9. RLC-Schaltungen. Wechselstrom-Netzwerke

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1 . LC-Schaltungen Wechselstrom-Netzwerke ichtungskonvention nicht genauso wie in Gleichstromnetzwerken: ichtung kehrt sich ständig um. Polarität von Spannung und Strom ist bei Phasenverschiebung nicht immer in gleicher ichtung. ückspeisung der Quelle

2 Hz Frequenz Hz Funktion C = 22 nf = 720 Ω u e u C u i Messung der Phasenverschiebung zwischen der Eingangsspannung u e und dem Strom i Grundschaltelemente, L, C im Wechselstromkreis U L U L C U C Bezugszeiger für alle Zeigerdiagramme ist der Strom mit ϕ i = 0 ϕ ui = -0 ϕ ui =0 ϕ ui = 0 Z = Z L = j ωl Z C = - j ωc U = e j0 U L = ωl e j0 U C = /ωce -j0 P = 2 Q L = ωl 2 Q C = - (/ωc) 2 Blindleistungen

3 Grundschaltelemente, L, C im Wechselstromkreis: Bei der Zusammenschaltung der Grundschaltelemente entstehen: komplexe pedanzen Z = + X bzw. Z = + jx komplexe Admittanzen Y = G + B bzw. Y = G + jb Die in diesen Schaltungen umgesetzte Scheinleistung S besteht aus: Wirkleistung P und Blindleistung Q S = P + Q bzw. S = P + jq Serien- und Parallelschaltungen Serienschaltung ) Widerstand und Kondensator 2) Widerstand und Spule Berechung jeweils von Einzel- und Gesamtspannungen und Leistung (komplex!) Parallelschaltung 3) Widerstand und Kondensator 4) Widerstand und Spule Berechung jeweils von Einzel- und Gesamtspannungen und Leistung (komplex!)

4 ihenschaltung von pedanzen Vorgehensweise zur Analyse von Wechselstromnetzwerken analog zu Gleichstromnetzwerken, aber: komplexer Strom ist Bezugsgröße für die Phase einzelne Spannungen zu Gesamtspannung in komplexer Ebene addieren (komplexe chnung oder Zeigerdiagramm) komplexe Scheinleistung aus komplexem Strom und komplexer Spannung berechnen(komplexe chnung oder Zeigerdiagramm) ihenschaltung von und L im Wechselstromkreis U ges U U L Gesucht sind die pedanz Z ges, die Spannungen U, U L und U ges mit ihren Phasenwinkeln. Wie schon bei Gleichstromnetzwerken ist bei ihenschaltungen die Bezugsgröße für alle Berechnungen der Strom mit ϕ i = 0 Für ihenschaltungen gilt: Z ges = + j X Z ges = + j ωl Wirkwiderstand Blindwiderstand X L = ωl

5 Die pedanz Z ges in der komplexen Zahlenebene Z ges = + j ωl Z ges jωl Berechnung der Spannungen: U = e j0 = U L = jx L e j0 = jωl = ωl e j0 e j0 = cos(0 ) + j sin(0 ) = 0 + j() = j Z ges = 2 + (ωl) 2 ωl ϕ Z = arctan( ) jϕ Z ges = e Z Z ges Uges U L U ges = U + U L U ges = e j0 ϕ ( + jωl) ui = ϕ Z = e j0 Z e jϕ Z ges U ihenschaltung von und L im Wechselstromkreis: Berechnung der Leistungen U U ges Wirkleistung in : Blindleistung in X L : Scheinleistung in Z: U L P = 2 Q = 2 ωl S = P + jq S Q S = P 2 + Q 2 S = U ges P = S cos(ϕ Z ) Q = S sin(ϕ Z ) Leistungsfaktor = cos(ϕ Z ) ϕ Z P

