12. Elektrodynamik. 12. Elektrodynamik

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1 12. Elektrodynamik 12.1 Quellen von Magnetfeldern 12.2 Das Ampere sche Gesetz 12.3 Maxwell sche Verschiebungsstrom 12.4 Magnetische Induktion 12.5 Lenz sche Regel 12.6 Magnetische Kraft

2 12. Elektrodynamik Beobachtungen zeigen: - Kommt ein Eisenstab in Kontakt mit Magneten wird er magnetisch. - Ein frei beweglicher Magnet richtet sich in Nord- Südrichtung aus. - Eine Kompassnadel wird durch einen elektrischen Strom abgelenkt. - Bewegung eines Magneten in Nähe einer Leiterschleife erzeugt elektrischen Strom in der Leiterschleife. - Ein sich ändernder Strom in einer Leiterschleife ist Ursache für eine Strom in einer zweiten Leiterschleife. Es gilt: Elektrische Wechselwirkung: Ladung q erzeugt Feld E, E übt Kraft qe auf q aus. Magnetische Wechselwirkung: bewegte Ladung q erzeugt (zusätzlich) Feld B B übt Kraft F =? auf bewegte Ladung q aus

3 12.1 Quellen von Magnetfeldern Bewegte Ladung ist Quelle für Magnetfeld Für Punktladung gilt: B µ 0 = 4π x 10-7 Ns 2 /C 2 = magnetische Feldkonstante des Vakuums Einheit von B: 1 Ns/Cm = 1 kg/sc = 1 T (Tesla) = SI-Einheit 1 T = 10 4 G (Gauß) keine SI-Einheit aber noch üblich Magnetische Feldlinien sind Kreise Magnetische Feldlinien sind geschlossen Animation Animation Animation Animation

4 Anwendung auf ausgedehnte Ladungsträger: 1. Magnetfeld eines infinitesimalen Stromelements dl Stromelement der Fläche A hat das Volumen Adl mit n Ladungen q pro Volumen ist Gesamtladung dq Für den Betrag von B gilt mit mit nqva = I folgt: Vektoriell folgt das Gesetz von Biot-Savart: Für Gesamtfeld gilt:

5 2. Magnetfeld eines geraden Leiters der Länge 2a und Strom I Nach Biot-Savart gilt: Aus Zeichnung gilt: und Richtung der db aller Stromelemente alle gleich nur Addition der Beträge für a >> x

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7 12.2 Das Ampere sche Gesetz Alternative Formulierung zu Biot-Savart von B und seine Quellen Das Amperesche Gesetz: Beispiel: Unendlich langer Stromleiter Symmetrieüberlegungen zeigen: 1. B keine zum Leiter parallele Komponente 2. B tangential entlang eines Kreises 3. B an jedem Punkt des Kreises gleich Ampere sche Gesetz ergibt:

8 Beispiel: Magnetfeld einer dicht gewickelten Ringspule 1. Es fließt Strom I durch N Windunge 2. Innenradius = a 3. Außenradius = b Integration entlang Kreis mit r Grund: B ist an jedem Punkt der Kreislinie tangential zum Kreis und konstant

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10 Grenzen des Ampere schen Gesetzes: 1. Beispiel: Für endlichen Leiterabschnitt liefert Ampere: Biot-Savart liefert richtiges Ergebnis: 2. Beispiel: Ampere gilt nur für geschlossene Stromkreise.

11 12.3 Der Maxwellsche Verschiebungsstrom Problem Ampere liefert für Kurve der Oberfläche 1: Ampere liefert für Oberfläche 2: Obwohl von derselben Kurve begrenzt Lösung: Man ersetze Strom I durch I + I V mit Widerspruch! 0 Maxwellsche Verschiebungsstrom

12 Verallgemeinerte Form des Ampere schen Gesetzes: Beachte: 1. Das Ampere sche Gesetz gilt auch im Vakuum (keine Ströme) 2. Ein zeitlich variables E-Feld produziert B-Feld Frage: Wenn zeitlich sich änderndes E-Feld Ursache für ein B-Feld ist, ist dann ein zeitlich sich änderndes B-Feld Ursache für ein E-Feld? Antwort: JA!!! Magnetische Induktion

13 12.4 Magnetische Induktion Beispiel: Leiterschleife in B-Feld mit db/dt = 0 Experimente zeigen: Faraday sches Gesetz Mit: U: Induktionsspannung = Magnetischer Fluss Frage: Ist das erzeugte E-Feld konservativ?

