Physikalisches Grundpraktikum II Grundversuch 2.2 Wechselstrom. von Sören Senkovic und Nils Romaker

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1 Physikalisches Grundpraktikum II Grundversuch 2.2 Wechselstrom von Sören Senkovic und Nils Romaker 1

2 Inhaltsverzeichnis Theoretischer Teil Versuchsdurchführung Das Oszilloskop Die Untersuchung des Geräts Der (Einweg-)Gleichrichter Der Brückengleichrichter Lissajou s Figuren RC-Glied und LC-Schwingkreis Das RC-Glied

3 Theoretischer Teil Das Ziel dieses Versuches soll es sein mithilfe eines Oszillographen grundlegende Eigenschaften von Wechselstrom und das Verhalten von Bauelementen im Wechselstromkreis festzustellen. Wechselströme spielen heutzutage eine wichtige Rolle für die Funktionsfähigkeit elektrischer Geräte, was daher rührt, dass sich die Übertragung von Strom für Wechselströme als wesentlich effektiver erwiesen hat. Insbesondere in Wissenschaft und Technik sind zeitlich nicht konstante Wechselströme nicht mehr wegzudenken. Man muss hier jedoch unterscheiden zwischen periodischen und aperiodischen Wechelströmen. Die Spannung für einen typischen periodischen Wechselstrom kann man mit U(t) = U 0 sin(ωt) beschreiben, wobei die Amplitude U 0 die maximale Spannung ist und ω = 2πf die Kreisfrequenz des Wechselstroms. Die Frequenz f berechnet sich aus der Periodendauer T über die Beziehung f = 1 T. Man gibt man die Spannung eines Wechselstroms in der sogenannten Effektivspannung U eff an. Das ist die Gleichspannung, die einem ohmschen Widerstand R die gleiche Leistung liefert. Dazu mittelt man U 2 über eine Periodendauer T, sodass man Folgendes erhält: U eff = 1 T 0 T U 2 (t)dt Für den Fall, dass die Wechselspannung sinusförmig ist, bekommen wir mit U(t)=U 0 sin(ωt) U eff = 1 T 0 T U 0 2 sin 2 (ωt)dt = U 0 2 Wichtige Bauteile in Wechselstromkreisen sind der Widerstand, Kondensator sowie die Spule und die Diode. Der Widerstand verhält sich in Gleich- und Wechselstromkreisen vollkommen gleich, ganz im Gegensatz zur Spule und dem Kondensator. Die Spule, welche im Gleichstromkreis keinen nennenswerten Widerstand außer ihren materialbedingten Widerstand besitzt, wirkt im Wechselstromkreis als Widerstand, denn es wird proportional zu di eine Gegenspannung induziert. Je höher somit die Frequenz des Wechselstroms ist, dt desto höher wird die von der Spule induzierte Gegenspannung und somit der Widerstand. An der Spule liegt somit auch immer ein Spannungsabfall U L vor, welcher durch U L =L di dt gegeben ist, wobei die Konstante L die sogenannte Selbstinduktivität der Spule ist. Die Spannung an einer Spule eilt dem Strom (bei einer Sinusspannung) um 90ř voraus. Es wird auch ein induktiver Widerstand induziert, welchen man als den induktiven Blindwiderstand bezeichnet. Dieser ist definiert als X L =ωl Der Kondensator bildet in einem Gleichstromkreis einen unendlich großen Widerstand, denn es fließen lediglich Ladungen hinein, jedoch keine mehr heraus. Eine Folgerung daraus ist, dass der Kondensator im Gleichstromkreis (zumindest theoretisch) vollständig aufgeladen werden kann. Im Wechselstromkreis jedoch fließen die Ladungen immer wechselseitig in den Kondensator, sodass er sich nicht vollständig aufladen kann. Für eine sinusförmige Spannung U(t)=U 0 sin(ωt) ergibt sich die Ladung des Kondensators als Q(t)=C U(t), 3

