Übungen zur Physik II PHY 121, FS 2017

Transkript

1 Übungen zur Physik II PHY, FS 07 Serie Abgabe: Dienstag, 3. Mai 00 Impedanz = impedance Phasenlage = phasing Wirkleistung = active power Blindleistung = reactive power Scheinleistung = apparent power Schaltung = circuit Schwingkreis = oscillator circuit Güte = quality factor Eigenfrequenz = eigenfrequency Bandbreite = band wih Frequenzgang = frequency response Grenzfrequenz = cut-off frequency Transformator = transformer Wirkungsgrad = efficiency Allgemeine Fragen. Diskutiere die verschiedenen eistungen, die in einem Stromkreis mit Impedanzen Z und oder Z C vorkommen. Wie verhalten sich die Phasenlagen von Strom und Spannung bei den Impedanzen? Antwort: In einem Stromkreis mit Impedanzen Z und Z C spricht man von drei verschiedenen mittleren (da über eine Periode integriert wird) eistungen, die wie folgt mit den Effektivwerten definiert sind: Wirkleistung [W]: P = V eff I eff cos ϕ (0.) Blindleistung [var]: Q = Veff I eff sin ϕ (0.) Scheinleistung [VA]: S = V eff I eff. (0.3) Die Phasenlage (ϕ = ϕ V ϕ I ) kann mittels der folgenden Formel berechnet werden: ( ) Im(Z) ϕ = arctan e(z) (0.4) Z = V eff I eff = V 0 I 0, (0.5) wobei V 0 und I 0 die Amplituden der Spannung und des Stromes sind (beachte V 0 = V eff ). Damit folgt für die Impedanzen für reine Z, Z C oder Z Schaltungen: Z = iω ϕ = π (0.6) Z C = i ϕ C = π (0.7) Z = ϕ = 0. (0.8) Für einen Stromkreis mit einem Kondensator C und einer Spule in Serie ergibt sich: Z tot = Z + Z C = iω + i ϕ tot = ± π abhängig von und C. (0.9). Wie wird die esonanzfrequenz eines C-Schwingkreises berechnet und was besagt die Güte Q?

2 Antwort: Die esonanzfrequenz eines freien C-Schwingkreises wird wie folgt berechnet: ω = C 4. (0.0) Dabei spielt es keine olle ob der C-Schwingkreis in Serie- oder Parallelschaltung betrieben wird. Die Güte Q eines Schwingkreises ist generell durch den Quotienten aus Blind- (Q ω ) und Wirkleistung (P ω ) bei Eigenfrequenz gegeben: Q = Q ω P ω. (0.) Die Bandbreite B = f = f f der esonanzkurve, wobei f und f einen definierten Bereich (z.b. bei / oder bei / der Amplitude) um die esonanzfrequenz f 0 einschliesst, wird durch den ohmschen Widerstand verursacht. Somit kann man die Güte eines Schwingkreises auch definieren als: Q f 0 B. (0.) Abbildung : inks: C-Parallelschwingkreis. echts: C-eihenschwingkreis. Im Fall des C-eihenschwingkreises ergibt sich dann: Im Fall des C-Parallelschwingkreises: Q Q ω 0 = C. (0.3) C C = C. (0.4) Abbildung : esonanzkurve. Skizze ist nur representativ; bei einer realen esonanzkurve fällt die linke Seite nicht auf null zurück.

3 3. Wie kann ein einfaches Tiefpass-, Hochpass-, Bandpass- und Bandstopfilter (Bandsperre) realisiert werden? Zeichne jeweils die Schaltung und den Frequenzgang. Antwort: Tiefpass-, Hochpass-, Bandpass- und Bandstopfilter (Auswahl von Beispielbeschaltungen): 4. Diskutiere die Begriffe Eigenfrequenz, esonanzfrequenz und Grenzfrequenz. Antwort: (a) Die Eigenkreisfrequenz eines schwingfähigen Systems ist die Kreisfrequenz mit der das System nach einmaliger Anregung, und ohne weitere äussere Krafteinwirkung, schwingt. - Beim harmonischen Oszillator ist die Eigenkreisfrequenz ω 0 = - Für den gedämpften harmonischen Oszillator ist die Eigenkreisfrequenz ω = ω0 γ wobei γ = β m. - Für einen C-Schwingkreis (entspricht dem harmonischen Oszillator) ist die Eigenkreisfrequenz ω 0 = C. k m. 3

