Elektrische Ladung, elektrostatisches Feld

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1 ET 1 Elektrische Ladung, elektrostatisches Feld Elektrische Ladung Die elektrische Ladung Q eines (geladenen) Körpers wird durch diejenige Kraft festgestellt, die er auf andere geladene Körper ausübt. [ Q] = 1Coulomb = 1C Jede Ladung besteht aus kleinsten, nicht mehr unterteilbaren Einheiten Elementarladung: e = (1, ±,42) 1 19 C Träger der Elementarladungen: Elektronen Q = e Protonen Q = +e Coulombsches Gesetz: F = k Q 1 Q 2 er = 1 Q 1 Q 2 er, k 9, N m r 2 4πε r 2 C 2 elektrische Feldkonstante des Vakuums (Influenzkonstante): ε = 8, C 2 e r Einheitsvektor in Richtung der Verbindungslinie der Ladungsmittelpunkte N m 2 Elektrische Feldstärke: E = F Q = F e Q r F = Q E Kraft auf eine Testladung Q Q 2 [ E] = 1 N C Das elektrische Feld wird mit Hilfe von Feldlinien veranschaulicht, die in jedem Punkt des Raumes die Richtung der Feldstärke angeben. Feldlinien sind die Verbindungslinien zwischen positiven und negativen Ladungen; sie sind i.a. weder in sich geschlossen, noch enden sie im freien Raum. Feld einer Punktladung (kugelsymmetrisch): E = F Q = 1 4πε Q 1 r 2 Homogenes Feld: Feldstärke besitzt im betrachteten ereich gleichen etrag und gleiche Richtung. Feldlinien sind somit parallele Geraden. (Plattenkondensator) F = Q E """"" = const. Physik 1 ufbaukurs

2 ET 2 Elektrische Spannung und Potential In einem beliebigen inhomogenen Feld wird eine Probeladung Q von nach verschoben und verrichtet dabei folgende rbeit: N W = F i Δ s N i = Q E i Δ s N i = Q E i Δ s i i=1 i=1 i=1 W = F d s = Q E d s Spannung zwischen und : U = 1 Nm = 1Volt = 1V C Für eine geschlossene Kurve C gilt: U U = W Q = E d s " E d s = C Speziell, für : W Q = ϕ = E d s = E d s, ϕ elektrisches Potential Potentialdifferenz: ϕ ϕ = E d s E d s = E d s + E d s = E d s = U Ladungsverteilung Raumladungsdichte: Flächenladungsdichte: ρ = ΔQ ΔV dq dv, Q = ρ dv σ = ΔQ Δ dq d, Q = σ d V Kugeloberfläche: σ = Q = Q 4π R 2 Q = 4π R 2 ε E σ = ε E (Vakuum) homogenes Feld: σ = Q = ε E Physik 1 ufbaukurs

3 ET 3 Influenz Ladungstrennung, die durch ein äußeres elektrisches Feld in elektrischen Leitern hervorgerufen wird. Kapazität Plattenkondensator: U = E d s = E d, d bstand zwischen den beiden Platten σ = Q = ε E = ε U d Q = ε d U = CU, C = ε d = Q U C =1Farad = 1F =1 C V ( ) (a) Parallelschaltung von Kondensatoren: Q = Q 1 + Q Q N = U C 1 + C C ### "### $ N C ges (b) Serienschaltung: U = U 1 +U U N = Q C 1 C 2 C N ### "### $ 1/C ges Physik 1 ufbaukurs

4 ET 4 Wird der Raum zwischen den Kondensatorplatten mit einem festen oder flüssigen Isolator (Dielektrikum) ausgefüllt, so wird die Kapazität gesteigert. C = ε r ε d, σ = ε r ε E ε r 1... Dielektrizitätskonstante Um einen Kondensator aufzuladen (Spannungswert U ), ist folgende rbeit erforderlich: du U U W = Q E " d s 1 = Q du = CU du = 2 CU 2 = 1 2 QU = 1 Q 2 2 C Elektrischer Strom Das Fließen eines elektrischen Stromes bedeutet die kontinuierliche oder schwingende ewegung von Ladungsträgern in einem Leiter. Momentanwert: i = dq Gleichstrom: I = Q t [ I ] = 1mpère = 1 Technische Stromrichtung: ewegungsrichtung vom positiven zum negativen Pol. Speziell gilt für den Kondensator: i = dq = C du Elektrische Leitung in Festkörpern Elektrischer Widerstand, Ohmsches Gesetz: U = R I R = ρl, ρ spezifischer Widerstand [ R] = 1Ohm = 1Ω = 1 V Elektrischer Leitwert: G = 1 R Physik 1 ufbaukurs

