Übungsstunde 2 Montag, 28. September :05

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1 Übungsstunde 2 Montag, 28. September :05 Lernziele: Elektrostatik in Materie Grundgrößen der Elektrostatik: Elektrisches Potential Spannung Elektrostatische Energie Leiter & Nichtleiter Elektrostatik in Materie: Makroskopische Maxwellgleichungen Kapazität & Kondensatoren Elektrischer Strom. Elektrisches Potential, elektrische Spannung, elektrische Energie, elektrische Arbeit (nur in Elektrostatik!) Wiederholung: Felder und Potentiale Für eine beliebe skalare Funktion und eine beliebiges Vektorfeld gilt (siehe Übung 1): (1) (2) Beweis (1) (2) Folgerungen aus Gleichung (1) Man kann daraus folgern, dass ein beliebiges Vektorfeld (nicht notwendigerweise nur das Feld der Elektrostatik), das die Bedingung (wirbelfrei) erfüllt, deshalb nach (1) als Gradient einer bestimmten skalaren Funktion (meist Potential genannt) geschrieben werden kann: In der Elektrostatik (siehe 3. Maxwellgleichung (M3ES)) beispielsweise erhält man elektrostatische Potential und schreibt konventionsmässig: Folgerungen aus Gleichung (2) Ein beliebiges Vektorfeld (nicht notwendigerweise nur das allgemeine Feld), das die Bedingung (quellenfrei) erfüllt, kann man deshalb nach (2) auch als die Rotation eines bestimmten Vektorfeldes (meist Vektorpotential genannt) schreiben: Aufgrund der 2. Maxwellgleichung (M2) kann dies jederzeit getan werden. Wir werden diese Identität allerdings vermutlich nicht in dieser Vorlesung benötigen. (Allerdings ist sie wichtig für die Herleitung gewisser Formeln der Vorlesung, wie des BiotSavartGesetzes später). Generelle Bemerkung zu den Potentialen Die Potentiale und sind nicht eindeutig bestimmt. Beispielsweise kann man eine beliebige Konstante hinzuaddieren und es würde sich nichts am oder Feld verändern. Von physikalischer Relevanz sind deshalb nur Potentialdifferenzen (für das elektrostatische Potential werden wir sie später "Spannung" nennen). Auch bei der Energie kommt es nur auf die Differenz (oder die Energie ab einem bestimmten Bezugspunkt) an der absolute Wert der Energie hat keine physikalische Bedeutung. Analog für Ausserdem kann man auch spezielle weitere Funktionen zu den Potentialen hinzuaddieren, ohne dass sich das oder Feld verändern. Insgesamt nennt man das die sogenannte Eichfreiheit der Potentialfelder (da man sie je nach Bedarf eichen und damit seine Rechnungen vereinfachen kann). Wiederholung: Elektrostatik Definition von Elektrostatik Ladungen (und Ströme) sind stationär und bewegen oder verändern sich demnach nicht Damit sind auch das Feld (und Feld) zeitunabhängig: Üblicherweise betrachtet man keine Ströme in der Elektrostatik, da man sich üblicherweise nur für das stationäre Feld interessiert Diese Bedingungen werden die MaxwellGleichungen dramatisch vereinfachen. Das stationäre Feld wird in der Elektrostatik deshalb auch elektrostatisches ( )Feld genannt (es ändert sich zeitlich nicht). Mikroskopische Maxwellgleichungen der Elektrostatik Man setzt die obigen Bedingungen in die allgemeinen mikroskopischen Maxwellgleichungen ein und kann diese im Fall der Elektrostatik dramatisch vereinfachen. Da man das Magnetfeld vernachlässigt, verbleiben nur noch zwei Gleichungen, die das Feld der Elektrostatik bestimmen: (M1ES) Gauss'sches Gesetz (M3ES) (Wirbelfreiheit des elektrostatischen Feldes) Elektrisches Potential (nur in Elektrostatik!) Aus (M3ES) folgt, dass das stationäre Feld der Elektrostatik (und nur dieses!) wirbelfrei ist und damit nach den obigen Herleitungen als Gradient eines Potentials, des elektrischen Potentials, geschrieben werden kann: (M3ES) (nur für Elekrostatik! Muss ich so betonen, da es ständig vergessen wird!) Übungsstunde (Nuhro Ego) Page 1

