Frank Nussbächer U1 = U2 = U3 = U. Mit dem 1. Kirchhoffschen Satz, sowie dem Ohmschen Gesetz für alle Komponeten gilt für den obigen Knotenpunkt:

Transkript

1 Parallelschaltung Mit Hilfe des 1. Kirchhoffschen Satzes kann die Parallelschaltung von Widerständen abgeleitet werden. Werden einer idealen Spannungsquelle zwei Widerstände R1 und R2 parallel geschaltet, so muß die Spannung an allen Komponenten identisch der Spannung der idealen Spannungsquelle sein (Diskutiere: Warum?): Formuliert man die Forderung nach Spannungsgleichheit, so muß gelten: U1 = U2 = U3 = U Mit dem 1. Kirchhoffschen Satz, sowie dem Ohmschen Gesetz für alle Komponeten gilt für den obigen Knotenpunkt: Mit anderen Worten kann die Paralellschaltung zweier Widerstände durch einen Ersatzwiderstand Rges aufgefaßt werden, der sich als Wirkung der beiden parallel geschalteten Widerstände R1 und R2 ergibt. Wie in der vorherigen Gleichung gefordert, muß dann ebenfalls für den Ersatzwiderstand Rges das Ohmsche Gesetz (für den Gesamtstrom) gelten: Die Rechenvorschrift, den Gesamtwiderstand bei Parallelschaltung zu bestimmen, ergibt sich durch den Vergleich der letzen beiden Gleichungen die folgender Gesetzmäßigkeit:

2 Reihenschaltung Mit Hilfe des 1. Kirchhoffschen Satzes ist es möglich, die Parallelschaltung von Widerständen abzuleiten. Die Gesetzmäßigkeit, die gefunden wurde, hat zur Einführung des Leitwerts geführt. Der Gesamtleitwert von zwei parallel geschalteten Leitwerten ergab sich aus der Summe der Einzelleitwerte. Betrachten wir nun eine Reihenschaltung aus 2 Widerständen: Wir verlangen, daß diese Reihenschaltung durch die rechte Schaltung, also durch einen einzigen Gesamtwiderstand Rges repräsentiert werden kann. Um die Beschaffenheit des Gesamtwiderstands zu berechnen, betrachten wir zunächst den linken Schaltkreis und wenden den 2. Kirchhoffschen Satz darauf an: Für den rechten Schaltkreis gilt entsprechend: Vergleicht man die letzten beiden Gleichungen und fordert man, daß beide Schaltungen äquivalent sind, dann muß folgender Zusammenhang gelten: Die Reihenschaltung zweier Widerstände ergibt demnach die Summe der Einzelwiderstände Daraus folgt allgemein, daß sich die Reihenschaltung von n Widerständen aus der Summe der Einzelwiderstände ergibt:

3 Zenerdiode Widerstand Am Widerstand sind Strom und Spannung direkt proportional Der Proportionalitätsfaktor ist der Widerstand R Widerstand wird in Ohm gemessen (1Ω = 1V/A) typische Werte für R liegen im Bereich mω bis MΩ bis auf extreme Ausnahmefälle sind Widerstandswerte positiv das Bauelement Widerstand ist ein Verbraucher

4 Widerstände - Parallelschaltung Widerstände, Parallelschaltung Die Parallelschaltung einer beliebigen Anzahl von Widerständen kann gleichwertig durch einen einzelnen Widerstand ersetzt werden, dessen Wert sich als Kehrwert aus der Summe der Kehrwerte der Einzelwiderstände ergibt. Stromteiler Betrachtet man die Parallelschaltung zweier Widerstände, so teilt sich am Eingangskoten der Gesamtstrom Iges auf beide Widerstände auf. Die beiden Einzelströme I1 und I2 fügen sich am Ausgangsknoten der Parallelschaltung wieder zum Gesamtstrom Iges zusammen: Um zu berechnen wie sich die Teilströme aufteilen, betrachten wir die beiden Einzelströme:

5 Eine Maschengleichung liefert das Ergebnis: Daraus folgt für das Verhältnis der Teilströme I1 und I2: Wegen der Spannungsgleichheit U1 = U2 kann U1 und U2 gegeneinander gekürzt werden und es ergibt sich das folgendes Verhältnis der Teilströme: 1. Stromteilerregel Die 1. Stromteilerregel besagt, daß sich bei Prallelschaltung die Einzelströme umgekehrt proportional zu den Widerständen aufteilen Mit Hilfe der Knotengleichung gilt weiterhin: Durch Umformen der Knotengleichung ergibt sich für den Gesamtstrom: Damit ergibt sich eine weitere Gesetzmäßigkeit zu: Wir können diese Gesetzmäßigkeit verallgemeinern und erhalten die 2. Stromteilerregel: 2. Stromteilerregel Die 2. Stromteilerregel besagt, daß bei der Parallelschaltung das Verhältnis von Gesamtstrom zu einem Teilstrom sich umgekehrt proportional zum Verhältnis von Gesamtwiderstand zu Teilwiderstand (eines Zweiges) verhält.

