MATHEMATIK II für Bauingenieure (Fernstudium und Wiederholer)

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1 TU DRESDEN Dresden,. Februar 4 Fachrichtung Mathematik / Institut für Analysis Doz.Dr.rer.nat.habil. N. Koksch Prüfungs-Klausur MATHEMATIK II für Bauingenieure (Fernstudium und Wiederholer) Immatrikulationsjahrgang Name: Matrikel-Nr.: Vorname: Übungsgruppe: Hinweise: Die Aufgaben sind unabhängig voneinander lösbar. Sie können in beliebiger Reihenfolge gelöst werden. Geben Sie lediglich die jeweilige Aufgabennummer, bzw. die Nummer der Teilaufgabe, an. Beginnen Sie jede Aufgabe auf einer neuen Seite. Versehen Sie jedes Blatt Ihrer Arbeit mit Ihrem Namen und der Bezeichnung Ihrer Übungsgruppe. Grundlage für die Bewertung ist die Angabe des Lösungsweges. Der Lösungsweg muß deutlich erkennbar und in übersichtlicher Form notiert sein. Fehlende Zwischenschritte können nicht bewertet werden. Führen Sie alle Nebenrechnungen auf den Prüfungsblättern aus und geben Sie diese vollständig mit ab. Die Zahl in [ ] gibt die Punktzahl für die betreffende Aufgabe an. Aufgabe Ges. Punkte erreichte Punkte

2 Aufgabe. [8] Berechnen Sie folgende Integrale: a) [] b) [] c) [] e /e a) Es gilt (x e x + sinx) dx; t sint dt; lnx x dx. (x e x + sinx) dx ( x e x cosx) x 8 e cos b) Es gilt t sint dt t sint dt t sint dt π t cost tπ t + cost dt +t cost tπ tπ cost dt π + sint tπ t + π + π sint tπ tπ 4π. π c) Es gilt e /e lnx x dx /e /e lnx x dx + e lnx (lnx) dx + y dy + y dy lnx x dx e y y + y y. lnx (lnx) dx Aufgabe. [4] Berechnen Sie die Länge der Kurve C {(x,y,z): x e t cost,y e t sint,z e t,t [, [}.

3 C Es gilt e t ( cost + sint) + e t (sint + cost) + e t dt e t cos t cost sint + sin t + cos t + cost sint + sin t + dt e t dt lim t ( e t + ). Aufgabe. [6] Berechnen Sie den Inhalt des Sektors im ersten Quadranten, der durch die Kurven y, y x, und x + y begrenzt wird. Variante : Direkt. Aus y x und x +y ergibt sich (, ) als gemeinsamer Schnittpunkt. Damit gilt S 8 x dx + π/ x dx sin t dt 8 + ( cosxsinx x ) 8 + π π. Variante : Sektorformel. Mit x r cosϕ, y r sinϕ und der Begrenzung x + y ergibt sich r cos +r sin ϕ, d.h. r. Aus y x ergibt sich ϕ π als Begrenzung. Es gilt somit S ( cos ϕ + sin ϕ) dϕ 8 π. π/ Aufgabe 4. [8] a) [4] Berechnen Sie das Integral I x x + dx. b) [4] Für welche Werte α > konvergiert das uneigentliche Integral J Berechnen Sie das Integral im Konvergenzfall. (x + ) α dx?

4 a) Es gilt I b) Für α gilt [ x + ]dx π arctan π π arctanπ + arctan 5 4 π. (x + ) α J lim xb b α x lim (b + ) α b α Für α haben wir { α α α α für α > für α <. J lim ln(x + ) xb b x lim ln(b + ) ln. b Damit konvergiert das Integral genau für α > und zwar mit J α α. Aufgabe 5. [7] Ein räumliches Gebiet K liege im ersten Oktanten [, [ [, [ [, [ und werde neben den Koordinatenflächen x, y, z durch die Flächen F {(x,y,z): z x + y }, F {(x,y,z): z xy} begrenzt. a) [] Skizzieren Sie das Schnittbild, das beim Schnitt von K mit der Ebene x y entsteht. b) [] Beschreiben Sie K durch Zylinderkoordinaten. (Beachten Sie dazu insbesondere die Begrenzung im Radius). c) [] Wie lautet das iterierte Integral zur Berechnung des Volumens von K? a) b) Mit x r cosϕ, y r sinϕ, z z ergibt sich K T Zylinder [Z] mit c) Wir erhalten volk Z {(r,ϕ,z): ϕ [, π ],r [, sinϕcosϕ,z [r,r sinϕcosϕ]}. K dv Z r d(r,ϕ,z) ϕ [ sinϕcosϕ [ r sinϕcosϕ ] ] r dz dr dϕ. r zr Aufgabe 6. [5] Ein räumliches Gebiet G im R werde in Kugelkoordinaten durch F {(r,ϑ,ϕ): r [,e ϕ ],ϑ [, π ],ϕ [,ϑ]}, G T Kugel[F] beschrieben. Bestimmen Sie das Volumen von G.

5 Hinweis: x ist Stammfunktion zu x e ax sin(bx). Es gilt vol(g) dx G [ ϑ ϑ ϕ F eax a (asin(bx) bcos(bx)) + b r sinϑ d(r,ϑ,ϕ) ] dϑ eϕ sinϑ dϕ e π.6. ϑ [ ϑ [ e ϕ ] ] r sinϑ dr dϕ dϑ ϑ ϕ r ( 9 sinϑ + 9 eϑ sinϑ) dϑ Aufgabe 7. [] a) [4] Berechnen Sie das Kurvenintegral I +C ( xe y+ dx + x e y+ dy ) wobei +C der im mathematisch positiven Sinne zu durchlaufende Rand des Einheitsquadrat max{ x, y } sei. b) [] Bestimmen Sie den Flächeninhalt A(F) der Fläche F {(x,y,z) R : y (x + z ),(x,z) B}, B [,] [,]. c) [5] Berechnen Sie den Fluß Φ des Vektorfeldes f (x, y, z) (z, y, x) durch den Rand Q des Quaders Q [,] [,] [,]. a). Variante: Sei P(x,y) xe y+, Q(x,y) x e y+. Dann gilt y P(x,y) xe y+, x Q(x,y) xe y+. Daher ist das Integral wegunabhängig und es folgt I.. Variante: Integral über die vier Seiten I x x xe ( )+ dx + x(e e ) dx + y y e y+ dy + xe + dx + e y+ dy x y ( + )e y+ dy +.

6 b) Es gilt A(F) F B f ds B d(x,z). c). Variante: Der Gaußsche Integralsatz ergibt Φ f,n ds f dv Q ( ) x ( ) z + + d(x,z) x + z x + z Q Q ( + + ) dv vol(q).. Variante: Seien S {(x,y,z): x,y,z [,]}, S {(x,y,z): y,x [,],z [,]}, S {(x,y,z): z,x [,],y [,]} und S 6, S 5, S 4 die jeweils gegenüberliegenden Seiten des Quaders. Dann gilt Φ Q f,n ds 6 i S i f,n ds. Wir finden und damit f,n ds + f,n ds S S 6 f,n ds S f,n ds S 5 f,n ds + f,n ds S S 4 Φ. y,z [,] x [,],z [,] x [,],z [,] x [,],y [,] (z z) d(y,z), d(y,z), ( ) d(y,z), (x x) d(y,z)