5 ET 5 Kirchhoffsche Gesetze: Erstes Kirchhoffsches Gesetz (Verzweigungsregel): In einem Verzweigungspunkt ist die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden. I zu = I ab Zweites Kirchhoffsches Gesetz (Maschenregel): In jedem geschlossenen Teilkreis (Masche) eines Netzwerkes ist die Summe der Spannungen an den Widerständen gleich der Summe der Klemmspannungen aller vorhandenen Spannungsquellen. ODER: beim gleichsinnigen Umlaufen ist die Summe aller Spannungen innerhalb einer Masche gleich null. U = Gesamtwiderstand Serienschaltung: U = U 1 +U U n = I R 1 + I R I R n R ges = R i i Parallelschaltung: U = I n R n, I = I 1 + I I n = U R U R n 1 R ges = 1 i R i Elektrische rbeit und Leistung im Stromkreis Die elektrische rbeit wird zum Transport der Ladung Q unter der Spannung U benötigt. W = Q du W = QU... für Gleichstrom [ W ] = 1Joule = 1J = 1W s Elektrische Leistung: P = dw [ P] = 1Watt = 1W = 1J / s P = W t = U I = U 2 R = I 2 R... für Gleichstrom Physik 1 ufbaukurs

6 ET 6 Elektromagnetisches Feld Magnetische Feldstärke (magnetische Erregung) In der Umgebung stromdurchflossener Leiter entsteht ein magnetisches Feld, H = H e s... quellenfreies Vektorfeld der Feldstärke H das sich durch magnetische Feldlinien darstellen lassen. Eine in das Feld gebrachte Kompassnadel stellt sich in Richtung der Feldlinien ein. Richtungdefinition der magnetischen Feldlinien: N S Durchflutungsgesetz Zusammenhang zwischen elektrischen und magnetischen Größen in stromdurchflossenen Leitern " H d s = i I i gerade Leiter: " H d s = H 2rπ = I H = I 2πr lange Zylinderspule: Ringspule: " H d s = H l = N I H = NI, l Spulenlänge l " H d s = H 2rπ = N I H = NI, N Windungszahl 2πr Physik 1 ufbaukurs

7 ET 7 Magnetische Induktion (Flussdichte) Die magnetische Flussdichte leitet sich aus der Kraft auf bewegte Ladungen ab. Induktionsvorgang: Das eine Leiterschleife durchsetzende Magnetfeld induziert während seines Entstehens oder bnehmens eine elektrische Spannung. Der auf die Flächeneinheit der Schleife entfallende Spannungsstoß definiert die magnetische Flussdichte. Es gilt der proportionale Zusammenhang = e s = µ H = 1Tesla = 1T = 1V s / m 2 µ = 4π 1 7 V s / m... magnetische Feldkonstante im Vakuum (absolute Permeabilität) Spule mit Kern: = µ µ r H, µ r... relative Permeabilität (z..: max µ r (Fe) = ) Magnetischer Fluss und Streuung Der magnetische Fluss kennzeichnet die Gesamtheit aller Feldlinien im Magnetfeld. Er ergibt sich aus dem Produkt der magnetischen Flussdichte und der von ihr senkrecht durchsetzten Fläche. Φ = n d Φ = 1Weber = 1Wb = 1V s Für " n : Φ = dφ d = Nutzfluss: Φ N = Φ G Φ S, Φ G Gesamtfluss Φ S Streufluss Streugrad: σ Φ = Φ G / Φ N Physik 1 ufbaukurs

8 ET 8 Induktionsgesetz Das Induktionsgesetz beschreibt das Entstehen einer elektrischen Quellenspannung durch ein zeitlich veränderliches Magnetfeld in einer ruhenden Spule oder durch ein ruhendes Magnetfeld in einem bewegten Leiter. Wird ein Leiter (Länge l ) mit der Geschwindigkeit v durch ein homogenes Magnetfeld (Flussdichte ) derart bewegt, so dass er die Feldlinien orthogonal schneidet, gilt: U ind = v l = ds l = d = dφ = dφ d In der Spule (Windungszahl N ) mit zeitlich veränderlichem Magnetfeld gilt: U ind = N dφ U ind = N dφ = N d ( ) = N d L = 1Henry = 1H = 1V s / µ µ r N I l = µ µ r N 2 # " l # $ L d I = L di = L di I = I momentan i(t) In der (Zylinder-) Spule gilt allgemein unter Verwendung der Induktivität L : Φ = = µ H = µ N I l = L I N Gegenüberstellung: Ohmscher Widerstand, Kondensator, Spule im Stromkreis Ohmscher Widerstand: U = R I bzw. u(t) = Ri(t) Kondensator: Spule: i = C du u = L di Physik 1 ufbaukurs

