Experimentalphysik II Zeitlich veränderliche Felder und Wechselstrom

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1 Experimentalphysik II Zeitlich veränderliche Felder und Wechselstrom Ferienkurs Sommersemester 009 Martina Stadlmeier Inhaltsverzeichnis 1 Zeitlich veränderliche Felder 1.1 Faradaysches Induktionsgesetz Lenzsche Regel Selbstinduktion Einschaltvorgang an Spule Ausschaltvorgang an Spule Induktivität einer Zylinderspule Energie des magnetischen Feldes Verschiebungsstrom Maxwell-Gleichungen Wechselstrom 7.1 Die Elemente eines Wechselstromkreises Ohmscher Widerstand Kondensator Spule Der RCL-Wechselstromkreis Leistung im Wechselstromkreis Resonanz im Wechselstromkreis Transformator

2 1 Zeitlich veränderliche Felder Die bereits bekannten Gleichungen rot E = 0 rot B = µ 0 j div E = ρ ɛ 0 div B = 0 E = grad φ B = rot A j = σ E beschreiben statische elektrische und magnetische Felder. Diese werden durch ruhende Ladungen (ρ) und stationäre (=zeitlich konstante) Ströme ( j ) erzeugt. Nun stellt sich die Frage, wie diese Felder und die dazugehörigen Feldgleichungen sich ändern, wenn sich ρ und j zeitlich ändern. 1.1 Faradaysches Induktionsgesetz Befindet sich ein Leiter (gerader Leiter, Leiterschlaufe,...) in einem Magnetfeld, das sich zeitlich ändert, also db 0, oder ändert sich die Schlaufenfläche A, die senkrecht zur Richtung des Magnetfeldes B steht, so stell man im Leiter eine Induktionsspannung fest: U ind = d B d A = dφ m Faradaysches Induktionsgesetz Wir betrachten nun eine Spule mit nur einer Windung, die die Fläche A umschließt. Orientierung und der Betrag von A seien konstant. Ändert sich das äußere Magnetfeld B zeitlich, so entsteht eine Iduktionsspannung: U ind = d B Andererseits kann man die entstehende Spannung auch durch ein elektrisches Feld erklären: U = E d s Mit dem Stokes schen Satz gelangt man zu: d A E d s = rot E d A = d B d A rot E = d B Ein zeitlich sich änderendes magnetisches Feld erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld Anders als im elektrostatischen Fall sind diese elektrischen Feldlinien jedoch geschlossen! Auch gibt es kein skalares Potential φ mehr, von dem E erzeugt wird!

3 1. Lenzsche Regel Induktionsstrom und -spannung sind stets so gerichtet, dass sie der Ursache ihrer Entstehung entgegen wirken. Diese Regel ist vor allem wichtig bei Rechnungen, die unter Beachtung der Vorzeichen zu machen sind. Technische Anwendung sind beispielsweise Wirbelstrombremsen: in ausgedehnten Leitern enstehen Wirbelströme (=Induktionsstrom), deren Joul schen Verluste kinetische in Wärmeenergie umwandeln Bremswirkung. 1.3 Selbstinduktion Ändert sich in einer Spule die Stromstärke I, so ändert sich dadurch auch die Stärke des von der Spule erzeugten Magnetfeldes bzw. φ m. Dies wiederum verursacht dann eine Induktionsspannung, die nach der Lenz schen Regel der angelegten Spannung entgegen gerichtet ist. Der magnetische Fluss φ m ist proportional zu I mit Proportionalitätskonstante L (Induktivität): Einschaltvorgang an Spule φ m = L I U ind = L di U 0 = U ind + U R = L di + RI = L I + RI Mit dem Ansatz I(t) = K e ( R L )t und der Anfangsbedingung I(0) = I 0 erhält man als Lösung der Differentialgleichung: I(t) = U 0 R (1 e ( R L )t ) Der Strom nimmt also nicht sprunghaft seinen Maximalwert U 0 an. Je größer R die Spulenkonstante L, desto größer ist auch die Zeitverzögerung. (Anschaulich: die Spule kann U 0 umso besser bremsen, je gößer L ist.) 3