4 wobei C die Kapazität des Kondensators bezeichnet. Der Widerstand über dem Kondensator wird als kapazitiver Widerstand bezeichnet und berechnet sich über X C = 1 ωc Man sieht hier, dass dieser Widerstand abhängig von der Frequenz ist und für große Frequenzen beliebig gering werden kann. Die Eigenschaften der Diode sind für Gleichstrom relativ uninteressant, denn entweder sie blockiert den Strom oder nicht. In Wechselstromkreisen jedoch hat die Diode die Funktion eines Gleichrichters. Wird eine hohe Spannung in Sperrichtung der Diode angelegt, so erhalten wir einen großen Strom. So ist die ideale Diode mit einem Schalter vergleichbar. Für Wechselstrom werden so nur die Hälfte der Wellen durchgelassen. Der einfachste vorstellbare Kreis ist der sogenannte R C-Kreis, das heißt es werden einfach ein Widerstand und ein Kondensator in einem Gleichstromkreis in Reihe geschaltet. Legt man eine Spannung an, so lädt sich der Kondensator. Schaltet man die Stromquelle ab, so wird sich der Kondensator entladen. Der Aufladevorgang des Kondensators kann mathematisch beschrieben werden durch ( ) U C (t)=u 0 1 e t RC. Der hieraus resultierende, zeitabhängige Strom wird somit durch I(t)=I 0 e t RC beschrieben. Hierbei ist U 0 die Spannung, welche von der Spannungsquelle ausgeht. U C ist die Spannung, die über dem Kondensator anliegt. Der Entladevorgang wird analog beschrieben durch U C (t)=u 0 e t RC Die Spannung am Kondensator fällt exponentiell. Zur Vereinfachung setzt man τ = RC. Der L C-Schwingkreis ist eine Reihenschaltung einer Spule und eines Kondensators. Hier wird kein Ohm scher Widerstand zwischengeschaltet. Wird der Kondensator aufgeladen, so hat die Spule noch keine nennenswerte Funktion. Wird der Strom jedoch abgeschaltet, so entlädt sich der Kondensator, was in der Spule ein Magnetfeld induziert, dass dem Strom entgegenwirkt, sodass dieser eine Verzögerung des Sromes bewirkt. Dies wiederholt sich immer wieder, aber da die Spule auch einen gewissen ohmschen Widerstand besitzt, nimmt die Schwingung ab, sodass eine gedämpfte Schwingung entsteht. Die Periode einer solchen Schwingung ändert sich, da die Dämpfung einen Einfluss auf die Eigenfrequenz hat und somit auch T geändert wird T =2π 1 ω =2π 1 1 LC =2π LC 4

5 Versuchsdurchführung 1. Das Oszilloskop Am Anfang soll man sich mit den Eigenschaften des Oszillographen vertraut machen. Das Oszilloskop macht zeitlich veränderliche Spannungen auf dem Bildschirm sichtbar. Der Hauptbestandteil ist eine Brown sche Röhre, in der ein Elektronenstrahl abgelenkt wird. Die Ablenkung resultiert aus einem elektrischen Feld, welches zwischen zwei Platten mit der angelegten Wechselspannung induziert wird. An diesen beiden Platten, das eine Plattenpaar senkrecht, das andere waagerecht, sind die Y- und X-Eingänge angeschlossen. Damit kann der Strahl aus der Mitte heraus nach oben und unten, bzw nach rechts und links verschoben werden. Die Untersuchung des Geräts Hierbei war es die Aufgabe, sich genauer mit den Reglern am Oszilloskop und deren Bedeutung vertraut zu machen. Dazu wurden verschiedene Triggereinstellungen und Verstellungen am Y- Verstärker ausprobiert. Nun wird das Oszilloskop an eine 8V -Wechselspannung (50 Hz) angeschlossen und der Bildschirm so ausgerichtet, dass eine volle Sinusschwingung auf dem Bildschirm zu sehen ist. Der Triggerlevel hat einen Bild 1 Sinusschwingung Durch Ablesen (und unter Berücksichtigung eines Ablesefehlers von ± 0, 5V und ± 0, 2 ms) erkennt man Amplitude bei U 0 =(12±0,5)V und Periodendauer T =(20±0,2)ms Daraus ergeben sich für die Frequenz und die Effektivspannung f = 1 T = 1 =(50±1, 25)Hz (20±0,2)ms U eff = U 0 (8, 45±0, 35)V 2 f berechnet sich über den Ablesefehler T =0,2ms Hierbei wurde die Einstellung AC als sinnvoll erachtet, da sie das Signal direkt einkoppelt. Der (Einweg-)Gleichrichter Nun führen wir Versuche mit dem Gleichrichter durch (Einstellung AAC. Dazu wird die nachfolgende Schaltung an eine 8V -Wechselspannung angeschlossen. 5