2 Dies bedeutet zudem, dass das Wegintegral des elektrostatischen Feldes über einen Weg beiden Punkten (Potentialdifferenz Spannung) abhängt: vom Punkt unabhängig vom Weg ist und ausschliesslich von der Differenz des Potentials an den da (siehe AnalysisVorlesungen für einen saubereren und ausführlicheren Beweis.) oder besser und direkter: benutze direkt die Integralform von (M3ES). Wir können deshalb dieses Wegintegral aufgrund der Wegunabhängigkeit ohne explizite Nennung des Weges notieren als Das Potential ist aufgrund der Eichfreiheit (siehe oben) bis auf eine beliebige ("Integrations")Konstante bestimmt. Das (nicht eindeutige) Potential lässt sich (bis auf eine beliebige Konstante) aus der obigen Formel auch explizit aus dem elektrostatischen Feld herleiten: wenn man den Referenzpunkt (oder Nullpunkt) so wählt (womit man das Potential auf einen bestimmten Wert eicht), dass Meistens wählt man konventionsmässig die unendliche Entfernung als Nullpunkt für das Potential. Rechnerische Bestimmung Siehe die Notizen von Übungsstunde 1 zur Herleitung der allgemeinen Formel für das Potential einer beliebigen Ladungsverteilung in der Elektrostatik. Dort wird auch erklärt, wie man mithilfe dieser Formel das Potential bestimmt. Die entsprechende Formel entspricht der allgemeine Lösung der Poissongleichung (Differentialgleichung der Elektrostatik, siehe Übungsstunde 1) und ist gegeben durch Elektrische Spannung (nur in Elektrostatik!) Aufgrund der Definition des elektrischen Potentials über besitzt es die sogenannte Eichfreiheit und ist deshalb bis auf eine beliebige Konstante bestimmt. Würden wir eine beliebige Konstante zum Potential hinzuaddieren, so würde sich das elektrostatische Feld nicht verändern (deshalb nennt man das Feld eichinvariant): Aus diesem Grund hat der absolute Wert des Potentials an einem Punkt keine physikalische Bedeutung (da er beliebig wählbar wäre)! Allerdings ist die Differenz des Potentials an zwei (unterschiedlichen) Punkten eine eichinvariante Grösse, die unabhängig von der Wahl des Potentials ist und u. A. deshalb einephysikalische Bedeutung hat. Wir nennen diese Potentialdifferenz die elektrische Spannung zwischen zwei Punkten und :. Analog zu oben können wir zeigen, dass die Spannung tatsächlich eichinvariant ist: Dieses Bild ist analog zur Definition der (z.b. potentiellen) Energie. Der absolute Wert der Energie ist beliebig und hat keine physikalische Bedeutung. Nur die Differenz der Energien (z.b. Energie zum Anheben eines Steines) oder die Angabe der Energie bzgl. eines bestimmten (zumeist implizit definierten oder "logischen") Referenzpunktes ist physikalisch verwertbar. Zusammenfassung Das Feld der Elektrostatik ist deshalb auch wirbelfrei, ein Potentialfeld und ein Gradientenfeld. Graphische Beispiele Übungsstunde (Nuhro Ego) Page 2

3 Rechenbeispiel Potential aus Feld des Plattenkondensators EFeld (mittels Gauss & Superpositionsprinzip): Potential: Stetigkeit des Potentials: Feststellungen: Integrationskonstante (Bezugspunkt) des Potentials beliebig! (vgl. Gravitationpotential) Vergleiche Potential/Potentialverlauf mit Berglandschaft und Masse, die man herauf und herunterbewegen will! Elektrische Arbeit/Elektrostatische Energie (in Elektrostatik!) Arbeit, um Ladung von nach im statischen Feld zu bewegen: Es gibt also viele Möglichkeiten, um diese Arbeit zu bestimmen. Am Schnellsten geht es meist über das Potential, da man nicht extra einen Weg parametrisieren muss (vor allem, da die Arbeit im elektrostatischen Fall sowieso wegunabhängig ist). Elektrische potentielle Energie einer einzelnen Ladung (in Elektrostatik!) Analog zur Definition der Spannung als der Differenz des Potentials ist auch die elektrische Arbeit/elektrostatische Energie einer Ladung nichts anderes als die Differenz der elektrischen potentiellen Energie. Die elektrische potentielle Energie einer Ladung ist demnach gegeben durch wobei wieder unserem Referenzpunkt entspricht, bei dem wir das elektrische Potential und demnach auch die elektrische potentielle Energie gleich null setzen: Analog zur Gravitationstheorie finden wir in der Elektrostatik (!) einen allgemeinen fundamentalen Zusammenhang zwischen potentieller Energie und Potential und zwischen Kraft und Feld Übungsstunde (Nuhro Ego) Page 3

