Elektrizitätslehre und Magnetismus

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1 Elektrizitätslehre und Magnetismus Othmar Marti Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik

2 Seite 2 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Klausur und Nachklausur Die Klausur findet am um 9:00 in H2 und H13 statt Die Nachklausur findet am voraussichtlich um 9:00 in H2 statt. Hilfsmittel: 4 Blätter (8 Seiten) Format A4, von eigener Hand beschrieben.

3 Seite 3 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Schwingkreise L di dt + Q C = 0 Wir differenzieren einmal und bekommen d 2 I dt LC I = 0 Dies ist die aus der Mechanik bekannte Schwingungsdifferentialgleichung. Durch Analogieschluss sieht man, dass die Resonanzfrequenz 1 ω 0 = LC ist. Schwingkreis mit Widerstand

4 Seite 4 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Gedämpfte Schwingkreise L di dt + R I + Q C = 0 Wir differenzieren einmal und bekommen d 2 I dt 2 + R di L dt + 1 LC I = 0 Analog zur Mechanik ist die R L Dämpfungsterm. der Schwingkreis mit Widerstand

5 Seite 5 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Elektromotor Prinzipbild eines Elektromotors

6 Seite 6 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Elektromotor Wir betrachten zuerst den Elektromotor als Generator. Der Fluss durch die Leiterschlaufe mit N Windungen und einer Fläche A ist φ B = NBA cos Θ wobei Θ der Winkel zwischen der Normalen der Fläche der Leiterschlaufe und der Richtung des Magnetfeldes ist. Mit Θ = ωt + δ wird der zeitabhängige Fluss durch eine sich mit ω drehende Leiterschlaufe φ B (t) = NBA cos(ωt + δ) Durch Ableiten erhält man die Induktionsspannung U = dφ B(t) dt Die induzierte effektive Spannung ist = NBA d cos(ωt + δ) = NBAω sin(ωt + δ) dt U eff,i = NBAω 2 Wenn die Leiterschlaufe mit Spannung versorgt wird, arbeitet sie als Motor. Durch den Strom I wird nach der Gleichung ein Drehmoment erzeugt. M = NAB I sin Θ

7 Seite 7 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Elektromotor Das mittlere Drehmoment bei einem Motor, bei dem der Kommutator immer bei dem Winkel, bei dem das Drehmoment null wird, das Vorzeichen ändert, ist M eff = NAB 2 I = NABI eff Wenn der Widerstand des Ankers, der rotierenden Spule, R ist, kann man den mittleren Strom berechnen I eff = U U eff,i R = U R NBA R 2 ω Damit hängt das Drehmoment von der Drehzahl ab ( U M eff (ω) = NAB R NBA ) R 2 ω = NABU R Das Drehmoment des ruhenden Motors ist also M eff (0) = M max = NABU R und die maximale Drehzahl (da wo M eff = 0) ist 2U ω max = NAB N2 A 2 B 2 ω 2R

8 Seite 8 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Elektromotor Diese Charakteristik hat man immer dann, wenn das erregende Feld B unabhängig von der Drehzahl ist, bei Permanentmagneten oder wenn die Spule für die Erregerwicklung parallel zum Anker angeschlossen ist. Will man die Drehzahl erhöhen, muss man das Feld B schwächer machen. Ist die Erregerwicklung in Serie zur Ankerwicklung geschaltet, gibt es keine maximale Drehzahl. Eine lange Zylinderspule (Länge l, Windungszahl N) hat das Magnetfeld B Z = µ 0 N l I Für andere Geometrien gilt das gleiche Gesetz, aber mit einem geometrieabhängigen Vorfaktor K. Im statischen Falle ist der Strom nur vom Gleichstromwiderstand R E der Erregerspule abhängig. Wenn U E der Spannungsabfall an der Erregerspule ist, ist B(U E ) = K µ 0 N E l E U E R E Der durch den Anker fliessende Strom ist dann durch gegeben. I eff = U U E U eff,i R = K µ 0 N E l E I E = U R U E R NB(U E )A R ω 2

