Aufgabe 2 Auf dem Bildschirm eines Oszillographen durchlaufe ein Elektronenstrahl eine Bahn mit dem zeitabhängigen Ortsvektor

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1 Thema: Vektoranalysis PT/LOT WS 13/14 Analysis III Serie 3 Aufgabe 1 Ein Massepunkt bewegt sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω 1 auf einer Kreisbahn mit dem Radius R 1 und dem Mittelpunkt P 1. Dieser Mittelpunkt wiederum bewegt sich ebenfalls auf einer Kreisbahn mit der Winkelgeschwindigkeit ω und dem Radius R (z.b. Person auf einem Karussell Bestimmen Sie den Betrag der Geschwindigkeit. Aufgabe 2 Auf dem Bildschirm eines Oszillographen durchlaufe ein Elektronenstrahl eine Bahn mit dem zeitabhängigen Ortsvektor r(t = ( a cos(ωt b sin(ωt, (t a Zeichnen Sie die Bahnkurve. Welche Bedeutung haben die Konstanten a, b und ω? b Bestimmen Sie den Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor. c Zeigen Sie, daß der Beschleunigungsvektor a(t stets dem Ortsvektor r(t entgegengerichtet ist Hinweis: Hierbei handelt sich um den Spezialfall einer Lissajouschen Figur. Für Interessenten gibt es auf meiner Hompage mehr Informationen unter Lehrmaterial/Visualisierung mathematischer Zusammenhänge/Lissajousche Figuren. Aufgabe 3 Beweisen Sie die Rechenregel d dt ( a (t b (t = d dt a (t b (t + a (t d dt b (t Aufgabe 4 Zeigen Sie, dass für eine vektorwertige Funktion a (t mit dem Betrag a (t folgende Beziehung gilt. a (t d d a (t = a (t a (t dt dt 1

2 Aufgabe 5 Bestimmen Sie die Parameterdarstellung der Zykloide (Kurve, die von einem Punkt des Kreises beschrieben wird, der ohne zu gleiten auf einer Geraden abrollt. Bestimmen Sie die Länge eines Zykloidenbogens. Aufgabe 6 Berechnen Sie die Masse M von zwei Windungen einer Kreisspirale (Radius R, Ganghöhe h, deren Dichte ρ im Punkt P (x, y, z durch ρ (x, y, z = x 2 + y 2 + z 2 gegeben ist. Aufgabe 7 Gegeben ist das ebene Kraftfeld F = x e x + y e y. 1. Zeigen Sie, daß dieses Feld Potentialfeld ist. 2. Bestimmen Sie das Potential Φ(x, y des Feldes. 3. Berechnen Sie das Arbeitsintegral K F d r für einen beliebigen von P 1 = (1, nach P 2 = (3, 5 führenden Verbindungsweg K. Aufgabe 8 Ist das Vektorfeld F ( r = zugehörige Potential Φ (x, y, z 2xyz x 2 z x 2 y + 1 ein Potentialfeld? Wenn ja, bestimmen Sie das Aufgabe 9 Berechnen Sie die Arbeit des Kraftfeldes F y = 1 + x 2 + y 2 e x x 1 + x 2 + y 2 e y beim Verschieben einer Masse von A(1, nach B( 1, längs der skizzierten halbkreisförmigen Verbindungswege K 1 und K 2. Warum hängt die Arbeit noch vom Weg ab? 2

3 Aufgabe 1 Die Wärmemenge Q, die eine abgeschlossene Gasmenge vom Zustand A = (p 1, T 1, V 1 in den Zustand B = (p 2, T 2, V 2 überführt, ist gegeben durch Q = B A n c v dt + nrt V ( c v molare Wärmekapazität, n - Stoffmenge, R - Gaskonstante Man zeige, daß Q wegabhängig ist, indem man als Wege wählt: 1. eine Isotherme (T = const und anschließend eine Isochore (V = const 2. eine Isochore und anschließend eine Isotherme Man veranschauliche die Sachverhalt in einem p, V Diagramm dv Aufgabe 11 Für das Kraftfeld F = a r (t = t t t y y x z b r (t = berechne man die Arbeit längs des Weges t t 3 t 2 für t 1 Aufgabe 12 Das Biot-Savartsche Gesetz beschreibt den Beitrag eines Linienelementes d s eines stromführenden Drahtes zum Magnetfeld B im Raumpunkt P Es gilt db = µ 4π I d s r s r s 3 u 3

4 Berechnen Sie, das durch eine stromführende Leiterschleife (R = 1 erzeugte Magnetfeld B in einem Punkt der x,y-ebene Aufgabe 13 Gegeben ist das folgende Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit: v(x, y, z = e y + z 2 e z Berechnen Sie den Fluß dieses Feldes durch das skizzierte ebene Flächenstück A (Teil der Ebene z = 2. Aufgabe 14 Berechnen Sie das Oberflächenintegral des räumlichenvektorfeldes F (x, y, z = y e x + x e y + xz e z über die skizzierte Teilfläche A eines Zylindermantels (Mantelfläche des Zylinders mit dem Radius R = 4 und der Höhe H = 5 im 1. Oktant Hinweis: Zylinderkoordinaten verwenden 4