4 *Elektrische potentielle Energie einer Ladungsverteilung (in Elektrostatik!) "Potentielle Energie ist die Energie, die in einer Ladungsverteilung potentiell zur Verfügung steht (vgl. Stauwerk mit Wasser)" ( Arbeit, um alle Ladungen von Unendlich (Nullpotential) an ihren Platz zu bringen) Beispiel für diskrete Ladungsverteilung Potentielle Energie der vier Ladungen (= Arbeit, um die 4 Ladungen von (keine Arbeit für erste Ladung) an ihren Ort zu verschieben): Beispiel für kontinuierliche Ladungsverteilung Potentielle Energie der geladenen Kugel 1. Obige Formel verallgemeinern für den kontinuierlichen Fall (evtl. zu kompliziert) 2. Kugel aus Kugelschalen aufbauen Allgemeine Formeln Diskrete Ladungsverteilung: Kontinuierliche Ladungsverteilung: Wichtige Grössen der Elektrostatik (!) (Leicht modifizierte Definitionen für den allgemeinen Fall) Elektrische Kraft auf Probeladung (Coulombkraft): Probeladung Spezialfall der Lorentzkraft für Elektrostatik: Elektrisches Feld der Elektrostatik (Def.): Elektrisches Potential : Potentialdifferenz/Spannung : Elektrische Arbeit : Arbeit/Energie, die man dem System zuführen muss, um eine Ladung von nach zu transportieren Analogon (Gravitationsfeld, Arbeit zum Anheben einer Masse): Potentielle Energie einer Ladung : Normierung: meist = Arbeit, um Ladung aus dem Unendlichen nach zu transportieren (Elektrische) Energiedichte : Energie des Feldes/Arbeit, die man dem System zuführen muss, um ein bestimmtes Feld aufzubauen: Elektrischer Fluss: Magnetischer Fluss: Leiter & Nichtleiter Leiter (z.b. Metalle) besitzt frei bewegliche Ladungsträger alle frei beweglichen Ladungen befinden sich auf der Oberfläche keine frei beweglichen Ladungen im Inneren des Leiters : Normalenvektor auf der Oberfläche (1) (2) : Potential ist im Leiter und auf der Leiteroberfläche auf dem selben Niveau und konstant Generell: Frei bewegliche Ladungen richten sich auf der Oberfläche so aus, dass das Innere des Leiters feldfrei bleibt Andernfalls: Existierendes Feld würde so lange die Ladungen verschieben, bis sich das elektrostatische Feld so einstellt, dass keine Kraft mehr auf die Ladungen wirkt und damit der statische Fall eintritt. Aber wo keine Kraft, da (nach ) kein Feld, also muss (!) das Innere eines Leiters feldfrei sein und der einzige Ort an dem es ein Feld geben kann, ist auf der Oberfläche und ausserhalb des Leiters) Nichtleiter besitzt keine frei beweglichen Ladungsträger Ladungsverteilung ändert sich nicht, wenn ein externes Feld angelegt wird (aber Feld wird im Inneren abgeschwächt, siehe Dielektrika) Also: im Allgemeinen! im Allgemeinen: Potential ist im Nichtleiter und auf der Nichtleiteroberfläche im Allgemeinen nicht auf dem selben Niveau undnicht konstant vergleiche mit den Aufgaben in der letzten Serie: Wir haben immer Nichtleiter betrachtet, dessen Feld wir bestimmt haben! Übungsstunde (Nuhro Ego) Page 4

5 Influenz "Beeinflussung elektrischer Ladungen durch die Einwirkung eines elektrischen Feldes" Bei Leitern: Ladungsverschiebung! Methode der Spiegelladungen Die Methode der Spiegelladungen ist eine Methode zur Lösung gewisser elektrostatischer Probleme. Punktladungen in der Nähe von leitenden Oberflächen (meist unendliche Ebene oder Kugeloberfläche) erzeugen ein Feld, das äquivalent ist zu einem, bei dem ein entgegengesetzt geladenes Teilchen auf der "spiegelverkehrten" Seite der Oberfläche positioniert werden würde. Damit kann man ohne komplizierte Rechnung den Leiter ignorieren und einfach durch diese "Spiegelladung" ersetzen, um das gesuchte Feld zu erhalten. Elektrostatik in Materie Was passiert mit Feld in Materie? Feld wird abgeschwächt Materie, wobei es zwei Ursachen der Abschwächung gibt: (1) Orientierungspolarisation (bei Dipolen) Wasser, (2) Verschiebungspolarisation Feld Metall/Leiter Dielektrizitätszahl : From < Mikroskopische Maxwellgleichungen (Maxwellgleichungen im Vakuum) Übungsstunde (Nuhro Ego) Page 5