4 1.3. Ausschaltvorgang an Spule Vor dem Öffnen des Schalters gilt: I 1 = U 0 R 1 < I = U 0 R Zur Zeit t = 0 werde der Schalter geöffnet. Nun entsteht in der Spule eine Iduktionsspannung, die versucht die zuvor angelegte Spannung und damit den in diesem Zweig fließenden Strom I aufrecht zu erhalten. (Anschaulich: Spule fungiert als Spannungsquelle, R = R 1 + R ist Lastwiderstand. Somit: U ind = RI 0 = LI + RI I = RI L Mit dem Ansatz I (t) = K e ( R L )t und der Anfangsbedingung I (0) = I 0 gelangt man zu der Lösung: I (t) = I 0 e ( R L )t Für die Induktionsspannung mit U 0 = R I 0 gilt: U ind = L di = I 0 R e ( R L )t U ind = U 0 R 1 +R R e ( R L )t Somit können bei t = 0 große Induktionsspitzen entstehen, die R 1 unter Umständen sogar zerstören, da I 1 = I Induktivität einer Zylinderspule Das Magnetfeld im Inneren einer Spule mit Länge l und N Windungen (Windungsdichte n = N ) ist bereits bekannt: l B = µ 0 N l I = µ 0nI φ m = B da = BA = µ 0 nia dφ m = µ 0 na di U ind = N dφm = L di N µ 0 A = L di l N L = µ 0 n Al L = µ 0 n V V ist das von der Spule eingelschlossene Volumen. 4

5 1.4 Energie des magnetischen Feldes Die beim Entladen der Spule dissipierte Energie wird im Widerstand R in Joul sche Wärme umgewandelt, also: W mag = 0 P = 0 UI = 0 RI = R 0 I 0 e ( R L )t = 1 LI 0 W mag = 1 LI 0 Für die Energiedichte ω mag = Wmag V gilt dann: ω mag = 1 µ 0 B = 1 µ 0H Vergleich: magnetisches Feld - elektrisches Feld Mit der wichtigen Beziehung gespeicherte Energie W mag = 1 LI 0 W el = 1 CU 0 Energiedichte ω mag = 1 µ 0 B ω el = 1 ɛ 0E c = 1 µ 0 ɛ 0 erhält man für die Energiedichte eines elektro-magnetischen Feldes: In Materie: ω em = 1 ɛ 0(ɛE + c µ B ) ω em = 1 ɛ 0(E + c B ) 1.5 Verschiebungsstrom Das Ampéresche Gesetz B d s = µ0 j d A darf nur in differentieller Form rot B = µ 0 j geschrieben werden, wenn das obige Integral für beliebige Kurven C und deren umschlossenen Fläche A gilt. Das in P 1 gemessene Magnetfeld lässt sich mit Ampére berechnen, nicht jedoch in P (da dort j = 0, weil ja kein Strom fließt). Einführung des sogenannten Verschiebungsstroms j v, der zwischen den Kondesatorplatten herrscht. Erklärung: bei Wechselstrom ändert sich die Ladung Q auf den Platten mit der Zeit 5

6 I = dq = d (ɛ 0 A E ) = ɛ0 A d E = ɛ 0A E j v = I A j v = ɛ 0 E Hieraus folgt dann: B d s = µ0 ( j + j v ) d A rot B = µ 0 ( j + j v ) rot B = µ 0 j + µ0 ɛ 0 E Dies bedeutet physikalisch gesehen: Magnetfelder werden nicht nur von Strömen ( j ) sondern auch von zeitlich veränderlichen elektrischen Feldern ( E 0) erzeugt. 1.6 Maxwell-Gleichungen Alle diese bisher hergeleiteten fundamentalen Beziehungen sind zusammengefasst in den Maxwell schen Gleichungen: rot E = B rot B = µ 0 j + 1 E c div E = ρ ɛ 0 div B = 0 Elektrische Felder werden von Ladungen (ρ) und zeitlich veränderlichen mangetischen Feldern ( B 0) erzeugt. Magnetische Felder werden von Strömen ( j ) und zeitlich veränderlichen elektrischen Feldern ( E 0) erzeugt. Zusammen mit der Lorentzkraft F = q( E + v B ) und der Newtonschen Bewegungsgleichung F = ṗ werden hiermit alle elektromagnetischen Phänomene beschrieben. 6

7 Wechselstrom Bei der Betrachtung von Wechselstrom geht man im einfachsten Fall von einer sin- oder cos-förmigen Eingangsspannung U aus: U = U 0 sin ωt Dabei ist ω = πf die konstante Kreisfrequenz der angelegten Sannung..1 Die Elemente eines Wechselstromkreises Neben der Spannungsquelle U sind das: Ohmscher Widerstand R Kondensator (Kapazität) C Spule (Induktivität) L.1.1 Ohmscher Widerstand U R = U 0 sin ωt Über den Zusammenhang R = U I gelangt man zu: I R = U 0 R sin ωt Somit ist ersichtlich, dass Strom und Spannung in Phase sind. Die Phasenverschiebung ϕ = 0. Besonders schön sieht man diesen Zusammenhang im Zeigerdiagramm Die Länge der Pfeile steht für die Maximalamplitude von Strom bzw. Spannung. Auf die vertikale Achse wird der jeweilige Momentanwert von Strom und Spannung projeziert. Die Phasenverschiebung ist in diesem Fall null, weshalb der Winkel zwischen Strom-Zeiger und Spannungs-Zeiger ebenfalls null ist. 7

