Übungsblatt 06 PHYS3100 Grundkurs IIIb (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt)

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1 Übungsblatt 06 PHYS3100 Grundkurs IIIb (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt) Othmar Marti, oder Aufgaben 1. Die unten stehende Abbildung zeigt elf verschiedene Bahnkurven von Teilchen in einem homogenen Magnetfeld, wie sie in einem teilchenphysikalischen Experiment gemessen werden können. Abbildung aus Halliday, Resnick, Walker, Physik, Wiley Verlag, p. 833 Anders als bei der Teilchenphysik sind die Eigenschaften der Teilchen bekannt. Die unten stehende Tabelle gibt die Masse, die Ladung und die Geschwindigkeiten an. Übungsblatt vom oder c 004 University of Ulm, Othmar Marti

2 PHYS 3110 Grundkurs IIIb WH Übungsblatt 06 Teilchen Masse Ladung Geschwindigkeit 1 m q v m q v 3 3m 3q 3v 4 m q v 5 m q v 6 m q 8v 7 3m 0 3v 8 m q v 9 m 4q v 10 m q v 11 m q 3v Ordnen Sie die Teilchenbahnen den Teilchen zu. Welche Bahn wäre in einer ebelkammer nicht messbar?. Der Stab in der Abbildung habe den Widerstand R und der Widerstand der Schienen sowie die Kontaktwiderstände seien vernachlässigbar. An die Punkte a und b werde eine Spannungsquelle mit vernachlässigbarem Innenwiderstand so angeschlossen, dass der Strom im Stab nach unten fliesst. Zum Zeitpunkt t = 0 sei der Stab in Ruhe. (a) Bestimmen Sie die Kraft auf den Stab als Funktion der Geschwindigkeit v und formulieren Sie das zweite ewtonsche Gesetz für den Stab, wenn er die Geschwindigkeit v hat. (b) Zeigen Sie, dass der Stab eine endliche Endgeschwindigkeit erreicht, und stellen sie für diese eine Beziehung auf. (c) Wie gross ist die Stromstärke, wenn der Stab seine Endgeschwindigkeit erreicht? 3. In Elektromotoren schaltet man bisweilen einen Widerstand in Reihe zum Rotor, um den Anfangsstrom zu begrenzen, wenn der Motor seine enn- Übungsblatt vom oder c 004 University of Ulm, Othmar Marti

3 Übungsblatt 06 PHYS 3110 Grundkurs IIIb WH drehzahl noch nicht erreicht hat. Der Widerstand wird abgeschaltet, wenn der Motor mit normaler Drehzahl läuft. (a) Ein Motor habe den Widerstand 0.75Ω und nehme 8A bei 30V auf. Wie gross muss der Zusatzwiderstand bemessen sein, damit der Anfangsstrom 15A nicht überschreitet? (b) Wie gross ist die Gegeninduktionsspannung, wenn der Motor seine enndrehzahl erreicht hat und der Widerstand abgeschaltet ist? 4. Es gibt die folgenden zwei Bauarten für Motoren: Feldspule F U F + Feldspule U Anker Kommutator Anker Kommutator Achse A Achse A Feldspule F Feldspule F ebenschlussmotor Hauptschlussmotor Berechnen Sie für beide Motoren für ein Lastdrehmoment M die resultierende Drehzahl ω. Verwenden Sie für die Spulen (Anker und Feldspulen) Konstanten, die alle nicht vom Strom abhängigen Grössen beinhalten. Mitteln Sie weiter die Ströme und Drehmomente des Ankers über eine halbe Drehung. ehmen Sie an, dass die Feldspulen ein homogenes Magnetfeld erzeugen. Zeichnen Sie M(ω). Welcher Motortyp würde sich bei fehlender Last und verschwindender Reibung zerstören? Welcher Motortyp ist besser zur Beschleunigung aus dem Stand geeignet? 5. Zeigen Sie mit Hilfe der Lorentztransformation der Felder, dass B = µ 0 I πr ist. Übungsblatt vom oder c 004 University of Ulm, Othmar Marti

4 15,0 mm 4 PHYS 3110 Grundkurs IIIb WH Übungsblatt Ein nichtleitender Zylinder der Masse m = 0.4kg und der Länge L = 0.3m liegt auf einer schiefen Ebene. L m I B Auf den Hohlzylinder ist, parallel zur Unterlage, eine Spule mit 0 Windungen so aufgewickelt, dass die Ebene der Spule parallel zur schiefen Ebene ist. Wie gross muss der Strom in der Spule sein, damit der Zylinder in einem Magnetfeld B = 0.5T senkrecht zur Horizontalen gerade nicht rollt? 7. In der gezeigten Stromschleife (Alle Leiter sind parallel zu den entsprechenden Koordinatenachsen!) fliesst ein Strom von I = 5A. E 50 mm D I C z F y A B 18,0 mm Bestimmen Sie den Betrag und die Richtung des magnetischen Momentes m. x Übungsblatt vom oder c 004 University of Ulm, Othmar Marti