6 ihenschaltung von und C im Wechselstromkreis Wie schon bei Gleichstromnetzwerken ist bei ihen- U U schaltungen die Bezugsgröße C U für alle Berechnungen der ges Strom mit ϕ i = 0 Gesucht sind die pedanz Z ges, die Spannungen U, U C und U ges mit ihren Phasenwinkeln. Für ihenschaltungen gilt: Z ges = + j X C Z ges = + jωc Wirkwiderstand Blindwiderstand X C = - = - j ωc ωc Die pedanz Z ges in der komplexen Zahlenebene Z ges = - j ωc Z ges Berechnung der Spannungen: U = e j0 = U C = jx C e j0 = -j /ωc = [/ωc]e -j0 -j /ωc e j 0 = cos( 0 ) + j sin( 0 ) = 0 + j( ) = j Z ges = 2 + (/ωc) 2 ϕ Z = -arctan( ) ωc jϕ Z ges = Z ges e Z ϕ ui = ϕ Z U U ges = U + U C U ges = e j0 ( - j /ωc) = e j0 jϕ Z ges e Z U ges U C

7 ihenschaltung von und C im Wechselstromkreis Berechnung der Leistungen U U C U ges P Wirkleistung in : P = 2 Blindleistung in X C : Q = 2 {-j(/ωc)} Scheinleistung in Z: S = P + jq S = P 2 + Q 2 S = U ges P = S cos(ϕ Z ) Q = S sin(ϕ Z ) Leistungsfaktor = cos(ϕ Z ) ϕ Z S Q Parallelschaltung von pedanzen Vorgehensweise zur Analyse von Wechselstromnetzwerken analog zu Gleichstromnetzwerken, aber: komplexe Spannung ist Bezugsgröße für die Phase einzelne Ströme zu Gesamtstrom in komplexer Ebene addieren (komplexe chnung oder Zeigerdiagramm) komplexe Scheinleistung aus komplexem Strom und komplexer Spannung berechnen (komplexe chnung oder Zeigerdiagramm)

8 Parallelschaltung von und L im Wechselstromkreis U ges L L Y = G + jb = / + /jωl = Wie schon bei Gleichstromnetzwerken ist bei Parallelschaltungen die Bezugsgröße für alle Berechnungen die Spannung U mit ϕ u = 0 Gesucht sind die Admittanz Y, die Ströme, L und ges mit ihren Phasenwinkeln. Admittanz Y = komplexer Leitwert: Y = Wirkleitwert G = -j ωl Z Blindleitwert B = - ωl Die Admittanz Y in der komplexen Zahlenebene Y = -j / ωl Y = / 2 + (/ωl) 2 Y Berechnung der Ströme: = G Ue j0 = U/ L = jb L Ue j0 = U/ωL e -j0 -j /ωl ϕ Y = -arctan( ) ωl Y = Y e Y U ϕ iu = ϕ Y ges = + L ges = Ue j0 (G + jb) = Ue j0 Ye jϕ Y ges L

9 Parallelschaltung von und L im Wechselstromkreis ges L Berechnung der Leistungen P ϕ Y U L Wirkleistung in G: P = U 2 / Blindleistung in B L : Q L = U 2 /jωl = -j U 2 /ωl Scheinleistung in Y: S = U 2 (/ - j /ωl) S Q Parallelschaltung von und C im Wechselstromkreis Wie schon bei Gleichstromnetzwerken ist bei Parallel- ges schaltungen die Bezugsgröße für alle Berechnungen die C Spannung U mit ϕ u = 0 U C Gesucht sind die Admittanz Y, die Ströme, C und ges mit ihren Phasenwinkeln. Admittanz Y = komplexer Leitwert: Y = Z Y = G + jb = / + jωc = + jωc Wirkleitwert G = Blindleitwert B = ωc

10 Die Admittanz Y in der komplexen Zahlenebene Y = + jωc Y jωc Y = / 2 + (ωc) 2 / Berechnung der Ströme: ϕ Y = arctan(ωc) Y = Y e jϕ Y = G Ue j0 = U/ ges C C = jb Ue j0 = UωC e j0 ges = + C ges = Ue j0 (G + jb) = Ue j0 Ye jϕ Y ϕ i = ϕ Y U Parallelschaltung von und C im Wechselstromkreis Berechnung der Leistungen ges C S Q U C Wirkleistung in G: P = U 2 / Blindleistung in B L : Q C = U 2 jωc Scheinleistung in Y: S = U 2 (/ + jωc) ϕ Z P