8 .1. Kondensator U C = U 0 sin ωt Die Ladung Q auf den Kondensatorplatten ist nun auch zeitabhängig: Q(t) = C U C (t) = CU 0 sin ωt Mit Ableiten erhält man für die Stromstärke I C (t) I C (t) = dq = CωU 0 cos ωt I C (t) = U 0 X C cos ωt = I 0 cos ωt wobei X C = 1 ωc als kapazitiver Blindwiderstand bezeichnet wird. Man erkennt hieraus, dass Strom und Spannung um π, also um einen Winkel von 90 phasenverschoben sind:.1.3 Spule Außerdem gilt für eine Spule: Durch Integration erhält man dann: U L = U 0 sin ωt U L = L di I L = U 0 Lω cos ωt = U 0 X L = I 0 cos ωt 8

9 wobei wieder -wie schon beim Kondensator- der induktive Blindwiderstand X L eingeführt wird. X L = Lω Auch hier sind Strom und Spannung wieder um π phasenverschoben. Zu beachten ist diesmal jedoch das negative Vorzeichen, also dass nun die Spannung dem Strom vorauseilt (anders als beim Kondensator!):. Der RCL-Wechselstromkreis Auch hier gilt wieder: U(t) = U 0 sin ωt I(t) = I 0 sin(ωt + ϕ) Zu bestimmen sind nun I 0 und die Phasenverschiebung ϕ in Abhängigkeit der bekannten Größen R, C und L. Anwendung der Maschenregel führt zu: Außerdem gilt: U(t) = U R (t) + U C (t) + U L (t) U 0R = RI 0 U 0L = X L I 0 U 0C = X C I 0 9

10 Aus dem Zeigerdiagramm kann man folgern, dass sich die Gesamtspannung berechnen lässt durch: U 0 = U 0R + (U 0L U 0C ) = I 0 R + (X L X C ) Um die Gleichung wie in gewohnter Form schreiben zu können, definiert man den Scheinwiderstand (oder die Impedanz) Z des Wechselstromkreises: Z = R + (X L X C ) I 0 = U 0 Z Für die Phasenverschiebung ϕ liest man aus dem Zeigerdiagramm ab: tan ϕ = X L X C R Ergebnis: I 0 ist abhänging von der Spannungsamplitude U 0, nicht jedoch ϕ. Dies ist auch anschaulich, denn eine ansteigende bzw. abfallende Spannung ändert zwar den Strom, sollte aber keinen Einfluss auf die Phasenverschiebung haben. Anmerkung: Im obigen Zeigerdiagramm war die Wahl X L > X C willkürlich. Für X C > X L bleiben die Gleichungen unverändert, insbesondere hat dies keine Auswirkung auf die Impedanz. Allerdings erhält der Winkel ein negatives Vorzeichen, was physikalisch bedeutet, dass nun der Strom der der Spannung vorauseilt (Anschaulich: der kapazitive Teil der Phasenverschiebung überwiegt)..3 Leistung im Wechselstromkreis Die elektrische Leistung ist definiert als: P = U I Neu definiert werden für Wechselstromkreise die sogenannten Effektivwerte für Strom und Spannung: Sei nun Somit ist jetzt auch P zeitabhängig: U eff = U 0 I eff = I 0 U(t) = U 0 sin ωt I(t) = I 0 sin ωt P (t) = U(t) I(t) = U 0 I 0 sin ωt Interessant ist allerdings der zeitliche Mittelwert: P = 1 T U0 I 0 sin ωt sin(ωt ϕ) = U 0I 0 cos ϕ P = U eff I eff cos ϕ cos ϕ wird als Leistungsfaktor bezeichnet. Die in Spule oder Kondensator aufgenommene Leistung (ϕ = ± π ) heißt Blindleistung (wird wieder abgegeben), die in einem ohmschen Widerstand tatsächlich verbrauchte Leistung (ϕ = 0) nennt man W irkleistung. 10

11 .4 Resonanz im Wechselstromkreis Bereits bekannt: I 0 = U 0 Z I eff = U eff = U eff Z R +(X L X C ) Jeder RCL-Kreis besitzt eine Resonanzfrequenz ω 0, bei der I eff bei gegebenem U eff, R, C, L maximal wird. Dies gilt genau dann, wenn also X L = X C ω 0 = 1 LC.5 Transformator Für Transformatoren, also gekoppelte Induktivitäten mit jeweils N Windungen pro Spule gilt: U U 1 = N N 1 11

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