5 Übungsblatt 06 PHYS 3110 Grundkurs IIIb WH Lösungen 1. Bahnen in Magnetfeldern werden durch gegeben. Also ist F z = mv r = F L = qvb r = mv qb Im folgenden setzen wir B = 1 und beziehen alles auf die Grössen m, v und q. Teilchen Masse/m Ladung/q Geschwindigkeit/v r = mv q Aus der Zeichnung erhalten wir (inkl. Zuordnung) Bahn Durchmesser Zuordnung/q a +6 3 b 10 c + d 1 9 e +1 8 f 8 6 g +8 4 h 6 11 i 4 1 j 4 5 k 7. (a) Wir berechnen zunächst den durch den Stab fliessenden Strom. Die Spannungsquelle liefert eine Spannung U, und der Stab induziert aufgrund seiner Bewegung eine Gegenspannung mit dem Betrag Blv. Also ist die resultierende Spannung U Blv = IR. Daraus folgt I = (U Blv) /R. Wegen dieses Stromes im Stab wirkt auf ihn durch das magnetische Feld die Kraft F = IlB = (U Blv) Bl/R = ma. Übungsblatt vom oder c 004 University of Ulm, Othmar Marti

6 6 PHYS 3110 Grundkurs IIIb WH Übungsblatt 06 (b) Die Endgeschwindigkeit v e tritt auf, wenn F = 0 ist, also wenn gilt U Blv e = 0. Daraus folgt v e = U/ (Bl). (c) Bei der Endgeschwindigkeit ist der Strom im Stab I = (U Blv e ) /R = (a) Anfangs liegt keine Gegeninduktionsspannung vor, und der Strom ist I = U/R ges. Mit I = 15A ist R ges = 15.33Ω. Daher ist der Widerstand, der in Reihe zum Motor zu schalten ist, R = R ges 0.75Ω = 14,58Ω. (b) Bei normaler Drehzahl ist der Spannungsabfall über dem Motor U = (8A) (0.75Ω) = 6V. Weil der Motor mit 30 V betrieben wird, entsteht eine Gegenspannung von 4 V. 4. Wir betrachten zuerst den Elektromotor als Generator. Der Fluss durch die Leiterschlaufe mit Windungen und einer Fläche A ist φ B = BA cos Θ (1) wobei Θ der Winkel zwischen der ormalen der Fläche der Leiterschlaufe und der Richtung des Magnetfeldes ist. Mit Θ = ωt+δ wird der zeitabhängige Fluss durch eine sich mit ω drehende Leiterschlaufe φ B (t) = BA cos(ωt + δ) () Durch Ableiten erhält man die Induktionsspannung U = dφ B(t) dt = BA d cos(ωt + δ) = BAω sin(ωt + δ) (3) dt Die induzierte effektive Spannung ist U eff,i = BAω (4) Wir betrachten den ebenschlussmotor: Wenn die Leiterschlaufe mit Spannung versorgt wird, arbeitet sie als Motor. Durch den Strom I wird ein Drehmoment M = AB I sin Θ (5) erzeugt. Das mittlere Drehmoment bei einem Motor, bei dem der Kommutator immer bei dem Winkel, bei dem das Drehmoment null wird, das Vorzeichen ändert, ist M eff = AB I = ABI eff (6) Übungsblatt vom oder c 004 University of Ulm, Othmar Marti

