Induktion 1. Induktion Phänomenologie 2. Induktion in einem zeitlich veränderlichen Magnetfeld:

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1 Induktion. Induktion Phänomenologie. Induktion in einem zeitlich veränderlichen Magnetfeld: i. Induktionsgesetz ii. enzsche Regel iii. Wirbelströme 3. Induktivität einer eiteranordnung: i. Gegeninduktivität ii. Selbstinduktivität iii. Schalten von Strömen bei Induktivitäten 4. nwendungen 5. Maxwellscher Verschiebungsstrom Induktion Grundversuche usschlag hängt ab: Geschwindigkeit der Änderung Stärke des Magnetfeldes nzahl der Windungen Vorzeichen bzw. Richtung der Änderung

2 Induktion mit Elektromagneten Zeitlich konstantes Magnetfeld Spule von Gleichstrom durchflossen U U(t) Spannung wird in zweiter Spule induziert, wenn: Spule bewegt wird Spule gedreht wird Magnetfeld ein bzw. aus geschalten wird Was wird induziert Strom oder Spannung? Erzeugt der Induktionsvorgang einen a) Stromstoß Q I b) Spannungsstoß Φ U Falls a) Strom unabhängig von Widerstand R b) Strom abhängig von Widerstand R U ind R Es trifft b zu Spannung wird induziert

3 Magnetischer Fluss Φ Magnetischer Fluss Φ ist ein Maß für die nzahl der Feldlinien, die eine Fläche durchsetzen B Φ: B d [Φ] [] [B] m Vs/m Vs Wb (Weber) In einem homogenen Magnetfeld gilt Φ B r r Φ Bcos( B) B n B Steht das Magnetfeld nicht senkrecht auf die Fläche, spielt für den Betrag des Flusses nur die Normalkomponente von B eine Rolle Faradaysches Induktionsgesetz Ein Magnetfeld induziert in einer eiterschleife eine Spannung U ind, wenn. das von der eiterschleife umschlossene Magnetfeld B sich verändert,. die Fläche der eiterschleife, die von dem Magnetfeld durchsetzt wird, sich verändert. Faraday'sches Induktionsgesetz: Die in einer eiterschleife induzierte Spannung U ind ist gleich der zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses durch die eiterschleife. U ind dφ N M. Farady N nzahl der eiterschleifen bzw. Windungszahl der Spule 3

4 U ind Wie macht man Flussänderung?. Flussänderung durch Änderung des Magnetfeldes Φ i) Änderung eines Spulenstromes ii) Änderung von bstand oder Orientierung eines zeitlich konstanten Magnetfeldes. Flussänderung durch Änderung der Fläche eiterschleife bzw. Spule mit Fläche in homogenen Magnetfeld B gedreht r v B d B cosϕ dφ + B ω sinω t ϕ ω t 4 ω r jϕ 3 B r Induktionsspannung durch Bewegung, weil B konst Induzierte Spannung U ind - dφ/ - (B d/ + db/) eiter bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit in x-richtung Fläche ändert sich l x l (x + dx) mit dx v x und N Windungen U ind -N B d/ -N B l v x In eiter wird Spannung induziert, auch wenn er sich mit konstanter Geschwindigkeit im Magnetfeld bewegt 4

5 Bewegter eiter im Magnetfeld Gerader eiter wird im Magnetgeld bewegt: orentzkraft auf Elektronen adungstrennung Elektrisches Feld Kräftegleichgewicht elektrische Kraft orentzkraft U ind F magn qe qvb E vb U E vb l U l v B ind Das heißt: ein bewegter Beobachter (Elektron) sieht beim Flug durch ein Magnetfeld ein elektrisches Feld. ber der ruhende Beobachter im abor nicht! Ein zeitlich veränderliches B-Feld ist umgeben von einem elektrischen Wirbelfeld Elektrostatik + - Wirbelfeld Induktion E U ind ds Magnet E Feldlinien gehen von + nach - Quellenfeld Integral längs geschlossenen Weges r Eds r Potenzial: keine rbeit wenn geschlossene Kurve, Potenzialdifferenz U wegen (WeU) v Feldlinien sind geschlossen: Wirbelfeld Integral längs geschlossenen Weges r r Eds U ind dφ N Potenzial keine richtige Beschreibung mehr Potenzialdifferenz nach vollständigem Umlauf 5

