Kapitel 6: Grundlagen der Wechselstromtechnik

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1 Inhalt Kapitel 6: Grundlagen der technik Sinusförmige Signale Zeigerdarstellung Darstellung mit komplexen Zahlen komplexe Widerstände Grundschaltungen Leistung im kreis Ortskurven Übertragungsfunktion ief-/hochpass

2 Sinusförmige Signale Momentanwerte: u (t), i I(t) Sinus-Signal: u uˆ sin( ω t + ϕu ) mit Amplitude û ω heißt Kreisfrequenz, zugehörige Frequenz ist ϕ u heißt Nullphasenwinkel ω π Gleichrichtwerte: u u dt, Für sinusförmige Signale gilt:, f 0 u, Periodendauer ist i uˆ π i 0 i dt π iˆ f π ω

3 Sinusförmige Signale () Effektivwerte:, Für sinusförmige Signale gilt:, 0 u d Darstellung von u uˆ sin( ωt) und i iˆsin( ω t +ϕ i ) als Zeiger im Zeigerdiagramm: t I û 0 i d I t î 3

4 Komplexe Zahlen Komplexe echnung ermöglicht mathematische Beschreibung von Zeigerdarstellungen! Komplexe Zahl Z + j mit j, ealteil e(z), und Imaginärteil Im(Z) Betrag von Z: ichtungswinkel: Es gilt: Z cos ϕ, Z sin ϕ Eulerscher Satz: Z Z + ϕ arctan Z Konjugiert komplexe Zahl von Z: Z * j Ze jϕ jϕ Ze Z ( cosϕ + jsinϕ) 4

5 Komplexe Zahlen () Addition: Z Z + Z + + j( + ) Multiplikation: Z Z Z Z Z ej(φ + φ) Division: Z /Z Z /Z e j(φ φ) Kehrwert: /Z /Z e jϕ + j( + ) Eine Wechselspannung u uˆ sin( ω t + ϕu ) kann mit komplexen Zahlen geschrieben werden als Drehzeiger e j( ωt + ϕ ) u mit cos( ωt + ϕ ) + u uˆ / j sin( ωt + ϕ ) Oft wird nur der Festzeiger e jϕ verwendet. u 5

6 kreise durch Widerstand: Spannung und Strom sind in Phase! u uˆ i sinωt jωt I e durch Spule: Spannung eilt Strom um π/ vor (ϕ 90 ): u di L dt d(ˆ i sinωt) L dt Blindwiderstand einer Spule: L ωl j L I jωl I jωl I e jωt Impedanz einer Spule: iˆ ωl cosωt Z j L jωl I 6

7 kreise () durch Kondensator: Spannung läuft Strom um π/ nach (ϕ 90 ) : du d( uˆ sinωt) i C C iˆ ωc cosωt dt dt Blindwiderstand eines Kondensators: C ωc ωc I jωc jωce j j C j C wird als Impedanz eines Kondensators bezeichnet jωt 7

8 kreise (3) in eihenschaltung aus Spule und Widerstand: Bei sinusförmigem Strom I ergibt sich: + L I + ωl I Amplitude der Spannung: uˆ iˆ + ( ωl) Phasenverschiebungswinkel: ϕ arctan Impedanz der eihenschaltung: Z I resultierender Scheinwiderstand: Z I ωl + jωl + ( ωl) 8

9 kreise (4) in eihenschaltung aus Kondensator und Widerstand: Bei sinusförmigem Strom I ergibt sich: + C I + I I j I jωc ωc Phasenverschiebungswinkel: ϕ arctan ωc Impedanz der eihenschaltung: Z j I ωc resultierender Scheinwiderstand: Z + ωc 9

10 eihen- und Parallelschaltung mwandlung eihenschaltung aus Wirk- und Blindwiderstand in eine Parallelschaltung: Gegeben ist eine eihenschaltung mit Impedanz Z + j zugehörige Admittanz: Admittanz der Parallelschaltung: Gleichsetzen Y Y liefert j Z Y + j j Z Y

11 eale Bauelemente eale Spule hat in Wicklungen stets Innenwiderstand i : Impedanz der realen Spule: Z i + jωl ωl Spulengüte: QL i Verlustwinkel: δ 90 ϕ arctan ωl ealer Kondensator hat inneren Verlustwiderstand i : Admittanz des realen Kondensators: Verlustwinkel: δ 90 ϕ arctan bei leitendem Dielektrikum gilt: i A κ mit C ε folgt: δ arctan d ωε Y + jωc i iωc d d ρ A κ A

12 Leistung im kreis Fließt durch eine Zweipol der Strom i î sin ωt und ist die Spannung u û sin(ωt + φ) mit der Phasenverschiebung von ϕ zwischen Strom und Spannung, so beträgt mit p u i ) die Wirkleistung: P I cos φ ) die Blindleistung: Q I sin φ 3) die Scheinleistung: S I P + Q û î wobei und I die Effektivwerte darstellen. Nur für die Wirkleistung wird die Einheit Watt benutzt. P Das Verhältnis cosϕ heißt Leistungsfaktor. S Zweipol

13 Leistung im kreis () Komplexe Darstellung der Leistung: Mit e j ϕ u und I I e sowie dem Phasenverschiebungswinkel ϕ ϕ u ϕ i ergibt sich die komplexe Scheinleistung S P + jq j ϕ i Hat ein Spannungsquelle eine innere Impedanz Z i i +j i und wird mit einer Impedanz Z a a +j a belastet, dann ist die an die Last abgegebene Wirkleistung maximal für i a und i a. Man spricht in diesem Fall von Wirkleistungsanpassung. 3

14 Ortskurven Ist eine elektrotechnische Größe (z.b., I, Z) frequenzabhängig, und verbindet man in der komplexen Ebene die Endpunkte aller Zeiger dieser Größe bei Variation von ω mit einer Linie, so bezeichnet man diese Linie als Ortskurve. Die Ortskurve hat oft die Form einer Gerade, eines Halbkreises oder eines Kreises. Beispiele: ) Z + jωl ) jωc Z Z jωc 4

15 Übertragungsfunktion Schaltungen mit zwei Eingangsklemmen und zwei Ausgangsklemmen bezeichnet Vierpole. man als Beinhaltet die Schaltung des Vierpols Kondensatoren und/oder Spulen, so ist die Ausgangsspannung nicht nur eine Funktion der Eingangsspannung, sondern auch von der Frequenz ω Übertragungsfunktion des Vierpols: H ( ω) rägt man Betrag H(ω) über der Frequenz ω dar, so nennt man die resultierende Kennlinie den Amplitudengang von H(ω). Betrag wird oft in db (Dezibel) angegeben: db 0 log 0 Im{ H ( ω)} Phasengang von H(ω): ϕ arctan e{ H ( ω)} 5

16 ief-/hochpass Ein iefpass hat die Übertragungsfunktion H ( ω) + jωc mit Amplitudengang: + ( ωc) ( ) und Phasengang: ϕ arctan ωc Bei Grenzfrequenz f g gilt: πc (entspricht 3 db) Im Durchlassbereich f << f g ist, im Sperrbereich f >>f g ist 0 6

17 ief-/hochpass () Ein Hochpass hat die Übertragungsfunktion H ( ω) + /(jωc) + /(jωc) mit Amplitudengang: + /( ωc) und Phasengang: ϕ arctan ωc Bei Grenzfrequenz f g gilt: πc (entspricht 3 db) Im Sperrbereich f << f g ist 0, im Durchlassbereich f >> f g ist 7