5 Aufgabe 15 Berechnen Sie F F d A, wobei F (x, y, z = 1 x 2 + y 2 und F den Mantel des skizzierten Kegelstumpfes darstellt. x y Aufgabe 16 Bestimmen Sie die Tangentialebene an die Fläche im Punkt (1, 3, 2 xz 2 + x 2 y + 1 z = Aufgabe 17 Berechnen Sie den Fluß des Vektorfeldes F (x, y, z = xy e x + y 2 e y + xz e z durch die geschlossene Oberfläche des skizzierten Würfels unter Verwendung des Gaußschen Integralsatzes. Aufgabe 18 Gegeben ist das Vektorfeld F = y 2x z Berechnen Sie das Oberflächenintegral F und die Halbkugel x 2 + y 2 + z 2 = 9, z > ( F n da 5

6 a auf direktem Weg b mit Hilfe des Integralsatzes von Stokes (F - obere Fläche der Halbkugel mit R = 3 Aufgabe 19 Berechnen Sie F F da, wobei F = y und F die skizzierte ebene Fläche darstellt Aufgabe 2 Sei F eine einfachgeschlossene Fläche der x, y - Ebene.mit der Randkurve K. Der Flächeninhalt von F werde mit F bezeichnet. Zeigen sie unter Verwendung des Satzen von Stokes, die Beziehung F = 1 xdy ydx 2 K Berechnen Sie unter Verwendung dieser Formel den Flächeninhalt einer Ellipse. Bemerkung: Man kann somit den Inhalt einer Fläche berechnen, wenn deren Randkurve gegeben ist! Aufgabe 21 Zeigen Sie, daß für ( ein Zentralfeld F ( r = Φ (r r, wobei r = r, die Beziehung rot F ( r = gilt. 6

7 Aufgabe 22 Beweisen Sie die Leibnizsche Sektorformel wobei S Flächeninhalt des Sektors. a unter Verwendung von Aufgabe?? b direkte Berechnung S = 1 xdy ydx, 2 K Aufgabe 23 Beweisen Sie die Greenschen Formeln B B Φ Ψ da = (Φ Ψ + gradφ gradψ dv ( n B Φ Ψ n Ψ Φ da = (Φ Ψ Ψ Φ dv n Hinweis: Wenden Sie den Gaußschen Satz auf das Vektorfeld F = ΦgradΨ an. B Aufgabe 24 Zeigen Sie, daß ein Vektorfeld F = r sin ϕ, z = z die Darstellung P Q R in Zylinderkoordinaten x = r cos ϕ, y = F = (P cos ϕ + Q sin ϕ e r + ( P sin ϕ + Q cos ϕ e ϕ + R e z hat. Transformieren Sie als Beispiel V = 1 x 2 + y 2 y x auf Zylinderkoordinaten. 7

8 Aufgabe 25 Zeigen Sie die Beziehung Bemerkung: = (Laplace Operator ( F ( = F ( F Aufgabe 26 Bestimmen Sie den Gradienten eines skalaren Zentralfeldes Φ (r mit r = x 2 + y 2 + z 2 Aufgabe 27 Berechnen Sie den Wärmestrom Φ = z h im Temperaturfeld T = v = λ grad(t M vd A durch den Zylindermantel M : x 2 +y 2 = a 2, C x 2, C = const. mit der Wärmestromdichte + y2 Aufgabe 28 Bestimmen Sie die Umrechnungsformeln für grad, div, rot und den Laplace-Operator in Zylinderkoordinaten. Lösungen 1 v (t = v (t = (ω R 2 + 2ω ω 1 R R 1 cos ((ω 1 ω t + (ω 1 R ( t sin t r(t = R, 1 cos t 8R 6 ( 4π 2 R 2 + h 2 2R h2 7 16,5 (Das Integral ist vom Weg unabhängig 8 Φ = ( x 2 y + 1 z 9 K 1 F d r = π 2, K 2 F d r = π 2 1 aq a = n c v (T 2 T 1 + nrt 1 ln V 2 bq b = n c v (T 2 T 1 + nrt 2 ln V 2 V 1 V 1 12 B x (x, y, = µ π 2π I 1 y cos ϕ dϕ (x 2 + y 2 3/ y cos ϕ B y (x, y, = µ π 2π I x cos ϕ dϕ (x 2 + y 2 3/ y cos ϕ 8

9 B z (x, y, = µ 2π 4π I x sin ϕ dϕ = (Integrand ungerade in ϕ (x 2 + y 2 3/ y cos ϕ πH 16 2x y 3z + 1 = π 19 R 3 3 sin (ϕ 2 2 πab 24 V 1 = r e ϕ 26 grad(φ = Φ (r e r 27 Φ = 4πλC h a 2 28 gradφ = Φ r e r + 1 Φ r ϕ e ϕ + Φ z e z F = F r e r + F ϕ e ϕ + F z e z div( F = 1 r r (rf r + 1 ( r rot( F 1 F z = r ϕ F ϕ z Φ = 1 ( r Φ r r r F ϕ ϕ + Fz z e r Φ r 2 ϕ Φ z 2 ( Fr z F z r e ϕ + 1 ( r r (rf ϕ F r e z ϕ 9