4 - Für den C-Schwingkreis, entspricht dem gedämpften harmonischen Oszillator, ist ω = ω 0 γ mit γ =. (b) Ein System ist dann in esonanz, wenn es mit einer besonders grossen Amplitude schwingt. Für den konstant angeregten gedämpften harmonischen Oszillator (erzwungene Schwingung) gilt ẍ(t) + γẋ(t) + ω 0x(t) = F (t) m (0.5) mit der esonanzkreisfrequenz für den statischen Fall (externe Anregungsfrequenz konstant) k ω r = ω0 γ = m β 4m. (0.6) Im Fall eines konstant angeregten C-Schwingkreises (erzwungene Schwingung) erhält man die folgende Differentialgleichung Q(t) + γ Q(t) + ω0q(t) = V (t) (0.7) und analog zum konstant angeregten gedämpften harmonischen Oszillator mit der esonanzkreisfrequenz für den statischen Fall ω r = ω0 γ = C 4. (0.8) (c) Die Grenzfrequenz ist derjenige Wert der Frequenz, bei der die Signalamplitude (Spannung) am Ausgang V A eines Bauteils unter den -fachen Wert der Signalamplitude am Eingang V E sinkt (V A = V E / ). 5. Diskutiere die Verhältnisse der Spannungen, Ströme, eistungen, Widerstände und Windungszahlen für einen Transformator. Antwort: Abbildung 3: Darstellung eines Transformators mit primärer Windung und sekundärer Windung. Alle Indizes der nachfolgenden Grössen beziehen sich auf diese Grafik. Beim idealen Transformator (keine ohmschen Verluste) gilt: P = P. (0.9) Ausserdem wissen wir, dass die Spannung V proportional zur Anzahl Wicklungen N und der Änderung des magnetischen Flusses Φ M (V ind = N dφ M ) ist. Damit folgt: ausserdem folgt mit Gleichung 0.9: V V = N N, (0.0) N N = I I. (0.) 4

5 Mit P = I folgt: N =. (0.) N Bei einem realen Transformator (mit Verlusten) ergibt sich für das Verhältnis der eistungen: mit Wirkungsgrad η. P = P η (0.3) Aufgaben Hintereinanderschalten von Spule und Kondensator im Wechselstromkreis [3P] Eine Spule mit Eisenkern und ohmschen Widerstand ist an eine Wechselspannungsquelle angeschlossen. Bei einer Effektivspannung V = 6 V und einer Frequenz f = 50 Hz fliesst ein Effektivstrom I = 34 ma. egt man statt der Spule einen Kondensator an die Spannungsquelle, so fliessen I = 96 ma. Bei Hintereinanderschaltung von Spule und Kondensator fliessen I 3 = 46 ma. (a) [P] Berechnen Sie die Kapazität C des Kondensators, die Induktivität und den Widerstand der Spule. (b) [P] Wie gross sind Phasenwinkel ϕ, Scheinleistung S, Wirkleistung P und Blindleistung Q in den drei Fällen? ösung Von der Aufgabenstellung wissen wir, dass V = 6 V, f = 50 Hz, ω = πf und I = 34 ma, I = 96 ma und I 3 = 46 ma, (a) Die Impedanzen für die jeweilige Schaltung sind: Z = + iω Z = + ω (.) Z = i Z = ω C = (.) Z 3 = + iω i ( = + i ω ) ( Z 3 = + ω ) (.3) Mit V = Z I kann das folgende Gleichungssystem aufgestellt werden: ( ) V = Z = + ω (.4) I ( ) V I = Z = (.5) 5

6 ( ) ( V = Z 3 = + ω ) (.6) I 3 Aus der zweiten Gleichung kann man direkt die Kapazität C berechnen: C = ω I 5 µf (.7) V Wenn man die dritte Gleichung ausschreibt sieht man ( ) ( V = + ω ) = + ω + ω C C, (.8) I 3 dass die ersten zwei Terme mit der ersten Gleichung ersetzt werden können: ( ) ( ) V V = + ω C C. (.9) I 3 I Das Auflösen ergibt dann für die Induktivität: ( ( = C ) V + ( ) ) V ω C 460 mh (.0) I öst man die erste Gleichung noch nach auf und setzt alle bekannten und berechneten Werte ein, erhält man: ( ) V = ω 00 Ω (.) I I 3 (b) Im Allgemeinen kann die Phase ϕ mit der folgenden Gleichung berechnet werden: ( ) Im(Z) ϕ = arctan e(z) Bei einer eihenschaltung geht auch: Und in einer Parallelschaltung wäre: ( ) ϕ = arccos Z ϕ = arccos ( ) Z. Fall ϕ = arctan ( ) ω = 55, S = 0.04 VA, P = 0.6 W, Q = 0.68 var. ( ). Fall ϕ = arccos Z = π, S = VA, P = 0, Q = S. ) 3. Fall ϕ = arctan = 39, S = 0.76 VA, P = 0.3 W, Q = 0.75 var. ( ω (.) (.3) (.4) C-Schwingkreis [3P] Gegeben sei der nebenstehende C-Schwingkreis. a) [0.5P] Wie lautet die Differentialgleichung für die adung Q(t) am Kondensator? Benutzen Sie dafür die Maschenregel. b) [0.5P] Vergleichen Sie diese Gleichung mit der Bewegungsgleichung für die erzwungenen Schwingungen der Mechanik. Was sind die entsprechenden mechanischen Grössen für Q,, C und? Welcher mechanischen Grösse entspricht der Strom I? c) [P] Benutzen Sie diese Analogie, um die Phasenverschiebung tan δ und die Amplitude des Stromes I(ω) = I 0 (ω) cos(ωt δ) direkt aus den Ergebnissen der Mechanik zu gewinnen. Stimmen die Ergebnisse mit den in der Vorlesung hergeleiteten Formeln überein? ~ V 0 cosωt C 6