6 Dafür ergab sich folgender Oszillosgraph: Offensichtlich kann der Strom in eine Richtung ungehindert fließen, während er in der anderen Richtung vollständig blockiert wird. Wir sehen nun, dass es sich hierbei um eine ideale Diode handelt. Man konnte beobachten, dass der Stron in die eine Richtung nicht behindert wurde, jedoch in der anderen Richtung gesperrt wurde. Der Brückengleichrichter Leider liefert uns der Einweggleichrichter noch keine gute Gleichspannung, im Gegensatz zum Brückengleichrichter. Die Schaltung für diesen sieht aus wie folgt Die Wechselspannung liegt unten und oben am Diodenkreuz D1, D2 bzw D3,D4 an. Der positive Teil der Sinusperiode wird von D1 blockiert, während dieser die Diode D2 ungehindert passieren kann. Bei D3,D4 wird der negative Teil der Sinusspannung bei D3 durchgelassen und von D4 blockiert. Deshalb wird dort der Minuspol angesetzt, wobei bei D2,D4 der Pluspol liegt ist. Auf dem Oszilloskop sah man (links ohne Kondensator, rechts mit Kondensator) Lissajou s Figuren An die X-Achse und die Y-Achse des Oszilloskops werden jeweils harmonische Schwingungen der Form x(t) = A sin(ω 1 t) und y(t) = B sin(ω 2 t + ϕ) angelegt. Je nach Phasenverschiebung ϕ entsteht eine andere Figur auf dem Bildschirm. Es entsteht immer genau dann eine geschlossene Kurve, wenn die beiden Frequenzen ω 1, ω 2 in einem rationalen Verhältnis zueinander stehen, also wenn ω 1 ω 2 = m n für geeignete m,n N Das Frequenzverhältnis ω1 = 1 liefert folgendes Überlagerungsbild. ω 2 2 Mit der unten abgebildeten Schaltung erhalten wir eine Ellipse, da wir durch den Kondensator erreichen, dass die Phasenverschiebung ϕ= π 2 beträgt. 6

7 Wenn wir die Frequenz am Frequenzgenerator um ganzzahlige Vielfache von 50 Hz verändern, so beobachten wir, dass die Anzahl der Schlaufen proportional zunimmt, also bei einem Verhältnis von ω1 = 1 entstehen n Schlaufen. Daher kann man am Oszilloskop das Frequenzverhältnis einfach ω 2 n ablesen. 1:1 1:3 1:10 R C-Glied und LC-Schwingkreis Das R C-Glied Ein in Reihe geschalteter Widerstand und Kondensator ist ein einfaches, wenn auch sehr wichtiges Baulelement, welches für die Untersuchung von Frequenzen von großer Bedeutung ist. Wir haben 2 Varianten des R C-Gliedes zur Verfügung, welche wir im Folgenden genauer Untersuchen werden. Die benutzte Spannungsquelle ist ein Signalgenerator, der so eingestellt ist, dass er eine Rechteckspannung bei einer Amplitude von U 0 = 5V aussendet. Die Recheckspannung simuliert einen Schalter, der zwischen einer Spannung von 5V und keiner Spannung hin- und her wechselt. Wir sollten Widerstand und Kondensator so auswählen, dass sich für τ = RC 10 2 s ergibt. Dies ist der Fall für den Kondensator mit einer Kapazität von C = 680nF und dem Widerstand von 14,7kΩ, wobei wir dafür die Widerstände mit 10kΩ und 4,7kΩ in Reihe geschaltet wurden. Die Bilder welche sich auf dem Oszilloskop für Rechteckschwingungen mit der Periode 0.1 τ, τ und 10τ gezeigt haben, waren 10 Hz. 100 Hz 1000 Hz Nun schalten wir den Generator auf Sinusspannung um und betrachten das Verhalten der Sinusschwingung in diesem Kreis. Es ergibt sich f [Hz] f[hz] U 0 [mv] U 0 [mv] 10 0,5 4 0, , 7 0, , 08 0, , , 36 0, , 04 0, ,5 1,4 0, , 145 0, , 015 0, 0005 Hier wird f mit der Fehlerrechnung von Gauss ermittelt, also ist f = ( f T T ) 2 f= 1 T = ( 1 T 2 T Anhand dieser Werte ergibt sich für uns folgendes Diagramm: ) 2 = T T 2 7

