Technische Universität München Lehrstuhl für Technische Elektrophysik. Tutorübungen zu Elektromagnetische Feldtheorie. (Prof.

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1 Technische Universität München Lehrstuhl für Technische Elektrophysik Tutorübungen zu Elektromagnetische Feldtheorie Prof. Wachutka Wintersemester 08/09 Lösung Blatt 0 Allgemeines zum Thema komplexe Wechselstromrechnung Komplexe Zeiger Im Folgenden sei auf Kapitel Allgemeine Zeigerdarstellung von Wechselspannung und -strom aus dem Skript zur Vorlesung Eletromagnetische Feldtheorie Seite 95 verwiesen. Es sei die Wechselspannung der Form oder gegeben: Nun betrachten wir die unterstehende Skizze: ut = Û sinωt + ϕ u ut = Û cosωt + ϕ u wobei Û > 0 Û ist eine positive reelle Zahl, deshalb wird sie ohne Unterstich geschrieben und in der e - Achse eingezeichnet. Sie entspricht genau der Amplitude der Wechselspannung ut. Der Term e jϕu dreht die reele Amplitude Û um Winkel ϕ u in positive ichtung. Es ergibt sich die komplexe Zahl Unterstrich beachten Û = Û ejϕu, die auch einen komplexen Zeiger genannt wird. Der Term e jωt dreht den Zeiger Û wiederum um Winkel ωt in positive ichtung. Da mit t die Zeit bezeichnet wird, verläuft die komplexe Größe Û ejϕu+ωt mit der Zeit auf dem gestrichelten Kreis mit adius Û. Warum ist die komplexe Größe Û ejϕu+ωt relevant, die nicht mehr komplexen Zeiger genannt wird, da sie nicht fest in der komplexen Ebene ist? Es gilt: Û e jϕu+ωt = Û cosϕ u + ωt + j Û sinϕ u + ωt 3 Im Û e jϕ u+ωt = Û sinϕ u + ωt 4 e Û e jϕ u+ωt = Û cosϕ u + ωt 5 Daraus ergibt sich ein Kochrezept wie man mit komplexen Zeigern arbeiten kann.

2 a Alle Wechselspannungen und Wechselströme werden entweder in cos- oder in sin-darstellung umgeformt. Dazu kann man auch die Formel verwenden: π sinx = cos x π cosx = sin x b Jeder Wechselspannung bzw. jedem Wechselstrom wird einen komplexen Zeiger der Form Û bzw. Î, der fest in der komplexen Ebene liegt, zugewiesen. Zu beachten ist, dass die Amplitude der Spannung Û = Û und des Storms Î = Î immer > 0 sind. c Für die weiteren echnungen werden dann die komplexen Zeiger verwendet. d Sollten zeitabhängige Wechselspannungen ut bzw. Wechselströme it gesucht werden, so bildet man wie in Gleichung 3 die zeitabängigen komplexen Größen. Danach werden die reelle Teile dieser komplexen Größen bestimmt 5, falls im Schritt. die cos- Darstellung gewählt wurde. Ansonsten nimmt man die komplexen Teile her 4. Wichtige Anmerkung Î ein- Später werden die Begriffe Effektivspannung U eff = Û bzw. Effektivstrom I eff = geführt. Die dazugehörigen komplexen Zeiger haben die Form: U eff = Û e jϕu I eff = Î e jϕ i Es ist immer zu beachten ob die gegebenen komplexen Zeiger die Effektivzeiger sind oder nicht. Im ahmen dieser Vorlesung werden die Effektivzeiger immer mit dem Index eff bezeichnet und die Amplitudenzeiger mit ˆ. Komplexer Widerstand Impedanz und komplexer Leitwert Admittanz Die Impedanz eines Bauteils wird mit Z bezeichnet und Admittanz - mit Y. Es gilt: Û = Î Z Î = Û Y komplexes Ohmsches Gesetz Diese entsprechen einem Widerstand bzw. einem Leitwert. Es gilt also [ Z ] = V A und [ Y ] = A V. Wird eine Schaltung betrachtet, in der alle Wechselgößen in Zeiger umgeformt sind, so gelten auch die Kirchhoff schen egeln. Des Weiteren sind serielle komplexe Impedanzen genauso wie serielle Widerstände durch Addition zusammenzufassen. Dasselbe ist auch für die parallelen komplexen Admittanzen gültig. Explizite Herleitungen zu diesem Thema sind im Skript im ahmen des Abschnitts Wechselstromschaltungen mit linearen Bauelementen Seite 96 zu finden.

3 Phasendifferenz zwischen komplexer Spannung und komplexem Strom Aus dem komplexen Ohmschen Gesetz folgt für die Impedanz eines Bauteils Z: Z = Û Î = Û Î ejϕu ϕ i Die Phasendifferenz zwischen Spannung und Strom ϕ u ϕ i wird häufig nur Phasendifferenz genannt und mit ϕ bezeichnet. Damit ist der Winkel gemeint, der bei dem komplexen Stromzeiger anfängt und bei dem komplexen Spannungzeiger endet. Es folgt also: Z = Z e j ϕ = ez + jimz mit ϕ = arctan Z = Û Î, wobei ImZ ez Û = Û Î = Î. Aufgabe: Lösung a Die Gesamtschaltung besteht aus zwei parallelen komplexen Leitwerten. Zunächst betrachten wir aber die serielle Impedanzen von dem Widerstand und der Spule. Es gilt siehe Tabelle auf Seite 09 aus dem Skript: Z = Z L = j Z +L = + j + j Durch Erweiterung mit dem komplex konjugierten Nenner erhalten wir: j + j j + ω L j + ω L Für die Gesamtadmittanz komplexen Leitwert der Schaltung folgt: b Es gilt: Y +L C = + ω L j + ω L + jωc Y +L C = ω L + j + ω L Y = Y +L C = ω L + j + ω L Î U = Y Û 0 Î U = Û 0 ω L + j 3 + ω L

4 Der komplexe Strom Î U ist also genau dann phasengleich zu der komplexen Spannung Û 0, wenn die Admittanz der Schaltung rein reel ist. Daher ergibt sich: und somit: ω r = + ω L = 0 L + ω L = C CL L = ω CL L c Da der Widerstand und die Spule seriell verschaltet sind, gilt: Û 0 Î = Î L = + j Û Î = Î L = 0 + j = Û 0 + ω L Analog gilt für den Strom durch den Kondensator: Î C = Û 0 jωc Î C = Û 0ωC. Aufgabe: Lösung a Da die Impedanzen Z und Z aus einem seriell verschalteten Widerstand, einer Spule und einem Kondensator bestehen, gilt: Z = + j + = + j jωc b Da der Schalter S offen ist, gilt: Z = + j + jωc = + j Î = Û E Z = = + j Î = 0 4 Û E ωc ωc ωc

5 c Î Û = E Z = Û E + ωc d Î wird maximal, wenn der Nenner minimal ist. Es folgt also: = ωc C = ω L e Z ges wird rein reel, wenn Z und Z rein reel sind. ωc = 0 ωc = 0 ω L C = ω L C = Aus L = L folgt: ω L C = C C = C = C 5