7 ösung (a) Maschenregel liefert: Mit I = dq = Q folgt: 0 = V 0 cos(ωt) I Q C di (.) V 0 cos(ωt) = Q + Q + Q C (.) (b) Die Gleichung. lässt sich mit der Gleichung für die erzwungene Schwingung in der Mechanik vergleichen. F 0 cos(ωt) = mẍ + βẋ + kx (.3) Also entspricht die adung Q der Ortskoordinate x; die Induktivität der Masse m; die Kapazität C der inversen Federkonstanten k ; der Widerstand dem Dämpfungsterm β und der Strom I entspricht der Geschwindigkeit v in der klassischen Mechanik. (c) In der Mechanik fanden wir für die Gleichung die Amplitude: und die Phasenverschiebung: ẍ + β mẋ + ω 0x = F 0 cos ωt (.4) m A = F 0 m Desweiteren fanden wir für die Geschwindigkeit mit der Amplitude: und der Phasenverschiebung: (.5) (ω0 ω ) + β m ω tan δ = ω 0 β m ω v + β m v + ω 0v = ωf 0 m A = ωf 0 m ω. (.6) sin ωt (.7) (.8) (ω0 ω ) + β m ω tan δ = ω 0 ω β m ω. (.9) Um die Stromstärke zu erhalten, müssen wir Gleichung (.) noch einmal ableiten und erhalten: Damit erhält man: nach etwas umformen ergibt dies: Für die Phase erhält man: Ï + I + C I = ωv 0 sin ωt (.0) I 0 = ωv 0 I 0 = ( C ω) ( + ω V 0 (ω ) + ), (.) (.) tan δ = ω C ω. (.3) 7

8 3 -, -, C-Kreise [4P] Ein Kondensator C = µf ist auf V = 00 V geladen. Zur Zeit t = 0 wird der Schalter S geschlossen. Der Widerstand sei = 0 Ω. Die Spule besitzt die folgenden Abmessungen: N = Windungen, Spulenlänge l = m, Fläche A S = dm. Der Drahtwiderstand der Spule werde vernachlässigt. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) [0.5P] Berechnen Sie die Selbstinduktion. [0.5P] Stellen Sie für die drei gezeigten Fälle die Differentialgleichungen auf. [P] Bestimmen Sie die ösungen I(t). [0.5P] Zeichnen Sie die ösungen I(t). [0.5P] Wie gross ist für B und C die Kreisfrequenz? [0.5P] Wie gross ist für C das Verhältnis zweier aufeinanderfolgenden Stromamplituden? [0.5P] Wie gross sind für A und C die Zeitkonstanten. A B C ösung Aus der Aufgabenstellung wissen wir: Für den Kondensator, C = µf, V = 00 V, = 0Ω und für die Spule, N = 0000, l = m, A S = dm, S = 0, µ 0 = 4π 0 7 N A. (a) Aus der Vorlesung wissen wir dass: gilt. Ausserdem wissen wir, das Folgendes gilt: B = µ 0 N l I (3.) N φ m = B A S = µ 0 l IA S dφ m N = µ 0 l A di S (3.) Mit diesen Gleichungen folgt dann V ind = N dφ m = di (3.3) N = µ 0 A S.6 H (3.4) l (b) Mit Hilfe der Maschenregel ergeben sich die folgenden Differentialgleichungen. A) Q C + I = 0 I C + di = 0 B) Q C C) Q C di = d I + I C = 0 di + I = d I + di + I C = 0 Wobei bei jedem die Gleichung nach t differenziert und I = dq benutzt wurde. 8