6 Mikroskopische Maxwellgleichungen (Maxwellgleichungen im Vakuum) Differentielle Form Integrale Form (M1) Gauss'sches Gesetz (M2) Gauss'sches Gesetz für Magnetfelder (M3) Faraday'sches Induktionsgesetz (M4) AmpèreMaxwell'sches Gesetz (Durchflutungsgesetz) Makroskopische Maxwellgleichungen (Maxwellgleichungen in Materie) Differentielle Form Integrale Form (M1M) Gauss'sches Gesetz (M2M) Gauss'sches Gesetz für Magnetfelder (M3M) Faraday'sches Induktionsgesetz (M4M) AmpèreMaxwell'sches Gesetz (Durchflutungsgesetz) Erläuterungen (wir behandeln nur homogene, lineare, isotrope Materialien!) : "wahre Ladungen", "wahre Ströme", etc. = Ladungen/Ströme sind diejenigen, die nicht durch Induktion in der dielektrischenmaterie hervorgerufen werden, also einfach die Ladungen/Ströme betrachten, als ob das Dielektrikum nicht da wäre Elektrische Feldstärke Magnetische Feldstärke Elektrische Flussdichte : Elektrische Polarisation Elektrische Suszeptibilität (Relative) Dielektrizitätszahl Elektrische Permittivität : Auch: Dielektrizitätskonstante in der Materie Magnetische Flussdichte : "Magnetische Polarisation" : Magnetisierung : Magnetische Suszeptibilität : (Relative) Permeabilitätszahl : Kapazität & Kondensatoren Kondensator: zwei voneinander isolierte Leiter beliebiger Form : Betrag der Ladung, die auf den Leitern vorhanden ist : Potentialdifferenz zwischen den isolierten Leitern Es gilt:, z.b. ) : Kapazität = Proportionalitätskonstante (nur von Geometrie abhängig!; es gilt immer Eigenschaften von Kondensatoren: Energie, um Ladung auf Kondensator zu bringen/gespeicherte Energie des Kondensators: (Herleitung: ) Reihenschaltung: (folgt aus Maschenregel) Parallelschaltung: (folgt aus "integrierter" Knotenregel) Beispiel: Plattenkondensator Kapazität bestimmen: 1. Elektrisches Feld bestimmen (mittels Gauss): 2. Potentialdifferenz zwischen Platten bestimmen: 3. Gleichungen mit Ladung auf Kondensatorplatte ausdrücken: : Flächenladungsdichte 4. Umformen: Kondensator mit Dielektrikum "Standardregel": gilt nur für vollständig mit Dielektrikum ausgefüllten Kondensator! bei den anderen Fällen muss man den Kondensator "splitten" Übungsstunde (Nuhro Ego) Page 6

7 Beispiele & Facts zum "Splitting": 1. Plattenkondensator 2. Plattenkondensator mit Dielektrikum Erkenntnisse: 3. Plattenkondensator mit komplizierterer Dielektrikumgeometrie Potential im Plattenkondensator Übungsstunde (Nuhro Ego) Page 7

8 *Makroskopische Maxwellgleichungen der Elektrostatik (M1MES) Gauss'sches Gesetz (M3MES) (Wirbelfreiheit des elektrostatischen Feldes) Beispiel: (Kondensator mit Dielektrikum) Alternative zu obigem "SplittingVerfahren" 1.) Satz von Gauss auf Gesamtkonfiguration Gebiet A/C: Gebiet B: EFeld: 2.) Potentialdifferenz zwischen den Platten Es gilt: EFeld: 3.) Kapazität betrachte Verhalten für &! Ströme, Stromdichten Strom (= "Bewegte Ladungen") Stromstärke: = Anzahl der Ladungen, die pro Zeiteinheit durch einen Leiterquerschnitt fliessen Stromdichte Stromdichte : " ", d.h. = Dichte des Stromes, also Strom/Leiterfläche Stromdichte für Ladungen mit konstanter Geschwindigkeit: Geschwindigkeit der Ladungsträger Elektrizitätsleitung Stationäritätsbedingung: (d.h. Elektrostatik) Transportgleichung im stationären Fall (Ohm'sches Gesetz): (Ladungs)Stromdichte : (Ladungs)Strom: Elektrische Leitfähigkeit Elektrostatisches Potential Elektrostatisches Feld: In 1D: allgemeinere Form von: spezifischer Widerstand : Übungsstunde (Nuhro Ego) Page 8

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