6 Wirbelfeld E Magnet v Strom fließt wenn: Stromkreis geschlossen Spannungsquelle vorhanden Strom fließt wenn: Stromkreis geschlossen Stromkreis von zeitlich veränderlichem Fluss Φ durchsetzt wird keine Spannungsquelle notwendig Differenzielles Induktionsgesetz dφ U ind r r d r r Eds Bd r r d r r rote d Bd r r db rote Einsetzen der Definitionen Stokescher Integralsatz Gilt immer rote r Gilt nur in der Elektrostatik 6

7 Elektrisches Wirbelfeld Das elektrische Feld, das U ind erzeugt existiert unabhängig von der eiterschleife! E r B r ( t ) E r B r () t dφ > dφ < Ein zeitlich veränderliches B-Feld ist umgeben von einem elektrischen Wirbelfeld B r () t enzsche Regel eiterschleife Fläche Änderung des Flusses Φ(t) B(t) Spannung wird induziert: U ind -dφ/ Strom fließt in eiterschleife I ind U ind /R Induziertes Magnetfeld B ind durch I ind erzeugt Heinrich Friedrich Emil enz ( ) Induzierter Strom I ind Der in einer Schleife induzierte Strom erzeugt selbst einen magnetischen Fluss, der so gerichtet ist, dass er der Änderung des ursprünglichen Flusses entgegenwirkt: enz sche Regel 7

8 Thomsonscher Ring Magnetfeld ein Spannung in Ring induziert Stromrichtung entsprechend enzscher Regel B spule lu Ring Spule Strom im Ring I U ind /R Strom in Spule Gegensinnig fließende Ströme stoßen einander ab Geschlitzter Ring: kein Strom Ring wird nicht beschleunigt Waltenhofen sches Pendel Kupferplatte geschlitzt Kupferplatte dalbert von Waltenhofen ( ) Massive Kupferplatte Magnetfeld ein: starke Bremswirkung Geschlitzte Kupferplatte, Magnetfeld ein: schwache Bremswirkung 8

9 Waltenhofensches Pendel Modell für Bremswirkung Ring tritt in Magnetfeld mit v ein Kraft auf adungsträger Bewegung mit v Stromfluss I (techn. Stromrichtung) Kraft F* auf stromdurchflossenen eiter F* I B entgegen der Bewegungsrichtung Bremswirkung Wirbelstrombremse Ring ganz im Magnetfeld: keine Kraftwirkung Ring verlässt Magnetfeld mit v bremsende Wirkung (siehe oben) Waltenhofensches Pendel Beim Eintauchen der Platte in Magnetfeld bilden sich Wirbelströme Bremswirkung durch Wirbelstrom Schlitze verhindern usbildung von Wirbelstrom schwache (keine) Bremswirkung Wirbelströme: Verschleissfreie Bremse (ICE) Verluste (Stromwärme) in Transformatoren (amellierung) 9

10 Induktivität einer eiteranordnung eiterschleife eiterschleife I (t) U U ind U (t) Experiment: In eiterschleife fließt ein zeitlich veränderlicher Strom Zeitlich veränderliches Magnetfeld induziert Spannung in Schleife Wie groß ist die induzierte Spannung U? Induktivität Spule erzeugt ein Magnetfeld mit der Flussdichte B : B ( t) I Ändert sich Strom in Spule, ändert sich Φ in Spule und es wird dort eine Spannung induziert: d Φ( t) U( t) N U ( t) ( t ) Magnetfeld erzeugt in Spule einen Fluss Φ (t) Es fehlt genaue Kenntnis über die Überlappung, aber es gilt Φ proportional zu I : Φ I Gegeninduktivität Maß für die Felddurchsetzung von Spule [] Vs/ H ( Henry) d I( t) Induzierte Spannung U proportional zu Änderung von Strom I Einfach messbare Größen, Information über Geometrie usw stecken in

11 Berechnung der Gegeninduktivität s Schleife I ds r Schleife r r df s Strom in Schleife verursacht Magnetfeld bzw. Vektorpotenzial an Stelle r (Berechnung mit Biot-Savart) v r µ I ds ( r ) 4π s r Φm BdF rot df ds F F s r r µ I dsds Φm I 4π r ss r r dsds r Magnetfeld führt zu Fluss ( ) ss Selbstinduktion Was passiert wenn sich der Strom in einer Spule ändert? I(t) U ind (t) Es ändert sich das Magnetfeld und somit auch der Fluss Flussänderung bedeutet induzierte Spannung U ind Wie hängen U ind (t) und I(t) zusammen?

