehung der Kreisscheibe ( ) ( ) x R + rs cos ϑ =, s 1, ϑ 2π z rs sin ϑ mit Radius r < R um die z-achse mögliche Parametrisierung x y = p(s, ϑ, ϕ) = z mit ϕ 2π (R + rs cos ϑ) cos ϕ (R + rs cos ϑ) sin ϕ rs sin ϑ Transformation mehrdimensionaler Integrale 3-2
13 Beispiel: Torus erzeugt durch Drehung der Kreisscheibe ( ) ( ) x R + rs cos ϑ =, s 1, ϑ 2π z rs sin ϑ mit Radius r < R um die z-achse mögliche Parametrisierung x y = p(s, ϑ, ϕ) = z (R + rs cos ϑ) cos ϕ (R + rs cos ϑ) sin ϕ rs sin ϑ mit ϕ 2π (Ersetzen der Richtung (1,, ) durch (cos ϕ, sin ϕ, ) in der Parametrisierung der Kreisscheibe) Transformation mehrdimensionaler Integrale 3-3
14 z 2 x r R ϑ y Transformation mehrdimensionaler Integrale 3-4
15 z 2 x r R ϑ y Jacobi-Matrix der Transformation p : (s, ϑ, ϕ) t (x, y, z) t Transformation mehrdimensionaler Integrale 3-5
16 z 2 x r R ϑ y Jacobi-Matrix der Transformation p : (s, ϑ, ϕ) t (x, y, z) t p = (p s, p ϑ, p ϕ ) = r cos ϑ cos ϕ rs sin ϑ cos ϕ (R + rs cos ϑ) sin ϕ r cos ϑ sin ϕ rs sin ϑ sin ϕ (R + rs cos ϑ) cos ϕ r sin ϑ rs cos ϑ Transformation mehrdimensionaler Integrale 3-6
17 orthogonale Spalten Funktionaldeterminate det p = p s p ϑ p ϕ = r rs R + rs cos ϑ = r 2 s(r + rs cos ϑ) Transformation mehrdimensionaler Integrale 3-7
18 orthogonale Spalten Funktionaldeterminate det p = p s p ϑ p ϕ = r rs R + rs cos ϑ = r 2 s(r + rs cos ϑ) Berechnung des Volumens mit dem Transformationssatz 1 2π 2π r 2 s(r + rs cos ϑ) dϕ dϑ ds = 2πr 2 = 2πr 2 1 2π 1 sr dϑ ds + 1 2π 2πsR ds + = 2π 2 Rr 2 rs 2 cos ϑ dϑ ds Transformation mehrdimensionaler Integrale 3-8
19 Beispiel: Parallelogramm V als Bild einer affinen Transformation des Einheitsquadrates U: U x y = Ax + b V Transformation mehrdimensionaler Integrale 4-1
20 Beispiel: Parallelogramm V als Bild einer affinen Transformation des Einheitsquadrates U: U x y = Ax + b V Die Spalten von A spannen das Parallelogramm auf; b ist einer der Eckpunkte. Transformation mehrdimensionaler Integrale 4-2
21 Beispiel: Parallelogramm V als Bild einer affinen Transformation des Einheitsquadrates U: U x y = Ax + b V Die Spalten von A spannen das Parallelogramm auf; b ist einer der Eckpunkte. z.b. ) ) A = ( , b = ( 2 1 Transformation mehrdimensionaler Integrale 4-3
22 Beispiel: Parallelogramm V als Bild einer affinen Transformation des Einheitsquadrates U: U x y = Ax + b V Die Spalten von A spannen das Parallelogramm auf; b ist einer der Eckpunkte. z.b. ) ) A = ( , b = ( 2 1 x 2 y 2 1 U 4 2 V 1 x 1 y 1 Transformation mehrdimensionaler Integrale
23 Funktionaldeterminante der Transformation det (y 1, y 2 ) = det A = 1 (x 1, x 2 ) Transformation mehrdimensionaler Integrale 4-5
24 Funktionaldeterminante der Transformation det (y 1, y 2 ) = det A = 1 (x 1, x 2 ) Integral einer linearen Funktion f (y) = 3y 1 4y 2 = (3, 4) ( y1 y 2 ) über V : f = V = U 1 1 f (Ax + b) 1 du (( 4 2 (3, 4) 1 3 ) ( x1 x 2 ) ( } {{ } 3(4x 1 +2x 2 +2) 4(x 1 +3x 2 +1)=8x 1 6x 2 +2 )) 1 dx 1 dx 2 = 3 Transformation mehrdimensionaler Integrale 4-6
25 Funktionaldeterminante der Transformation det (y 1, y 2 ) = det A = 1 (x 1, x 2 ) Integral einer linearen Funktion f (y) = 3y 1 4y 2 = (3, 4) ( y1 y 2 ) über V : f = V = U 1 1 f (Ax + b) 1 du (( 4 2 (3, 4) 1 3 ) ( x1 x 2 ) ( } {{ } 3(4x 1 +2x 2 +2) 4(x 1 +3x 2 +1)=8x 1 6x 2 +2 )) 1 dx 1 dx 2 = 3 ( 1 1 x k dx 1 dx 2 = 1/2) Transformation mehrdimensionaler Integrale 4-7
26 Verallgemeinerung: invertierbare affine Abbildung des Einheitswürfels U = [, 1] n (x 1,..., x n ) t Ax + b Transformation mehrdimensionaler Integrale 4-8
27 Verallgemeinerung: invertierbare affine Abbildung des Einheitswürfels U = [, 1] n (x 1,..., x n ) t Ax + b Parallelepiped V, aufgespannt durch die Spalten der Matrix A Transformation mehrdimensionaler Integrale 4-9
28 Verallgemeinerung: invertierbare affine Abbildung des Einheitswürfels U = [, 1] n (x 1,..., x n ) t Ax + b Parallelepiped V, aufgespannt durch die Spalten der Matrix A Integral einer linearen Funktion f (y) = c t y über V f = c t (Ax + b) det A dx = c t (Ae/2 + b) det A V U mit e = (1,..., 1) t Transformation mehrdimensionaler Integrale 4-1
29 Verallgemeinerung: invertierbare affine Abbildung des Einheitswürfels U = [, 1] n (x 1,..., x n ) t Ax + b Parallelepiped V, aufgespannt durch die Spalten der Matrix A Integral einer linearen Funktion f (y) = c t y über V f = c t (Ax + b) det A dx = c t (Ae/2 + b) det A V U mit e = (1,..., 1) t Begründung: Transformation mehrdimensionaler Integrale 4-11
30 Verallgemeinerung: invertierbare affine Abbildung des Einheitswürfels U = [, 1] n (x 1,..., x n ) t Ax + b Parallelepiped V, aufgespannt durch die Spalten der Matrix A Integral einer linearen Funktion f (y) = c t y über V f = c t (Ax + b) det A dx = c t (Ae/2 + b) det A V U mit e = (1,..., 1) t Begründung: U c t Ax dx = i mit a i den Spalten von A U c t a i x i dx = i c t a i /2 = c t Ae/2 Transformation mehrdimensionaler Integrale 4-12
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