Vorlesung nach Tipler, Gerthsen, Alonso-Finn, Halliday Skript:

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1 PHYS3100 Grundkurs IIIb für Physiker Othmar Marti Experimentelle Physik Universität Ulm Vorlesung nach Tipler, Gerthsen, Alonso-Finn, Halliday Skript: Übungsblätter und Lösungen: Januar 2005 Universität Ulm, Experimentelle Physik

2 Klausur Datum und Uhrzeit , 10:00-12:00 Ort Hörsaal H2 Hilfsmittel 6 Seiten A4 (3 Blätter) handgeschrieben mit eigener Hand Tutorium am , Ort und Zeit sind Verhandlungssache Universität Ulm, Experimentelle Physik 1

3 Magnetisches Moment von Eisen: Küchentischexperiment Aufgabe: Bestimmen Sie mit einem zylinderförmigen Magneten (Eisennadel, Kompassnadel) einen Schätzwert für das magnetische Moment eines Eisenatoms. Hilfsmittel: Magnet, Faden, Stoppuhr und eventuell Waage. Hinweis: Die magnetische Induktion der Erde ist 50µT, wobei die geographische Breite nicht vergessen werden darf. Universität Ulm, Experimentelle Physik 2

4 Vektorpotential Das zu einer realen physikalischen Situation gehörende Vektorpotential A ist nicht eindeutig bestimmt. Die Wahl eines der zur gleichen Lösung von B gehörenden Potentiale nennt man Eichung In der Relativitätstheorie und in der Quantenmechanik rechnet man bevorzugt mit dem Vektorpotential. Universität Ulm, Experimentelle Physik 3

5 Vektorpotential II Aus der Gleichung für das Vektorpotential einer Stromverteilung A(x; y; z) = µ 0 i(x; y, z) U(x; y; z) = 1 ɛ 0 ρ el (x; y, z) (1) kann man die Umkehrfunktion berechnen und erhält, analog zur Elektrostatik, A ( r) = µ 0 4π i ( r) r r dv U ( r) = 1 4πɛ 0 ρel ( r) r r dv (2) Universität Ulm, Experimentelle Physik 4

6 Vektorpotential VIII Durch Integration der Formel von Laplace oder des Gesetzes von Biot-Savart bekommt man B( r) = µ 0I 4π Leiter d l ρ ρ 3 (3) Mit diesem Gesetz kann man das Magnetfeld einer beliebigen Spule berechnen. Achtung: nur die integrale Form hat eine physikalische Bedeutung! Die Formel von Laplace wird über das Vektorpotential berechnet. Universität Ulm, Experimentelle Physik 5

7 Hall-Effekt Universität Ulm, Experimentelle Physik 6

8 Lorentztransformation der Felder I Bewegte Magnetfelder und elektrische Felder. Universität Ulm, Experimentelle Physik 7

9 Skizze zur Transformation eines longitudinale E-Feldes (links) und des B-Feldes (rechts). Universität Ulm, Experimentelle Physik 8

10 σ = σ 1 v0 2 ( /c2 ) 2 (4) 1 /c 2 v 0 v 1 v v 0 1 v 2 0 /c ( 2 1 v v ) 0 c = σ 2 (1 v v 0 ) 2 c 2 (v0 v) 2 /c 2 = σ 1 2 v v 0 c 2 1 v 2 0 /c ( 2 1 v v ) 0 c 2 c 2 + v2 v v 2 0 /c ( 2 1 v v ) 0 c = σ 2 1 v 2 0 /v 2 1 v 2 /c 2 = σ γ ( 1 v v ) 0 c 2 c 4 v 2 0 /c2 v 2 /c 2 + 2vv 0 /c 4 Universität Ulm, Experimentelle Physik 9

11 Mit berechnet man v 0 = v 0 v 1 v v 0 c 2 ( v 0 σ = σ γ 1 v v ) 0 c 2 v 0 ( = σ γ 1 v v ) 0 v0 v c 2 1 v v 0 c 2 = σγ (v 0 v) (5) Damit ist E z = σ ɛ 0 = γ ( σ σv v ) 0 ɛ 0 ɛ 0 c 2 = γ (E z v B x ) (6) Universität Ulm, Experimentelle Physik 10

12 und B x = v 0 σ ɛ 0 c 2 = γ ( σ v0 ɛ 0 c 2 σ v ) ɛ 0 c 2 = γ ( B x v ) c 2E z (7) Skizze zur Transformation eines longitudinale E-Feldes (links) und des B-Feldes (rechts). Universität Ulm, Experimentelle Physik 11