12 dφ Uind N Φ I U ind di Selbstinduktion Ändert sich Φ, so wird in einer Spule eine Spannung induziert Fluss proportional zu Strom Selbstinduktionskoeffizient Die Selbstinduktivität (oder Induktivität) bewirkt infolge der enz schen Regel eine Hemmung der Veränderung des Stromes (Der Strom durch eine Spule ist stetig, er springt nicht) [] Vs/ Ωs H ( Henry) Schaltzeichen von Spulen Induktivitäten Mechanisches nalogon Geschwindigkeit v S Kraft F Masse m U I m Masse F Kraft v Geschwindigkeit F m dv/ mv Impuls ½mv kinetische Energie Induktivität U Potenzialdifferenz I Strom U di/ I Impuls (??) ½I Energie (???)

13 Induktivität einer Zylinderspule änge l Windungszahl N Querschnittsfläche Strom I I B µ N l Φ B proportional zu Gesamtfluss lle N Windungen werden von Φ durchsetzt Ψ NΦ Ψ NΦ µ N I I l Ψ Induktivität einer Spule Selbstinduktivität einer Doppelleitung r d I I l Zwei parallele eiter Hin- und Rückleitung Ströme gleich groß und antiparallel Wie groß ist?. Berechnung des Magnetfeldes außerhalb und innerhalb des Drahtes aufgrund der beiden Ströme. Magnetischer Fluss durch Doppelleitung durch Fläche l r (Beiträge B von anderen Draht, B im Draht B außerhalb Draht) 3. Fluss durch Strom µ l d r + ln π r Wann ist Induktivität minimal? ösung d r min ( d ) r µ l π 3

14 U Strom-Spannungsverlauf bei I I(t) S Spannung U t angelegt t t : Spannung abgeklemmt I() t U ind Maschenregel : < t < t t < t : I t t U : U U U () t () t t konst.? U I U ind U t di U (t) t t Induktivität setzt sich Stromänderung entgegen Einschalten einer Induktivität Einschalten + Schalter geschlossen: Welche Glühlampe leuchtet bzw. wie ist die zeitliche Reihenfolge? R G R Ohm R G Wdg 36 mh Induktivität 36mH 4

15 Einschalten einer Induktivität t < Schalter offen Stromkreis offen kein Strom fließt I/I t Schalter geschlossen.63. Masche Ohmscher Widerstand I R U / (R+R G ) Strom fließt sofort Glühlampe leuchtet. Masche U I R G -U ind I R G + di / ösung der DG I (t) I ( - exp(-t/τ)) mit I U /R G und τ /R Strom steigt langsam Glühlampe beginnt verzögert zu leuchten I R I ( exp( /τ )) I t t/τ 3 usschalten einer Induktivität usschalten + Spannung ein Glühlampen leuchten U I R R G + R G Spannung aus Glühlampen leuchten zuerst heller und dann noch eine gewisse Zeit nach Wdg 36 mh 5

16 usschalten einer Induktivität t < eingeschwungener Zustand Strom durch Glühlampen I U /R t Schalter wird geöffnet I(t<) U /R Maschenregel für t> I R - U ind I R + di/ nsatz I I exp(- t/τ) mit τ /R I Strom springt? Nach Öffnen des Schalters ampen leuchten heller kurzfristig muss ein höherer Strom fließen d.h. I I(t<) Stromüberhöhung hängt von genauem Verlauf des Schaltvorgangs ab Energie des magnetischen Feldes Wieviel Energie wird im Magnetfeld gespeichert? usschalten der Induktivität: Strom fließt weiter, obwohl Spannungsquelle abgetrennt Energie die im Verbraucher (Glühlampen) umgesetzt wird muss aus Magnetfeld kommen W magn IU I R W magn I exp( t / τ ) R I Die im Magnetfeld gespeicherte Energie / I wobei I ein stationär fließender Strom ist 6

17 Energiedichte Magnetfeld Wmagn I ( t) R I Energiedichte w magn Energie pro Volumen w magn W V magn B µ N µ V l N B µ I l Vergleich E-Feld W w el el CU ε E magn. Energie Typische Werte elektrostat. Energie chemische Energie Wm 4J Vol.l 3 Wel J Vol.l 5 Wchem J Vol.l 7

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