Anleitung zu Blatt 6 Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften

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1 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 4/5 r. Hanna Peywand Kiani 6..5 Anleitung zu Blatt 6 Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften Bereichsintegrale, Transformationssatz, ie ins Netz gestellten Kopien der Anleitungsfolien sollen nur die Mitarbeit während der Veranstaltung erleichtern. Ohne die in der Veranstaltung gegebenen zusätzlichen Erläuterungen sind diese Unterlagen unvollständig (z. Bsp. fehlen oft wesentliche Voraussetzungen). Tipp oder Schreibfehler, die rechtzeitig auffallen, werden nur mündlich während der Veranstaltung angesagt. Eine Korrektur im Netz erfolgt NICHT! Eine Veröffentlichung dieser Unterlagen an anderer Stelle ist untersagt!

2 Volumen, Masse, Schwerpunkt, Trägheitsmoment R bzw R 3 kompakt, meßbar, ρ(x) Massendichte Volumen (Flächeninhalt): V = dx Masse: M = Schwerpunkt: X s = ρ(x)dx Trägheitsmoment: Θ A = ρ(x)r (x)dx ρ(x)xdx ρ(x)dx Beispiele für Abstände: Abstand zur z Achse im R 3 : x +y. Abstand zur x Achse im R : y = y. (komponentenweise) r(x) = Abstand zur Achse A

3 Beispiel : Flächenstück gegeben durch: x, y (4 x ), y x 3 y= 3 3 (4 x ) Schreiben Sie als Vereinigung von Normalbereichen. Berechnen Sie den Flächeninhalt und den Schwerpunkt von bei homogener ichte ρ = 3. 3

4 = 3 : x, x 4 y 4 x : x, 3 y 4 x 3 : x, x 4 y 4 x Fläche: F = 4 x x 4 dy dx 3 x 4 dy dx = = 4 [ (4 x )dx 4x x3 3 ] [ x x3 3 ] 3 (x 4)dx = 4 ( ) 6 3 ( ) 3 = 6 3 =. 4

5 Masse : M = ρd(x,y) = 3 d(x,y) = 3 Fläche = 3F x 3 y= 3 (4 x ) x s = M x ρ(x,y)d(x,y) = (Symmetrie) y s = M y ρ(x,y)d(x,y), wobei = + Es gilt y ρ(x,y) = y ρ(x,y) = (Symmetrie) Also erhält man 5

6 y s = M 4 x ρ ydydx = M 4 x ρ ydydx 3 3 = ρ F 4 x 3 ρ ydydx = F 4 x 3 ydy dx = = 4 ( (6 8x +x 4 9 ) dx = 4 = 4 ( [ x 5 5 8x3 3 +7x ] ( ( )) = 68 3 ) 6

7 Beispiel : Berechnen Sie das Intagral von f(x,y) = halben Kreisring R : x +y 4, x. x über den +y Berechnung in kartesischen Koordinaten umständlich! In Polarkoordinaten x = rcos(φ), y = rsin(φ) gilt: R : as Gebiet ist viel einfacher. ABER: Koordinatenwechsel / Substitution nötig!

8 Transformationssatz: Zur Erinnerung: im R gilt φ(b) φ(a) f(x)dx = b a f(φ(u)) φ (u)du (φ (u), x ]a,b[) Unter den in der Vorlesung angegebenen Voraussetzungen an Φ und und f gilt hier: Φ() f(x)d(x) = f(φ(u)) detjφ(u) du ( detjφ(u), x ) Polarkoordinaten ( ( x r = Φ(u) = Φ y) ϕ) det(jφ(r, ϕ)) = r = ( ) rcos(ϕ) rsin(ϕ) 8

9 Kugelkoordinaten x y = Φ(u) = Φ r ϕ = z θ det(jφ(r,ϕ)) = r cos(θ). rcos(ϕ)cos(θ) r sin(ϕ) cos(θ) rsin(θ) r = z = R = x = y = 9

10 Zylinderkoordinaten x r rcos(ϕ) y = Φ(u) = Φ ϕ = rsin(ϕ) z z z cos(ϕ) rsin(ϕ) det(jφ(r, ϕ)) = sin(ϕ) r cos(ϕ) = r Im Beispiel 3: x +y 6, z 9 (4 x +y )

11 Elliptische Kugelkoordinaten ( x ) ( y ) ( z ) Zum Beispiel bei Φ() = + + a b c x y = Φ(u) = Φ r ϕ = arcos(ϕ)cos(θ) br sin(ϕ) cos(θ) z θ cr sin(θ) det(jφ(r,ϕ)) = abcr cos(θ) Im Beispiel 6: Rotationsellipsoid E = {(x,y,z) T : x +y +z /4 }. Elliptische Kugelkoordinaten: x y = Φ(u) = Φ r ϕ = z θ det(j(φ) =

12 Elliptische Zylinderkoordinaten: analog x r ar cos(ϕ) y = Φ(u) = Φ Φ = br sin(ϕ) z z z acos(ϕ) rasin(ϕ) det(jφ(r, ϕ)) = b sin(ϕ) rb cos(ϕ) = abr Beispiel 5: Gegeben ist ein Turms mit elliptischem Grundriss: T := x ( y x ) ( y ) R 3 :, + 5, z z 4 3.