14 12.5 Lenz sche Regel Frage: Warum Minuszeichen im Faraday schen Gesetz? Antwort: Lenz sche Regel: Induktionsspannung und induzierter Strom sind stets so gerichtet, dass sie ihrer Ursache entgegenwirken. Beispiel: Stabmagnet bewegt sich auf leitenden Ring zu. Was passiert: 1. Bewegung des Magneten erhöht Fluss durch Ring. 2. Strom im Ring erzeugt B-Feld. 3. Induziertes B-Feld schwächt magnetischen Fluss.

15 Oder: 1. Es wird magnetisches Moment induziert 2. Ring wirkt wie Stabmagnet 3. Ungleichnamige Pole stoßen sich ab Beachte: Lenz sche Regel folgt aus Energieerhaltung Würde Strom in Gegenrichtung erzeugt werden anziehende Kraft auf Stabmagneten. Magnet wird in Richtung Ring beschleunigt. Induzierte Strom wird erhöht. anziehende Kraft auf Magneten wird größer usw.

16 12.6 Magnetische Kraft Magnetische Kraft auf Punktladung Man findet experimentell (Lorentzkraft): Gesamtkraft: Beispiel: Ladung q in homogenen Magnetfeld mit v B Kreisbewegung

17 Anwendungen 1. Beispiel: Homogenes Magnetfeld, v senkrecht B Ladung bewegt sich auf Kreisbahn. 2. Bespiel: Homogenes Magnetfeld, v nicht senkrecht zu B bleibt unbeeinflusst führt zu Kreisbahn Spiralbahn

18 3. Beispiel: Ablenkung von Elementarteilchen im Magnetfeld

19 4. Beispiel: Geschwindigkeitsfilter Frage: Welche Teilchen kommen durch?

20 5. Beispiel: Massenspektrometer Prinzip: 1. Geschwindigkeitsfilter 2. Homogenes Magnetfeld zur Ablenkung Genauigkeit:

21 Magnetische Kraft auf Stromleiter Wir hatten: Kraft auf einzelne Punktladung Frage: Wie groß ist Kraft auf Stromleiter (= viele bewegte q)? Annahmen: Gerader Stromleiter der Länge l, Querschnittsfläche A Stromleiter in homogenem Magnetfeld B Ladungsträger sind positiv. Driftgeschwindigkeit v ist senkrecht zu B. Ladungsträgerzahl N = n Al mit Ladungsdichte n Gesamtkraft hat Betrag: Mit nqva = I (elektrischer Strom) gilt:

22 Falls B nicht senkrecht zu Leiter: Nur senkrechte Komponente gibt Beitrag Mit Vektor l entlang des Drahtes in in Richtung von I Falls der Leiter nicht gerade ist:

23 Zwei gerade Leiter mit Strom I bzw. I Der Abstand der Leiter sei r. Frage: Welche Kraft wirkt auf die Leiter?

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25 Für Betrag des Magnetfeldes B am oberen Leiter gilt: Für die Kraft, die auf Länge l des oberen Leiters wirkt, gilt: oder Rechte-Hand-Regel liefert: Analog folgt: Die Kraft auf den oberen Leiter ist abwärts gerichtet. Die Kraft auf unteren Leiter ist aufwärts gerichtet. Zwei parallele Drähte mit gleichgerichtetem Strom ziehen sich an. Zwei parallele Drähte mit entgegensetztem Strom stoßen sich ab.

26 Bespiel: Kraft und Drehmoment auf Leiterschleife Rechteckige Leiterschleife trage Strom I. Längen seien a und b. Leiterschleife habe Winkel F zur Richtung von B.

27 Obere Seite der Schleife (Länge a) - Kraft F wirkt entlang der x- Richtung - Manetfeld B ist senkrecht zur Stromrichtung - Für den Betrag der Kraft gilt: Untere Seite der Schleife (Länge a) - Es wirkt Kraft F - Magnetfeld B ist senkrecht zur Stromrichtung - Für den Betrag der Kraft gilt: Seiten der Länge b - Längen b bilden Winkel 90 o - F mit B - Kräfte an den Seiten sind F und F - Für die Beträge der Kräfte gilt: Gesamtkraft = 0, da Kräfte an entgegengesetzten Enden sich aufheben

28 Drehmoment =? - F und F liegen entlang derselben Linie kein resultierendes Drehmoment - F und F bilden Kräftepaar Drehmoment Für Betrag gilt: Produkt IA = µ = magnetisches Moment oder vektoriell Für die potentielle Energie gilt: E pot Beachte: abgeleitete Gleichungen gelten für beliebige Formen von Leiterschleifen. Für N Windungen gilt: