Übungen zu Experimentalphysik 2

Transkript

1 Physik Department, Technische Universität München, PD Dr. W. Schindler Übungen zu Experimentalphysik 2 SS 3 - Übungsblatt 7 Wechselstrom In der Zeichnung ist ein Stromkreis mit reellen (Ohmschen) sowie imaginären (Kondensator, Spule) Widerständen abgebildet: (R = 0, R 2 = 40, X L = 30, X C = 0 und U 0 = 0 V ) (a) Um den Gesamtwiderstand auszurechnen, muss der Stromkreis in Elemente aufgeteilt werden, die sich sinnvoll berechnen lassen. Rechnen Sie also zunächst die komplexen Widerstände Z der beiden Zweige aus. Skizzieren Sie zur Veranschaulichung vorher die Widerstände in einem Zeigerdiagramm. X C R 2 (b) Berechnen Sie nun die Stromstärken in den Zweigen und die Phasenlage des Stroms gegenüber der Spannung. (Zeigerdiagramme helfen!) (c) Fertigen Sie ein Zeigediagramm für den Strom an und verwenden Sie es, um die Amplitude und Phasenlage des Gesamtstroms zu ermitteln. (d) Warum zeigen in den einzelnen Zweigen Strom- und Impedanzzeiger in unterschiedliche Richtungen? (Vergleiche Skript: 3.4) U R X L (a) Im Zweig mit R ist Z = R 2 + X2 C R2 2 + X2 /2 L = 50 /2 = 4,. Im Zweig mit R2 ist Z 2 =

2 (b) Im Zweig mit R ist I 0 = U 0 /Z = 0V 4, =7, 78 A. mzweigmitr 2 ist I 0 = U 0 /Z = 0V 50 =2, 2 A. Der Strom im Zweig eilt der Spannung um ' voraus, wobei gilt: cos' = R/Z =/ p 2 und damit ' = 45 Grad. Im Zweig 2 eilt der Strom der Spannung um ' nach, wobei gilt: cos' = R/Z 2 =4/5 und damit ' = 36, 9 Grad. (c) Das Vektordigramm zeigt den Strom I =7, 78 A im Zweig, der der angelegten Spannung um 45 Grad voreilt, und den Strom I 2 =2, 2 A im Zweig 2, der der angelegten Spannung um 36,9 Grad nacheilt. Der Gesamtstrom entspricht der Vektorsumme der Einzelströme: (I ges ) x = I cos(45 )+I 2 cos(36, 9 ) (I ges ) y = I sin(45 ) I 2 sin(36, 9 ) Amplitude des Gesamtstroms: I ges = I 2 ges,x + I 2 ges,y /2 =8, 38 A und die Phasenlage: tan' = Iges,y I ges,x =) ' = 30, 6 Grad 2

3 (d) In Wechselstromkreisen gilt I = U/Z.BeimTeilendurchdieImpedanzändertsichdeshalb das Vorzeichen der Phase: I = U/Z = Û ei!t Ẑ e i = Î ei(!t ) 2 Kondensator im Stromkreis (alte Klausuraufgabe) Ein Kondensator der Kapazität C = 5nF werde mit einem großen Ohmschen Wiederstand von R =M parallelgeschalten. Um zu berücksichtigen, dass in realen Kondensatoren immer kleine Leckströme fließen, wurde in nebenstehender Abbildung der Kondensator durch ein Ersatzschaltbild ersetzt. Zunächst sei eine Gleichspannung von U = 240 V angelegt. Es fließt ein Strom von I =0, 40 ma. (a) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand R sowie den Ohmschen Widerstand R 2. (b) Wie groß sind die Ströme durch R,R 2 und C? Es sei nun U eine sinusförmige Wechselspannung der Frequenz f = 50 Hz. (c) Berechnen Sie den Wechselstromwiderstand dieser Schaltung X RkC sowie die Phasenverschiebung 4' zwischen Strom und Spannung. Fertigen Sie dazu ein Zeigerdiagramm an! (a) Der Gesamtwiderstand beträgt U = R I R = U I = 240 V A = und damit ergibt sich z.b. aus der Knotenregel R = R + R 2 R 2 = R R = = und somit (b) Der Strom durch C ist Null (Gleichspannung). Die Ströme durch R und R 2 sind: U = R I I = U R = 240 V =0.24 ma I 2 = I I =0.40 ma 0.24 ma = 0.6 ma (c) Gesamtstrom aus dem Zeigerdiagramm: q I = IR 2 + I2 C Mit und folgt: I R = U R I C = U R C q I RkC = U = U!C R 2 +(!C) 2 Gesamtwiderstand ergibtsich mit! =2 f daraus zu: X RkC = U I RkC = R 2 +(2 f C) 2 /2 3

4 X RkC = /2 +(2 50 Hz F) 2 ) = Phasenverschiebung aus dem Zeigerdiagramm: tan(4') = I C IR = U!C U/R = R 2 f C tan(4') = Hz F=0.94 4' = Wechselstromkreis Ein Kondensator bzw. eine Spule mit vernachlässigbarem Ohmschen Widerstand werden einzeln zwischen den Punkten A und B der nebenstehenden Schaltung an einen Sinusgenerator mit der Spannung U(t) =U m sin (!t) angeschlossen. Ein Zweikanal-Oszilloskop zeigt jeweils die folgende Darstellung der Spannung U(t) und der sich einstellenden Stromstärke I(t). Die Stromstärke wird dabei mit Hilfe des Ohmschen Widerstandes R =.0 in ein Spannungssignal umgewandelt. Der Einfluss von R auf die Anzeige des Kanals soll vernachlässigt werden. In beiden Fällen gilt: Horizontalablenkung: Vertikalablenkung:.0 ms cm 2.0 V mv für Kanal, 0 für Kanal 2 cm cm (a) Ordnen Sie jedes Oszilloskopbild dem richtigen Schaltelement (Kondensator oder Spule) zu. (b) Leiten Sie allgemein die Formel für den Wechselstromwiderstand R C eines Kondensators her. (Besprechung optional, je nach verbleibender Zeit in der Übung) 4

5 (c) Bestimmen Sie anhand der Oszilloskopbilder die Kapazität C des Kondensators sowie die Induktivität L der Spule. (a) Vorüberlegung: Durch Kanal wird die Spannung am jeweiligen Element dargestellt. Durch Kanal 2 wird eine Spannung dargestellt, die proportional zum Strom ist. Im linken Bild eilt die Spannung dem Strom voraus, somit gehört dieses Bild zur Spule. Im rechten Bild eilt der Strom der Spannung voraus, somit gehört dieses Bild zum Kondensator. (b) (optional, je nach verbleibender Zeit - ansonsten auf s Skript bzw. die Vorlesung verweisen) Maschenregel (Vernachlässigung von R laut Angabe): U(t) =U C (t) U 0 sin (!t) = Q(t) C Differentiation nach t auf beiden Seiten liefert (mit I(t) = Q(t)):!U 0 cos (!t) = I(t) C I(t) =!C U 0 cos (!t) =I 0 cos (!t) (c) Mit I 0 =!C U 0 aus obiger Gleichung und dem ohmschen Gesetz U 0 = R I 0 ergibt sich: R C =!C (vgl. Skript S. 29-3) Spule: aus dem linken Bild kann man ablesen: U 0 =6V I 0 = 9 ma (da U R = 9 mv und R =.0 ) T =4.0ms (aus den Amplituden von Kanal und 2 in y-richtung, sowie der Periodenlänge in x-richtung) Über den induktiven Widerstand der Spule lässt sich nun die Induktivität berechnen: R L =!L U 0 I 0 = 2 T L U 0T =0.20 H 2 I 0 L = Kondensator: aus dem rechten Bild kann man ablesen: U 0 =6V I 0 = 24 ma (da U R = 24 mv und R =.0 ) T =4.0ms 5

6 (aus den Amplituden von Kanal und 2 in y-richtung, sowie der Periodenlänge in x-richtung) Über den kapazitiven Widerstand des Kondensators lässt sich nun die Kapazität berechnen: R C =!C U 0 = T I 0 2 C C = I 0T = F 2 U 0 6