13 Im Beispiel war f(x,y) = R : x +y 4, x x zu integrieren über den halben Kreisring +y r φ R f(x,y)d(x,y) = R x +y d(x,y) = r dφdr = r [ ] dr = π r dr = πlog(). 3

14 Beispiel 3: Es sei f(x,y) = z (x+y) zu integrieren über : x +y 6, z 9 (4 x +y ) z (x+y) d(x,y,z) = z(rcos(φ))+rsin(φ))...dφdzdr = z(r cos (φ))+r cos(φ)sin(φ)+r sin (φ))... dφdzdr = π 4 r 3 [ z ] 9 (4 r) dr = π 4 r 3 (9 (4 r) ) dr 4

15 Beispiel 4: Gegeben sei der wie folgt beschriebene Teil einer Kugelschale: := x y R 3 : x +y +z, y, z x +y. z

16 Berechnen Sie das Trägheitsmoment von bzgl, der z Achse bei homogener Massendichte ρ =. Hinweis: cos 3 (x) = 4 (3 cos(x)+cos(3x)) Lösung:) Übergang zu Kugelkoordinaten: r,φ,θ r rcosφcosθ Φ : φ rsinφcosθ θ rsinθ 6

17 ie eterminante der Transformation ist aus der Vorlesung bekannt: JΦ = cosφcosθ rsinφcosθ r cos φsinθ sinφcosθ rcosφcosθ r sin φsinθ, detjφ = r cosθ sinθ rcosθ a z (x,y,z) := Abstand zur z Achse = x +y. x +y = r cos (ϕ) cos (θ)+r sin (ϕ) cos (θ) = Θ z = ρ (a z (x,y,z)) d(x,y,z) = π/4 π r cos (θ) r cos(θ) dϕdθdr π/4 7

18 =π π/4 π/4 r 4 cos 3 (θ)dθdr = π π/4 π/4 r 4 ( 3 4 cos(θ)+ ) 4 cos(3θ) dθdr =π r 4 [ 3 4 sin(θ)+ ] π/4 sin(3θ) π/4 dr = π [ r 5 5 ] 5 6 = π 3 (8 ). 8

19 Beispiel 5: Gegeben ist ein Behälter im Form eines Turms mit elliptischem Grundriss: T := x ( y x ) ( y ) R 3 :, + 5, z 4 3. z ie ichte eines Stoffes im Turm wird modelliert durch ρ(x,y,z) = Zu berechnen: Masse des Stoffes im Turm. +z. Lösung: Koordinatentransformation Elliptische Zylinderkoordinaten: x = 4rcos(ϕ), y = 3rsin(ϕ), z = z. Für die Jacobi-Matrix J der Koordinatenransformation gilt 4cos(ϕ) 4rsin(ϕ) det J = det 3 sin(ϕ) 3r cos(ϕ) = 9

20 Für die Parameter gilt: r [,5], ϕ [,π], z [,]. Für die Masse erhält man daher V = 5 π ρ(r,ϕ,z)rdϕdzdr = = 4π 5 +zr drdz = = 3π +zdz = 3πarctan().

21 Bei Bedarf vor Ort: Beispiel 6 Gegeben sei das Rotationsellipsoid E = {(x,y,z) T : x +y +z /4 }. Berechnen Sie das Volumenintegral E (3z x y )d(x,y,z). einmal unter Verwendung von Zylinderkoordinaten und zum Andern unter Verwendung elliptischer Kugelkoordinaten.

22 x +y +z /4, f(x,y,z) = 3z (x +y ) Elliptische Kugelkoordinaten: x y = Φ(u) = Φ r ϕ = z θ rcos(ϕ)cos(θ) r sin(ϕ) cos(θ) r sin(θ) det(j(φ) = Zu integrieren =4π π π (r sin (θ) r cos (θ))(r cos(θ))dθdϕdr π π r π 4 ( 3sin (θ)cos(θ) cos(θ) ) dθdr

23 Zylinder Koordinaten x = rcos(φ), y = rsin(φ), z = z. r [,], φ [,π], z [ r, r ]. det J(Φ) = Zu integrieren =4π π r (3z r r r )rdzdϕdr (3rz r 3 )dzdr Ergebnis: 6π/3 3