11 aler Transformator Als Beispiel für ein Wechselspannungs-Netzwerk mit verschiedenen pedanzen dient der reale Transformator unter Berücksichtigung der Drahtwiderstände und der magnetischen Streuverluste. u i 2 i 2 u 2 L L 2 Die Gegeninduktivität ist M 2 = M 2 = M. Die Spannung lassen sich schreiben als di u = L dt + i + M di 2 dt Vorzeichen: laut Definition u = L di/dt und di u 2 = L 2 2 dt + i + M di 2 2 dt Streuverluste im realen Transformator Da die magnetischen Streufelder nicht zur Gegeninduktivität beitragen, können wir die nduktivitäten in je zwei Anteile aufteilen: Die Streuinduktivität L σ und die Hauptinduktivität L h, L = L σ + L h und L 2 = L 2σ + L 2h wobei die Hauptinduktivitäten einen idealen Trafo ohne Verluste (Kupfer, Streuung) bilden und zur Gegeninduktivität beitragen: M = L mit L h = ü 2 h L 2h L h2 ist M = L h L h /ü 2 = L h /ü = ül 2h di u = L σ dt + L di h dt + i + L h ü di u 2 = L 2 2σ dt + L h di 2 ü 2 dt + i + L h 2 2 ü di 2 dt = L di σ dt + L h di dt = L di 2 2σ dt + L h ü di dt + ü di 2 dt + i di 2 ü dt + di dt + i 2 2

12 Ersatzschaltbild mit Streuverlusten i 2 /ü i L σ L 2σ 2 i 2 u u u L 2 h h u h2 ü Man kann zusammenfassen di u h = L h dt + di 2 u ü dt h 2 = L h und ü in einem neuen Ersatzschaltbild di 2 ü dt + di dt i L σ L 2σ 2 i 2 u u L 2 h u h in u h = üu h 2 u' 2 = üu 2 i' 2 = i 2 /ü ' 2 = ü 2 2 L' 2σ = ü 2 L 2σ Ersatzschaltbild mit Eisenverlusten i L σ L 2σ 2 i 2 u u L 2 u h h FE Durch L h und FE fließt der Strom i 0 =i µ +i FE. Dabei beschreibt i FE die Ummagnetisierungsverluste im Eisenkern und i µ den Magnetisierungsstrom. Für das Wechselstromersatzschaltbild ersetzen wir die nduktivitäten durch ihre pedanzen X=ωL

13 Blindstromkompensation ihenschaltung von und L im Wechselstromkreis U N = 0Ω, L = 38 mh, U N = 230V, 50 Hz U U L Z ges = 2 + (ωl) 2 U N U L Z ges = (0Ω) 2 + (2π 50 0,38) 2 ϕ ui = ϕ Z U = U/Z = 2,3 A Z ges = 00,4 Ω ωl ϕ Z = arctan( ) 2π 50 0,38 ϕ Z = arctan( ) 0 ϕ Z = 84,28 Welche Maßnahme kann ergriffen werden, damit die Netzspannung U N und der Strom in Phase liegen? U N L ichtung von C, senkrecht auf U N, 0 voreilend U C C U N L U L ϕ ui = ϕ Z Der Strom teilt sich jetzt auf in L und C, dadurch kann - bei geeigneter Dimensionierung von C - die Phasenverschiebung zwischen U N und Null werden. U N und sind jetzt in Phase, d.h. dem Netz wird nur Wirkleistung entnommen.

14 ichtung von C, senkrecht auf U N, 0 voreilend U N ϕ ui = ϕ Z Aus dem Betrag von C kann die Größe der Kapazität berechnet werden. C = L + C C = U N ωc C = C /U N ω L unterkompensiert, die Schaltung verhält sich noch induktiv überkompensiert, die Schaltung verhält sich jetzt kapazitiv. U N U N = L + C C = L + C C L L

15 Blindstromkompensation Zusammenfassung C-Parallel und ihenschaltung Zeigerdiagramm Leistung, Leistungsfaktor cosφ L-Parallel und ihenschaltung Zeigerdiagramm Leistung, Leistungsfaktor cosφ aler Transformator Blindstromkompensation Nächste Vorlesung Ortskurven

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