9 ET 9 Wechselstrom Rotiert ein senkrecht zur Zeichenebene verlaufendes Leiterstück (Länge l ) mit der ahngeschwindigkeit v in einem homogenen Magnetfeld der Flussdichte, so wird folgende Spannung induziert: U = u(t) = l vsinα = ˆ U sinωt nfangsphase: ωt(t = ) α(t = ) = ϕ : u(t) = U ˆ sin( ωt +ϕ) rithmetischer Mittelwert: u = 1 π π Û sinα dα = Û [ π cosα ] π = 2Û π Quadratischer Mittelwert (Effektivwert): eim Wechselstrom leistet der Effektivwert in einem Ohmschen Widerstand (Wirkwiderstand) die gleiche rbeit wie ein gleich großer Gleichstrom. W = PT = 1 R U 2 efft = 1 R u(t)2 T T U eff = 1 T u(t)2 = 1 2π ( Û sinα ) 2 dα = Û 2 Û 2 2 2π,77 Û mittlere Leistung: P 1 = R U 2 2 eff= R I eff Physik 1 ufbaukurs

10 ET 1 Widerstände im Wechselstromkreis Wirkwiderstand (Ohmscher Widerstand): setzt die einem Leiter zugeführte Energie vollständig in nichtelektrische Energie (z.. Wärme, Licht) um Leistungsverlust. i(t) = 1 R u(t) = 1 Û sinωt, u(t) = Ri(t) (gleiche Phase) R Induktiver Widerstand: u(t) u L = L di L = L d ( Î sinωt) = Lω Î cosωt = L Î ω sin ωt + π 2 (u L eilt i L um 9 voraus) Spannungsamplitude: ˆ U L = Lω Î = X LÎ, X L = ω L induktiver lindwiderstand Kapazitiver Widerstand: i(t) = C du C = C d ( Uˆ sinωt) = C ˆ U ω sin ωt + π 2 ( i eilt u C um 9 voraus) Spannungsamplitude: Uˆ C = 1 ω C 1 Î = X C Î, X C =(±) ω C kapazitiver lindwiderstand Physik 1 ufbaukurs

11 ET 11 Komplexe Schreibweise llgemein gilt: f (t) = ˆF sin ωt +ϕ ( ) = Im ˆF e i(ωt+ϕ ) = Im ˆF e iϕ ˆF eiωt Komplexe Erweiterung: f (t) ˆF e iωt, ˆF komplexe mplitude, i = 1 Ohmscher Widerstand: Uˆ e iωt = R Î eiωt U ˆ = R Î Induktiver Widerstand: Uˆ e iωt = L d ( Î e iωt ) U ˆ = iω L Î Kapazitiver Widerstand: Î e iωt = C d ( Uˆ e iωt ) ˆ U = 1 1 Î = i Î iω C ω C Serienschaltung aller 3 Widerstände: U ˆ = Z Î Z = R + i ω L 1 ω C = R + i X L X C ( ) = R + i X R Wirkwiderstand X lindwiderstand Physik 1 ufbaukurs

12 ET 12 Dehnmessstreifen (DMS) Ohmscher Widerstand im elektrischen Leiter: R = ρ l Kreisförmiger Drahtquerschnitt: = D2 π 4 R = 4 ρ l π D 2 Dehnung des Leiters: ε = Δl l Querkontraktion: Gefügeänderung: Δ D D = ν ε Δ ρ ρ = pε "Totale" Änderung des Widerstands R = R(ρ,l, D) (mathematisch "Totales Differential"): dr = R R R dρ + dl + ρ l D dd = l dρ + ρ 8ρ l D 3 dl dd π "ezogene Totale" Änderung des Widerstands: dr R = l dρ + ρ 8ρ l D 3 dl dd " # π $# 2ρ l/d ρ l = dρ ρ + d l 2 dd l D Übergang auf "endliche" Änderungen: Δ R R = Δl 2 Δ D l D + Δ ρ = ε (1+ 2ν + p) ρ Für spezielle Legierungen gilt: (1+ 2ν + p) = K = const. Δ R R = K ε Physik 1 ufbaukurs