13 Bewegung in die y-richtung mit v = (0; v y ; 0) (γ = 1 v2 /c 2 ) E x = γ (E x + v B z ) (8) E y = E y E z = γ (E z v B x ( B x = γ B x v ) c 2E z B y = B y ( B z = γ B z + v ) c 2E z Universität Ulm, Experimentelle Physik 12

14 Leiterschleife bewegt Induktion eines Stromes in einer in einem inhomogenen Magnetfeld bewegten Leiterschlaufe. Universität Ulm, Experimentelle Physik 13

15 Stabmagnet und Spule Vergleich eines Stabmagneten mit einer Spule. Universität Ulm, Experimentelle Physik 14

16 Induzierte Spannung Induzierte Spannung Universität Ulm, Experimentelle Physik 15

17 Selbstinduktion Selbstinduktion Universität Ulm, Experimentelle Physik 16

18 Magnetischer Fluss φ B = B d A (9) magnetischer Fluss durch die Fläche A A U EMK = dφ B dt = d dt A(S) B d A (10) Universität Ulm, Experimentelle Physik 17

19 Die Induktionsspannung und der Strom, den sie bewirkt, sind stets so gerichtet, dass sie der Ursache entgegenwirken. Universität Ulm, Experimentelle Physik 18

20 Wirbelströme Wirbelströme in Metallen Universität Ulm, Experimentelle Physik 19

21 Faradaysches Gesetz, Induktionsgesetz E d s = d dt B d a (11) S A(S) rot E = B t (12) Universität Ulm, Experimentelle Physik 20

22 Transformator Zwei gekoppelte Stromkreise Universität Ulm, Experimentelle Physik 21

23 Der magnetische Fluss am Punkt P 2 hängt sowohl vom Strom I 2 wie auch vom Strom I 1 ab: φ B (P 2 ) = L 2 I 2 + M 12 I 1 (13) Ebenso hängt der magnetische Fluss am Punkt P 1 von beiden Strömen ab φ B (P 1 ) = L 1 I 1 + M 21 I 2 (14) Neben der Selbstinduktivität L i müssen bei realen Systemen auch die Gegeninduktivitäten M ij berücksichtigt werden. Wie bei den Induktivitäten hängt auch bei den Gegeninduktivitäten die Grösse allein von der Geometrie ab. Universität Ulm, Experimentelle Physik 22

24 Symbolische Darstellung eines Transformators Universität Ulm, Experimentelle Physik 23

25 Die Gegeninduktivität ist M 21 = φ B 1 I 2 = µ 0 n 1 n 2 l(πr 2 1) = M 12 (15) Diese Beziehung, die an einem Spezialfall gezeigt wurde, gilt auch allgemein (ohne Beweis). Universität Ulm, Experimentelle Physik 24

26 Schematischer Aufbau eines Transformators Für Spannungen U 2 = N 2 N 1 U 1 (16) N 2 /N 1 heisst der Übersetzungsfaktor des Transformators. Universität Ulm, Experimentelle Physik 25

27 Wird der Ausgang des Transformators mit R belastet, fliesst der Strom I 2, der zu U 2 in Phase ist. I 2 erzeugt einen magnetischen Fluss φ B N 2I 2, der den ursprünglichen Fluss φ B durch die Spule 2 schwächt. Da durch beide Spulen der gleiche magnetische Fluss fliesst, muss auch der Fluss durch die erste Spule geschwächt werden. Da die Spannung durch die Spannungsquelle U vorgegeben ist, muss der Strom I 1 auf der Primärseite zusätzlich fliessen, so dass φ B N 1I 1 gilt. I 2 = N 1 N 2 I 1 (17) Wenn wir die Effektivwerte betrachten haben wir damit [ U 2 I 2 = N ] [ 2 U 1 N ] 1 I 1 = U 1 I 1 (18) N 1 N 2 sofern man Verluste vernachlässigt. Ideale Transformatoren übertragen also verlustfrei Leistung. Universität Ulm, Experimentelle Physik 26

28 Kirchhoffsche Gesetze Kirchhoffsche Gesetze: links die Maschenregel, rechts die Knotenregel. Universität Ulm, Experimentelle Physik 27

29 U k = U j (19) k Quellen j Verbraucher I k = 0 (20) k eines Knotens Universität Ulm, Experimentelle Physik 28

30 Wechselstromkreise und Impedanzen Definition von Strömen und Spannungen bei Wechselspannungen Universität Ulm, Experimentelle Physik 29

31 Rechnen mit komplexen Impedanzen U(t) = Ûeiωt Ableitung I(t) = Îeiωt U(t) t = iωûeiωt Universität Ulm, Experimentelle Physik 30