6 Stromteilerregel In einer Parallelschaltung verhalten sich die Teilströme durch die Widerstände umgekehrt proportional zu den Widerstandswerten. Das Verhältnis zwischen Teilstrom und zufließendem Gesamtstrom ist gleich dem Verhältnis zwischen einzelnem Leitwert und Summe aller parallelen Leitwerte. Beispiel Beispiel (Lösung)

7 Spannungsteilerregel In einer Serienschaltung (Widerstandskette) verhalten sich die Teilspannungen an den Widerständen proportional zu den Widerstandswerten. Das Verhältnis zwischen Teilspannung und Gesamtspannung an der Kette ist gleich dem Verhältnis zwischen Einzelwiderstand und Summe aller Widerstände in der Kette. Beispiel Beispiel (Lösung)

8 Spannungsteiler Mit Hilfe eines Spannungteilers kann man Spannungen reduzieren. Zum Beispiel kann 12V einer Batterie in 9V gewandelt werden, um einen 9 Volt Verbraucher anzuschließen. Schiebewiderstand: Einen regelbaren Widerstand R kann man sich als einen (linearen) Widerstand mit verschiebbarem Abgriff vorstellen ( Schiebewiderstand oder Potentiometer genannt). Die Spannung Ua stellt den Ausgang des Spannungsteilers dar. Ua wird am Widerstand R an der verschiebbaren Stelle abgegriffen. Man kann den oberen bzw. die unteren Teil des Widerstands als Teilwiderstände R1 und R2 auffassen, wobei der Gesamtwiderstand R des Schiebewiderstands stets gleich bleibt: Dabei stellt x=0 die ganz untere Position, bzw. x=1 die Position des oberer Anschlags dar. Dann kann der Schiebewiderstand durch die rechte Schaltung (oben) dargestellt werden. Man nennt diese Art der Schaltung einen Spannungsteiler. Die Ausgangsspannung Ua des Spannungsteilers ist demnach identisch dem Spannungsabfall an R2: Das bedeutet, daß das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsspannung am (unbelasteten) Spannungsteiler sich wie folgt ergibt:

9 Das Verhältnis der beiden Spannungen an den Einzelwiderständen ist außerdem: Am Spannungsteiler gilt daher, daß das Verhältnis der Teilspannungen sich proportional dem Verhältnis der Teilwiderstände verhält! Für unseren Schiebewiderstand folgt durch formales Einsetzen der Widerstandbeziehungen für R1 und R2 die folgende lineare Beziehung für das Stellverhalten unseres (unbelasteten) Schiebewiderstandes: In der Praxis wird diese Art der Spannungswandlung für Versorgungsspannungen (d.h. als Energieversorgung) selten angewendet, da die überflüssige Spannung in Wärme (sprich Verluste) gewandelt wird. Spannungsmessung Spannungen werden gemessen, indem man die Messung parallel zu dem Bauelement, an dem eine Spannung gemessen werden soll, durchführt: Wie muß der ideale Innenwiderstand des Spannungsmeßgerätes sein, damit die Messung keinen Einfluß auf die übrige Schaltung hat? Ideales Spannungsmeßgerät: In der Realität haben Spannungsmeßgeräte jedoch einen endlichen Widerstand, da Sie in der Regel auf einer Strommessung beruhen! Der Aufbau eines Spannungsmessers kann daher ebenso wie ein Drehspulinstrument aufgebaut sein.

10 Leistung Spannung: Energie pro Ladungseinheit Strom: Ladung pro Zeiteinheit Leistung: Energie pro Zeiteinheit p(t) = u(t)*i(t) Einheit: Watt (W) 1 W = 1 VA = 1 J/s Kondensator - gespeicherte Energie Gespeicherte Energie im Kondensator Um die gesamte in einem Kondensator gespeicherte Ernergie zu berechnen, betrachten wir die Arbeit, die notwendig ist, um das Elektrische Feld des Plattenkondensators aufzubauen. Wenn der (geladene) Kondensator zwischen den Platten die Spannung U besitzt, dann hat die Teilladung dq den Anteil dw = U dq an der gesamten gespeicherten Energie. Die Gesamtenenergie berechnet sich folglich durch Integration über alle Teilladungen zu:

11 Kirchhoffsche Regeln Betrachte nur solche Netzwerke, die aus Verbrauchern und Erzeugern elektrischer Energie bestehen. Jedes Netzwerk dieser Art besteht aus einzelnen Maschen, die an Knotenpunkten miteinander verknüpft sind. Aus der Anwendung des Energieerhaltungssatzes für jede Masche und der Ladungserhaltung für jeden Knoten ergeben sich sofort die Kirchhoffschen Regeln: Ladungserhaltung am Knotenpunkt Dort wird weder Ladung erzeugt, noch vernichtet. Energieerhaltung in einer Masche Beim Durchlaufen einer geschlossenen Masche (in oder gegen den Uhrzeigersinn) muß die gesamte Potentialdifferenz gleich Null sein. Die Potentialdifferenzen werden mit Vorzeichen versehen, je nachdem ob sie in oder gegen den Uhrzeigersinn gerichtet sind. Kirchhoff sche Maschenregel Für jede beliebige Masche in einem Netzwerk gilt: Die Summe aller Spannungen ist null (gleicher Umlaufsinn!)