7 Übungsblatt 06 PHYS 3110 Grundkurs IIIb WH Wenn der Widerstand des Ankers, der rotierenden Spule, R ist, kann man den mittleren Strom berechnen I eff = U U eff,i R = U R BA R ω (7) Damit hängt das Drehmoment von der Drehzahl ab ( U M eff (ω) = AB R BA ) R ω = ABU A B ω (8) R R Das Drehmoment des ruhenden Motors ist also M eff (0) = M max = ABU R und die maximale Drehzahl (da wo M eff = 0) ist U ω max = AB (9) (10) Diese Charakteristik hat man immer dann, wenn das erregende Feld B unabhängig von der Drehzahl ist, bei Permanentmagneten oder wenn die Spule für die Erregerwicklung parallel zum Anker angeschlossen ist. Will man die Drehzahl erhöhen, muss man das Feld B schwächer machen. un die Betrachtung für den Hauptschlussmotor: Ist die Erregerwicklung in Serie zur Ankerwicklung geschaltet, gibt es keine maximale Drehzahl. Eine lange Zylinderspule (Länge l, Windungszahl ) hat das Magnetfeld B Z = µ 0 l I = K m I (11) Für andere Geometrien gilt das gleiche Gesetz, aber mit einem geometrieabhängigen Vorfaktor K. Im statischen Falle ist der Strom nur vom Gleichstromwiderstand R E der Erregerspule abhängig. Wenn U E der Spannungsabfall an der Erregerspule ist, ist B(U E ) = K U E R E = KI E (1) Der durch den Anker fliessende Strom ist dann durch I eff = U U E U eff,i R gegeben. Wir erhalten I eff = U R I E R E R = U R U E R B(U E)A R ω (13) KI effa R ω Übungsblatt vom oder c 004 University of Ulm, Othmar Marti

8 8 PHYS 3110 Grundkurs IIIb WH Übungsblatt 06 oder und somit I eff = [ I eff 1 + KA R ω + R ] E = U R R U [ R 1 + R E R Das resultierende Drehmoment ist + KA R ω ] = U R + R E + KA ω U M eff = AKIeff = AK ( ) R + R E + KA ω Das Drehmoment des ruhenden Motors ist U M(0) = AK (R + R E ) Es gibt kein maximales Drehmoment, da M(ω) > 0 für alle ω ist. Dieser Motor wird durch Fliehkräfte zerrissen, wenn keine Reibung vorhanden ist. ebenschlussmotor und Hauptschlussmotor M ω M(x) MH(x) 5. ehmen wir an, die Linienladung λ bewege sich in die y-richtung mit der Geschwindigkeit v. Da das Problem rotationssymmetrisch um die y-achse ist, betrachten wir nur Felder entlang der x-achse. Das elektrische Feld der Linienladung auf der x-achse ist dann und E x (x) = 1 λ πɛ 0 x E y (x) = 0 Übungsblatt vom oder c 004 University of Ulm, Othmar Marti

9 Übungsblatt 06 PHYS 3110 Grundkurs IIIb WH Wir verwenden B z = γ ( B z + v ) c E x = γ v c E x und damit B z = γ v 1 λ c πɛ 0 x un ist λv = I. Weiter ist in diesem Falle das Bezugssystem S unser Laborsystem. Weiter gilt, dass c µ 0 ɛ 0 = 1 ist. Wir haben also B z = γ µ 0I πx Unter der Annahme, dass v c erhalten wir das klassische Resultat mit den richtigen Vektororientierungen. 6. Das Drehmoment eines magnetischen Momentes ist M = m m B Die ewtonschen Gesetze auf die Masse angewandt ergeben mg sin Θ F R = ma wobei F R die Reibungskraft und a die Beschleunigung der Masse ist. Wenn der Zylinder den Radius r hat, ist das mechanische Drehmoment F R r. Das magnetische Drehmoment ist mb sin Θ. Die Winkelbeschleunigung α ist F R r m m B sin Θ = Iα wobei I das Trägheitsmoment des Zylinders ist. Im statischen Falle ist a = 0 und α = 0. Wir bekommen F R = mg sin Θ F R = m mb sin Θ r und mg = m mb r Das magnetische Moment einer Spule hängt von der Fläche A = L r ab Also oder Also I = m m = IA = ILr mg = ILrB r I = mg LB = ILB A = 0.654A Übungsblatt vom oder c 004 University of Ulm, Othmar Marti

10 10 PHYS 3110 Grundkurs IIIb WH Übungsblatt Wir teilen die Schlaufe in zwei Teile auf, ABCDA und ADEF A. Die Ströme sollen so sein, dass sie sich auf der Strecke AD kompensieren. Wir haben also m = m ABCDA + m ADEF A Wir setzen a = BC = 50mm, b = AB = 18mm und c = AF = 15mm. Wir bekommen m ABCDA = I a b m ADEF A = I a c Die beiden Momente stehen senkrecht zueinander, also ist m = m ABCDA + m ADEF A = I a b + c = = Am = Am m liegt in der yz-ebene. m ABCDA zeigt in die z-richtung, m ADEF A in die +y-richtung. Der Winkel zur +y-achse ist also tan θ = m ABCDA m ADEF A = b c = 1. oder unter Berücksichtigung der Zweiwertigkeit des tan θ = 50 0 Übungsblatt vom oder c 004 University of Ulm, Othmar Marti