32 unbestimmtes Integral, Stammfunktion U(t)dt = 1 iωûeiωt Ohmsches Gesetz U(t) = R I(t) Universität Ulm, Experimentelle Physik 31

33 Kapazität C Kondensator mit Wechselspannung Universität Ulm, Experimentelle Physik 32

34 U(t) t = 1 C I(t) mit X C = 1 iωc iωûeiωt = 1 CÎeiωt Ûe iωt = 1 iωcîeiωt U(t) = 1 iωc I(t) Û = 1 iωcî U(t) = X C I(t) Universität Ulm, Experimentelle Physik 33

35 Induktivität L Spule mit Wechselspannung Universität Ulm, Experimentelle Physik 34

36 U(t) Selbstinduktion = L I(t) t wir haben: U Selbstinduktion = U angelegt. Dann ist U(t) = L I(t) t Ûe iωt = iωlîeiωt U(t) = iωli(t) Û = iωlî mit X L = iωl U(t) = X L I(t) Universität Ulm, Experimentelle Physik 35

37 Schwingkreis Schwingkreis Universität Ulm, Experimentelle Physik 36

38 L di dt + Q C = 0 Die Resonanzfrequenz ist iωli + 1 iωc I = 0 ω 2 = 1 LC Universität Ulm, Experimentelle Physik 37

39 Schwingkreis mit Widerstand Schwingkreis mit Widerstand Universität Ulm, Experimentelle Physik 38

40 L di dt + R I + Q C = 0 iωl I + R I + I iωc = 0 ω 2 iω R L 1 LC = 0 Universität Ulm, Experimentelle Physik 39

41 ω = ir L ± R2 L LC 2 = i R 2L ± R2 4L LC Universität Ulm, Experimentelle Physik 40

42 Schwingkreis mit Widerstand, an Spannungsquelle + + U(t) - C L R Schwingkreis mit Widerstand an Spannungsquelle Universität Ulm, Experimentelle Physik 41

43 U(t) = Ûeiωt = iωl I + R I + I iωc Ûe iωt = iωl Îeiωt + R Îeiωt + Îeiωt iωc Y = 1 X = Î Û = 1 iωl + R + 1 iωc Universität Ulm, Experimentelle Physik 42

44 Y = iωc ω 2 CL + iωrc + 1 = iω L 1 CL ω2 + iω R L mit ω 0 = 1/(CL) Y = iω ω 0 C ω 2 0 ω2 + iω R L Universität Ulm, Experimentelle Physik 43

45 Elektromotoren Prinzipbild eines Elektromotors Universität Ulm, Experimentelle Physik 44

46 Nebenschlussmotor und Hauptschlussmotor MN(x) MH(x) M Kennlinien ω Universität Ulm, Experimentelle Physik 45

47 Betatron Skizze eines Betatrons Universität Ulm, Experimentelle Physik 46

48 Skineffekt Berechnung des Skin-Effektes Universität Ulm, Experimentelle Physik 47

49 Energie im Magnetfeld Berechnung der Energie im Magnetfeld Universität Ulm, Experimentelle Physik 48

50 Magnetische Eigenschaften Diamagnetische (Bi), paramagnetische (Al) und ferromagnetische (Fe) Materialien im inhomogenen Magnetfeld. Universität Ulm, Experimentelle Physik 49

51 Kreisströme als Ursache des Dia- und des Paramagnetismus Universität Ulm, Experimentelle Physik 50

52 Satz von Larmor Illustration zum Satz von Larmor Universität Ulm, Experimentelle Physik 51

53 Langsames Einschalten eines Magnetfeldes für ein Elektron in einem Atom. Im linken Schaubild sind die positiven Richtungen definiert. Universität Ulm, Experimentelle Physik 52

54 Larmorwinkelgeschwindigkeit Ω = e 2m e B (21) In einem mit der Winkelgeschwindigkeit Ω rotierenden System sind die Elektronenbahnen im Atom unverändert. Universität Ulm, Experimentelle Physik 53

55 Berechnung der Larmorfrequenz mit einem Kreisel Universität Ulm, Experimentelle Physik 54

56 vektorielle Schreibweise der Larmorfrequenz Ω = e B (22) 2m Universität Ulm, Experimentelle Physik 55

57 Diamagnetismus Berechnung des Diamagnetismus Universität Ulm, Experimentelle Physik 56

58 Ein einzelner Kreisstrom Universität Ulm, Experimentelle Physik 57

59 Magnetismus Atomare Kreisströme Universität Ulm, Experimentelle Physik 58

60 Elektronenspin Elektronenspin Universität Ulm, Experimentelle Physik 59

61 Paramagnetismus Curie-Gesetz Universität Ulm, Experimentelle Physik 60