8 Man kann deutlich erkennen, dass die Höhe der Amplituden mit steigender Frequenz abnimmt. Das heißt, je niedriger die Frequenz, desto leichter kann kann sie die Schaltung durchlaufen. Dies wird für das Filtern von Frequenzen benutzt und man spricht hier von einem Tiefpassfilter, denn der Kondensator wirkt für niedrige Frequenzen wie ein hoher Widerstand, ist für hohe Frequenzen jedoch ein zunehmend besserer Leiter. Die Ausgangsspannung ist proportional zum Integral von U e pver due Teutm was der Grund dafür ist, dass man den Tiefpass auch Integrierglied nennt. U a stellt sich dar als U a =Q C= 1 C 0 t I(t)dt= 1 t U e U a d C 0 R dt = 1 t U e dt RC 0 Die zweite Schaltung ist ein Hochpassfilter, welcher nur hohe Frequenzen passieren lässt. Wie die folgende Gleichung vermuten lässt, heißt der Hochpass auch Differenzierglied (analog zum Tiefpass), denn er geht aus der Ableitung von U e mit dem Vorfaktor RC hervor LC-Glied U a =R I=R Q =R C U =R C d dt (U a U e ) RCU e Der Grund dafür, dass die Spannung am Kondensator im Resonanzfall größer werden kann, als die angelegte Spannung liegt daran, dass wir eine Überlagerung der Spannungen erhalten, welche sich addieren. Dies ist der Fall, wenn die Wechselspannungsfrequenz ein Vielfaches der Eigenfrequenz des Schwingkreises ist. Der ohm sche Widerstand in der Spule ruft eine Dämpfung der Schwingung hervor. Die Schaltung für diesen Versuch ist Hier wird wieder die Rechteckschwingung gewählt, wobei der Kondensator eine Kapazität von C=0, 68µF hat. Die Schwingung ergab das Bild 10 Messung 1 1 Spannung [V] Frequenz [Hz] 8

9 Die sich hieraus ergebende Eigenfrequenz und Induktivität sind ω 01 =2πf =2π 1 T =2π 1 0, 0006s 10471,9Hz±200Hz wobei wir T =0, 005s als Ablesefehler gesetzt haben. L= 1 ω 2 01 C = 1 ( (10471,9s 1 ) 2 0, 68µF ) =1, H± H Hier geht ebenfalls der Fehler T =0, 005s ein. Nun stellen wir wieder die Sinusschwingung ein und tragen die Frequenz f gegen U C in einer Resonanzkurve auf. Daraus ergibt sich das Diagramm f[hz] f[hz] U C [V] U C [V] ,8 0, ,5 5,2 0, , 4 0, ,5 5,8 0, , , , , Messung 1 f(x) 100 Spannung [V] Frequenz [Hz] Nach Aufgabenstellung sollte diese Messung für einen Kondensator mit C = 68nF und C = 220nF wiederholt werden und erneut ω 0 bestimmt werden- Dafür hat sich ergeben C[nF] T[ms] f [Hz] ω 01 [s 1 ] ± ± ± ±

10 Es sollte über die drei Kondensatoren die Induktivität der Spule gemittelt werden. Die Unsicherheit der Kondensators ist mit 20% angegeben. Den Fehler von L berechnen wir nach Gauss und er ergibt sich zu und es ergeben sich die Werte L= ( 2 ω ω 3 C ) 2 ( ) ω 2 C ω 01 [MHz] C[µF] L[H] 1, ±1, 36 1, H± H 0, , 22±0, , H±1, H 0, , 068±0, , H± H Wir bekommen für L einen Mittelwert von L =10, H. Damit ergibt sich für ω 0, 529 Diese Werte sind nicht vergleichbar, denn für eine andere Kapazität des Kondensators erhalten wir extrem unterschiedliche Kurven, die untereinander nicht vergleichbar sind und es jedes mal eine neue Resonanzfrequenz gibt. 10

11 Literaturverzeichnis Skript Physikalisches Grundpraktikum II, Universität Bielefeld 2010 Physik für Wissenschaftler und Ingenieure, Tipler & Mosca 2007 Eigene Fotos 11

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