12 Kondensatoren - technische Ausführungen Technische Ausführungen von Kondensatoren Keywords für Volltextsuche: Plattenkondensator, Röhrchenkondensator, Schichtkondensator, Wickelkondensator, Elektrolytkondensator, Drehkondensator Kirchhoff sche Knotenregel Für jeden beliebigen Knoten in einem Netzwerk gilt: Die Summe aller zufließenden Ströme ist null.

13 Induktivität Die Betrachtungen des Elektrischen Feldes führten zur Einführung des Kondensators. Genau wie bei der Definition der Kapazität einer Anordnung: wird die sogenannte Induktivität einer Anordnung eines stromführenden Leiters durch den Fluß definiert, der durch diese Anordnung pro Strom erzeugt wird. Die Induktivität L einer stromführenden Leiteranordnung wird definiert als: Daraus folgt die physikalische Einheit der Induktivität: Beispiel: Induktivität einer Zylinderspule

14 Induktionsgesetz Faraday experimentierte mit Spulen, die er magnetisch koppelte. Ein einfacher Versuch mit zwei Spulen führt zu folgenden Beobachtungen: Wird die zweite Spule mit einem konstanten Fluß durchsetzt, ist an ihren offenen Klemmen keine Spannung zu messen. Ändert man jedoch den Strom I, die Geometrie (näher-weiter), die Orientierung einer Spule (Drehung), oder die Form (Deformation) einer der Spulen, so ist im Moment der Veränderung eine Spannung zu beobachten (positive und negative). Offensichtlich reagiert die Empfängerspule nur dann, wenn sich der Versuchsaufbau zeitlich ändert! Im statischen Zustand ist keine Spannung meßbar! Faraday formulierte diesen Zusammenhang im sogenannten Induktionsgesetz: Darin bedeutet Ui die induzierte Spannung einer Anordnung, die von einem Fluß durchsetzt wird. Die Ableitung des Flusses nach der Zeit kennzeichnet, daß die Induktion nur dann entsteht, wenn sich der Fluß ändert! Das Minuszeichen bedeutet, daß die induzierte Spannung stets der Ursache entgegenwirkt (Lenzsche Regel)! Oder anders ausgedrückt, die induzierte Spannung bewirkt (bei einer kurzgeschlossenen Spule) einen induzierten Strom, der ein Magnetfeld erzeugt, welches der Änderung entgegenwirkt! Nehmen wir an, daß sich der Fluß innerhalb einer Anordnung gleichmäßig (homogen) über die Fläche A verteilt ist und daß B senkrecht auf die Integrationsfläche trifft:

15 kann das Induktionsgesetz folgendermaßen formuliert werden: Die Änderung des Flusses kann nun entweder durch die Fläche A(t) oder durch die magnetische Induktion B(t) (oder durch Beides) bewirkt werden. Die Anwendung der Produktregel liefert: Bei Änderungen der Fläche (Größe und Orientierung) wirkt der erste Term, bzw. bei Feldänderungen (Betrag) der zweite Term der obigen Gleichung. Elektrischer Strom - Entstehung Entstehung des elektrischen Stromes In den bisherigen Überlegungen wurde davon ausgegangen, daß für das Enstehen des elektrischen Stromes eine kontinuierliche Ladungstrennung stets gegeben ist, um den Stromfluß durch einen Leiter zu gewährleisten. Diese Ladungstrennung an den Enden des Leiters (Ladungsträgerüberschuß bzw. Ladungsträgermangel) bewirkt eine Ausgleichsbewegung, nämlich den elektrischen Strom. Die Energie, die den Stromfluß aufrechterhält, kann als Arbeit verstanden werden, die notwendig ist, um die Ladungen innerhalb der Quelle kontinuierlich zu trennen.

16 Basisgrößen Die Zahl der physikalischen Größen übersteigt die Zahl der Grund- bzw. Definitionsgleichungen. So läßt sich die Anzahl der tatsächlich notwendigen Größen reduzieren, in dem man alle physikalische Größen aus den tatsächlich erforderlichen Größen ableitet. Beispiel: Da es sich um ein physikalisches Grundgesetz handelt, kann die physikalische Größe Kraft (F) aus Masse und Beschleunigung abgeleitet werden. Definition: Basisgrößen sind physikalische Größen, aus denen weitere Größen abgeleitet werden können In der Mechanik reichen die 3 Basisgrößen aus, um die Bewegungen unter dem Einfluß von Kräften zu beschreiben: Länge, Zeit und Masse Diode - Schaltermodell Schaltermodell der Diode Diode verhält sich wie Schalter: Sperrbetrieb = offen Flußbetrieb = Kurzschluß Bedingungen: An gesperrter Diode liegt negative Spannung Durch leitende Diode fließt positiver Strom

17 Diode - elektrische Funktion Elektrische Funktion der Diode Ventil für den Strom: Strom wird nur in eine Richtung (Pfeilrichtung) durchgelassen. Im Gegensatz zu R, L, C ist die Diode ein nichtlineares Bauelement (siehe Kennlinie)