1 Elektrostatik TUM EM-Tutorübung SS 10. Formelsammlung EM SS Fabian Steiner, Paskal Kiefer

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1 TUM EM-Tutorübung SS Formelsammlung EM SS 21 Diese Formelsammlung dient nur zur Orientierung und stellt keinen nspruch auf ollständigkeit. Zudem darf sie während der Prüfung nicht benutzt werden, sondern nur eine einfache mathematische Formelsammlung. 1 Elektrostatik Eigenschaften der Elektrostatik: elektrisches Feld ist ein Potentialfeld, also E = Φ E ist konservativ, d.h. C E = für alle geschlossen Kurven in der Definitionsmenge, rot E = Coulombsches Gesetz: F 1 2 = F 2 1 = 1 q 1 q 2 r 2 r 1 3 ( r 2 r 1 ) Kraft auf eine Probeladung am Ort r mit der Ladung q elektrische Feldstärke: F ges = q E( r) = 1 q i r r i 3 ( r r i) q i r r i 3 ( r r i) allgemeingültiger Zusammenhang E( r) = F q ( r) q Potential einer diskreten Ladungsverteilung: Φ( r) = 1 q i r r i Elektrische rbeit: W el = C W el = U 12 q F el ( r)d r

2 Spannung: U 12 = C(P 1,P 2 ) E( r)d r U 12 = Φ 1 Φ 2 (Potentialdifferenz) Integralsatz von Gauß: Ud a = Gaußsches Gesetz (integrale Form): Q( ) = Q( ) = Gaußsches Gesetz (differentielle Form): div D = ϱ div Ud Dd a ϱ( r)d Poisson-Gleichung: aus E = Φ, dem Gaußschen Gesetz in differenzieller Form und dem linearen Materialgesetz D = ε E ergibt sich Φ = ϱ ε Kapazität (stets Funktion der Kondensatorgeometrie): Plattenkondensator ( entspricht der Fläche einer Kondensatorplatte) Kugelkondensator d U 12 = Q = Ed r = E d C = Q U = ε d Dd a = D = ε E a b Q = U 12 = Dd a = Ed r = Q b ε Ed a = a 1 r 2 dr = 2π π Q ε Er 2 sin θ dθ dϕ = Er 2 b a ab Kondensatoraggregate: Serienschaltung (Q = konstant) D 1 = σ top = Q U U 1 U 2 ε ε d 2 D 2 = σ bot = Q U = U 1 + U 2 = d1 D 1 ε d r + d1 +d 2 C = Q U = 1 ε 1 + d 2 ε 2 = 1 C C 2 D2 ε d r = Q ε 1 + Qd 2 ε 2

3 Parallelschaltung (U = konstant) 1 U = U ε 1 ε 2 Q = Elektrische Feldenergie: 2 Ed r = E d Dd a = ε 1 E 1 + ε 2 E 2 C = Q U = ε ε 2 2 d 2 = C 1 + C 2 W el = 1 2 CU 2 = 1 2 QU = 1 Q 2 2 C W el = w el d, wobei w el die Energiedichte bezeichnet w el = 1 2 E D 2 Gleichstrom, stationäre Ströme Stromstärke: Stromdichte: I() = dq() dt j = di d I() = jd a mit = Fläche senkrecht zum Stromfluss j = qn v = ϱ v, mehrere Ladungsträger: j = Ohmsches Gesetz: U 12 homogener Leiterquerschnitt homogene Leitfähigkeit σ, spezifischer Widerstand ϱ = f rac1σ Leiter der Länge l Φ 2 U 12 = l I = C(P 1 ;P 2 ) jd a = Ed r = E l q i n i v i mit ϱ = Ladungsträgerdichte σed a = σ U 12 l Φ 1 G = σ l R = ϱ l = 1 G Ladungserhaltung (integrale Form): stationärer Fall jd a =

4 allgemeiner Fall jd a = dq dt Ladungserhaltung (differenzielle Form): dq( ) = d ϱd = dt dt div j + ϱ = Herleitung des KCL: I 5 4 I I I 3 I k = j k = jd a = k=1 ϱ( r)d k jd a = k=1 I k I2 Elektrische Leistung: P el = dw el = qe dt d r dt = q E v p el = j E Leistungsdichte P el = p el d 3 Magnetostatik Lorentzkraft F L = q( v B), mit [B] = s m 2 = 1T Superpositionsprinzip (Lorentzkraft u. Coulombkraft) F em = q( E + v B) Bewegung eines geladenen Punktes im konst. Magnetfeld r = v m qb Drehmoment auf Leiterschleife Ω = qb m Gyrationsfrequenz M = I B, m = I M = m B mpèresches Durchflutungsgesetz Bd r = µi(), mitb = µ H Hd r = I() = jd a

5 nalogien Elektrostatik Magnetostatik { } { ruhende Coulomb-Kraft Kraft auf Probeladung wird gemessen bewegte Lorentz-Kraft { Ladungsverteilung Wirkung von Stromverteilung } { gaußsches Gesetz über mpère sches Gesetz Magnetfeld eines unendlichen langen, Stromdurchflossenen Leiters 2π Hd r = I() H r rdϕ = I H r = I 2πr Erweiterung des mpèreschen Gesetzes bisher: Maxwellsche Erweiterung: Hd r = Hd r = jd a ( } { } E materialabh. Größen B } { } D materialabh. Größen H j + D mpère-maxwellsches Gesetz in differentieller Form Integralsatz von Stokes: Ud r = Magnetischer Fluss Φ() = Induktion Hd r = Bewegungsinduktion Bd a rot Hd r = ( j + D ) d a rot Ud a ) d a rot H = j + D Φ() = B, unter der nnahme, dass B = const., = const.gilt E ind = v B U ind = E ind d r = C C ( v( r, t) B ) d r Ruheinduktion U ind = dφ dt = B ( r, t)d a Maxwellsche Gleichungen div D = ϱ rot E = B rot H = j + D div B =

6 lineare Materialgesetze D = ε E H = 1 µ B