9 Seite 9 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Elektromotor Da I eff = I E ist, gilt oder Damit wird das Drehmoment Eingesetzt bekommt man I eff = U R R E R I eff µ 0 K N N E A l E R I eff ω 2 I eff = U R + R E + µ 0 K N N E A ω l E 2 M eff (ω) = NAB(I eff )I eff = NA µ 0N E Ieff 2 l E M eff = NA µ 0N E l E U R + R E + µ 0 K N N E A l E 2 2 ω Dieser Motor hätte, ohne Lagerreibung, eine unendlich grosse maximale Drehzahl. Das Startdrehmoment für ω = 0 ist M eff (0) = M max = NA µ [ ] 0N E U 2 l E R + R E

10 Seite 10 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Nebenschluss- und Hauptschlussmotor M Nebenschlussmotor und Hauptschlussmotor MN(x) MH(x) ω Kennlinien von Nebenschluss- und Hauptschlussmotoren.

11 Seite 11 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Betatron Skizze eines Betatrons

12 Seite 12 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Betatron Induktionsgesetz rote = B/ t m v 2 R = e v B(t) mv(t) = p(t) = e B R dp(t) = ee(t) dt E(t) ds = E(t) 2πR = d dt S(R) A(R) B(t) da = d B(t) dt wobei B das über die Fläche des Kreises gemittelte B-Feld ist. dp(t) dt = e R 2 d B dt πr 2 p(t) = e R B(t) 2 Der Vergleich mit der Bedingung für die Zentripetalkraft liefert die Wideroe-Bedingung B(t) = 2 B(t)

13 Seite 13 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Skin-Effekt Berechnung des Skin-Effektes

14 Seite 14 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Skin-Effekt E ds = d B da dt S A(S) Für die eingezeichnete Schlaufe gilt (da ist antiparallel zu B) h [E(r) E(r r)] = d( B) dt ( h r) [E(r) E(r r)] = d( B) r dt Da der Strom zeitabhängig ist, muss auch das E-Feld ortsabhängig sein. Eine homogene Stromverteilung bei Wechselstrom ist bei einem Ohmschen Leiter nicht vereinbar mit dem Induktionsgesetz. E (r, t) r = B (r, t) t Das elektrische Feld muss also bei Wechselstrom mit zunehmendem Abstand vom Radius zunehmen. Da der Gesamtstrom gegeben ist, ist die Stromdichte an der Oberfläche konzentriert. Dies ist der Skin-Effekt.

15 Seite 15 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Energie des Magnetfeldes U(t) = U 0 sin(ωt) U(t) = L İ(t) + R I(t) I S (t) = I 0 cos(ωt δ) I S (t) = U 0 cos ωt ωl P U (t) = U(t) I(t) = U2 2 0 U0 sin ωt cos ωt = ωl ωl 1 2 sin(2ωt) P U = U(t) I(t) = L I İ = d ( ) L dt 2 I2 Nun ist aber P = de/dt. E L = L 2 I2 B = µ 0 ni L = µ 0 n 2 Al E L = 1 2 µ 0n 2 Al ( B µ 0 n ) 2 = B2 2µ 0 Al Deshalb ist die Energiedichte des B-Feldes w B = B2 2µ 0

16 Seite 16 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Magnetismus in Materie Diamagnetische (Bi), paramagnetische (Al) und ferromagnetische (Fe) Materialien im inhomogenen Magnetfeld.

17 Seite 17 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Dia- und Paramagnetismus Kreisströme als Ursache des Dia- und des Paramagnetismus

18 Seite 18 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Satz von Larmor Illustration zum Satz von Larmor

19 Seite 19 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Satz von Larmor Langsames Einschalten eines Magnetfeldes für ein Elektron in einem Atom. Im linken Schaubild sind die positiven Richtungen definiert.

20 Seite 20 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Larmorfrequenz und Kreisel Berechnung der Larmorfrequenz mit einem Kreisel

21 Seite 21 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Diamagnetismus Berechnung des Diamagnetismus