9 (c) A) Ansatz: I(t) = I 0 e λt I 0 e λt C + I 0λe λt = 0 λ = C I 0 folgt aus den Anfangsbedingungen (Q(t = 0) = Q 0 = C V = 0. mc) Q(t) = I(t) = I 0 λ eλt Q(0) = Q 0 = I 0 λ I 0 = Q 0 C (3.5) (3.6) Damit folgt: B) Ansatz: I(t) = I 0 e iωt Damit folgt: Und der ealteil davon: I(t) = Q 0 C e t C. (3.7) I 0 i ω e iωt + I 0 C eiωt = 0 ω = C (3.8) Q(t) = I 0 iω eiωt = I 0 ω ei(ωt π ) Q 0 = Q(0) = I 0 ω e i π (3.9) I 0 = Q 0 ωe i π. (3.0) I(t) = Q 0 ωe i(ωt+ π ). (3.) e{i(t)} = Q 0 ω cos(ωt + π ). (3.) C) Ansatz: I(t) = I 0 e λt λ + λ + Die allgemeine ösung dafür ist: und Damit λ, = ± C = 0 (3.3) ( ) 4 C λ, = ± 4 C (3.4) = α ± β. (3.5) I(t) = I 0, e (α β)t + I 0, e (α+β)t (3.6) β = α 3.97 s (3.7) α C = i 630 := iω. (3.8) s I(t) = e αt ( I 0, e iωt + I 0, e iωt). (3.9) Damit I(t) eine reele physikalische Grösse ist, muss I 0, = Ī0, gelten. Mit I 0, = I 0 e iφ und der Euler schen Formel folgt: I(t) = I 0 e αt cos(ωt + φ). (3.0) Mit den Anfangsbedingungen I(0) = 0 und Q(0) = Q 0 ergibt sich: I(0) = cos(φ) = 0 φ = π. (3.) 9

10 Daraus folgt: mit folgt: Damit folgt: I(t) = I 0 e αt sin(ωt) (3.) Q(t) = I(t) = I 0 e αt sin(ωt) (3.3) e ax sin(bx)dx = a b a + b eax sin(bx) a + b eax cos(bx) (3.4) ( α Q(t) = I 0 α + ω e αt sin(ωt) ω ) α + ω e αt cos(ωt) (3.5) ( ) ω Q(0) = Q 0 = I 0 α + ω. (3.6) I(t) = Q ω (α + ω ) e αt sin(ωt). (3.7) (d) Die ösungen der Differentialgleichungen als Funktion von t: 0

11 (e) B) ω = C 630Hz C) ω 630Hz (f) Zuerst muss der Zeitpunkt t 0 gefunden werden, bei dem die Amplitude maximal ist. di = C ( αe αt sin(ωt) + e αt ω cos(ωt) ) (3.8) 0 = α sin(ωt 0 ) + ω cos(ωt 0 ) (3.9) sin(ωt 0 ) cos(ωt 0 ) = ω α (3.30) t 0 = ( ω ) ω arctan = 0.4 s. α (3.3) Damit folgt t N = t 0 + N π ω (3.3) I(t ) I(t 0 ) = e αt sin(ωt ) e αt0 sin(ωt 0 ) = e α(t t0) sin(ωt ) sin(ωt 0 ). (3.33) Da sin(ωt 0 ) = sin(ωt ) und t t = π ω folgt I(t ) πα = e ω (3.34) I(t ) (g) A) τ = C 0 5 s C) τ = α = 0.5 s 4 US Glühbirne [P] Nach dem Umzug eines Physikers aus den USA in die Schweiz soll eine amerikanische Glühbirne, die für eine reine ohmsche eistung von P = 60 W bei einer effektiven Wechselspannung V = 0 V mit f = 60 Hz ausgelegt wurde, nun mit einer effektiven Wechselspannung V = 30 V und einer Frequenz f = 50 Hz betrieben werden. Zu diesem Zweck wird eine Kapazität C in eihe zur Glühbirne geschaltet. (a) (b) [P] Wie gross muss C sein, damit die Glühbirne mit der gleichen eistung betrieben wird wie in den USA? [P] Berechne die Blindleistung Q, die bei der eihenschaltung von Glühbirne und Kapazität aufgenommen wird. ösung (a) Als erstes müssen wir den Widerstand der Glühbirne ermitteln. Z USA = Z USA = (4.) P W = V I = V Z USA = V (4.) 0 Ω (4.3)

12 In der Schweiz ist die Impedanz mit zusätzlichem Kondensator die folgende: Z CH = i Z CH = + ω C. (4.4) Die eistung an der ampe ist die Wirkleistung. Damit folgt dann: mit cos φ = P W = V I cos φ = V Z CH (4.5) Z CH und I = V Z CH. Durch Umformen erhält man dann: (b) Die Blindleistung Q ist wie folgt: Die Phase φ ist: C = 8.6 µf. (4.6) V ω P W Q = V I sin φ = V sin φ (4.7) Z CH ( φ = arctan ) 6 (4.8) Der Betrag der Impedanz ist Z CH 4 Ω. Daraus folgt für die Blindleistung Q 0 var. 3. Mai 07