Grundlagen der Physik 2 Schwingungen und Wärmelehre

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1 (c) Ulm University p. 1/ Grundlagen der Physik Schwingungen und Wärmelehre Othmar Marti Experimentelle Physik Universität Ulm

2 (c) Ulm University p. / Physikalisches Pendel mgd sin φ = I d φ dt Physikalisches Pendel. A ist der Aufhängungspunkt, S der Massenmittelpunkt. Kleine Amplitude! d φ dt + ω φ = 0 T = π ω = π I mgd Bestimmung des Trägheitsmomentes I = mgdt 4π

3 (c) Ulm University p. 3/ Torsionspendel M = Dφ = I d I dt Wieder setzen wir ω = D I. Die Periodendauer ist Torsionspendel (analog zur Gravitationswaage) T = π I D

4 (c) Ulm University p. 4/ Bewegung in der Nähe einer Gleichgewichtslage E pot (x) = E pot (x 0 )+ de pot(x) dx (x x 0 )+ 1 x0 d E pot (x) dx (x x 0 ) +.. x0 0 = m d x dt + d E pot (x) dx (x x 0 ) x0 0 = de pot(x) dx ν = 1 π T = π x0 1 m d E pot (x) dx m d E pot (x) dx x0 x0

5 (c) Ulm University p. 5/ Geschwindigkeitsproportionale Dämpfung F D = bv Gedämpfte Schwingung Schwingungsgleichung kx bv = m dv dt

6 (c) Ulm University p. 6/ Energieverlauf bei gedämpfter Schwingung de tot dt = b m E tot E tot (t) = e (b/m)t+c = e C e (b/m)t = E 0 e (b/m)t

7 (c) Ulm University p. 7/ Der Energieverlust pro Periode T ist Definition der Güte E tot E tot = b m T Q = π E tot E tot Q = π E tot E tot = π m bt = π τ T A = A 0 e t/(τ)

8 (c) Ulm University p. 8/ Lösung der Schwingungsgleichung Ansatz x(t) = A 0 e iωt m d dt x(t) + b d x(t) + k x(t) = 0 dt Ansatz x(t) = A 0 e iωt 0 = ω A 0 e iωt iωa 0 e iωt +ω 0 A 0e iωt 0 = ω A 0 e iωt + iωa 0 e iωt +ω 0 A 0e iωt 0 = ω 0 ω iω b m 0 = ω 0 ω + iω b m Lösungen ω 1, = i b m ± = i b b m + 4ω0 ω 0 b 4m Lösungen ω 1, = i b m ± = i b b m + 4ω0 ω 0 b 4m

9 (c) Ulm University p. 9/ Lösungen der Schwingungsgleichung II Es gibt drei Lösungen für ω 0 > b (unterkritische Dämpfung) ω 1, = i b ω0 b 4m Es gibt drei Lösungen für ω 0 > b (unterkritische Dämpfung) ω 1, = i b ω0 b 4m für ω 0 = b (kritische Dämpfung) für ω 0 = b (kritische Dämpfung) ω 1, = i b ω 1, = i b für ω 0 < b ω 1, = i (überkritische Dämpfung) b ± b 4m ω 0 für ω 0 < b ω 1, = i (überkritische Dämpfung) b b 4m ω 0 Diese Lösung in x(t) = A 0 exp ( iω t) einsetzen! Diese Lösung in x(t) = A 0 exp (iω t) einsetzen!

10 (c) Ulm University p. 10/ Lösungsfunktionen für ω 0 > b (unterkritische Dämpfung) x(t) = e b t A 0, 1 e it ω0 b 4m +A it 0, ω 0 b 4m für ω 0 > b (unterkritische Dämpfung) x(t) = e b t A 0,1 e it ω0 b 4m +A it 0, ω 0 b 4m für ω 0 = b (kritische Dämpfung) für ω 0 = b (kritische Dämpfung) x(t) = A 0 e b t Es fehlt eine Lösung! für ω 0 < b (überkritische Dämpfung) x(t) = e b t A 0,1 e t +A 0, e t b 4m ω 0 b 4m ω 0 x(t) = A 0 e b t Es fehlt eine Lösung! für ω 0 < b (überkritische Dämpfung) x(t) = e b t A 0,1 e t +A 0, e t b 4m ω 0 b 4m ω 0

11 (c) Ulm University p. 11/ Fehlende Lösung bei kritischer Dämpfung Wir haben Damit Ansatz b 4m = ω 0 b m = ±ω 0 x(t) = (A 0,1 + A 0, t) e ω 0t 0 =ẍ ± ω 0 ẋ + ω0 x = ω 0 A 0, e ω0t + ω0 (A 0,1 + A 0, t) e ω 0t ± ω 0 A 0, e ω0t ω0 (A 0,1 + A 0, t) e ω 0t + ω0 (A 0,1 + A 0, t) e ω 0t 0 = ω 0 A 0, + ω0 (A 0,1 + A 0, t) ± ω 0 A 0, ω0 (A 0,1 + A 0, t) + ω0 (A 0,1 + A 0, t) =ω0 [A 0,1 + A 0, t (A 0, 1 + A 0, t) + A 0, 1 + A 0, t] + ω 0 [ A 0, ± A 0, ] =0

12 (c) Ulm University p. 1/ Lösungsfunktionen für ω 0 > b (unterkritische Dämpfung) x(t) = e b t A 0, 1 e it ω0 b 4m +A it 0, ω 0 b 4m für ω 0 > b (unterkritische Dämpfung) x(t) = e b t A 0,1 e it ω0 b 4m +A it 0, ω 0 b 4m für ω 0 = b (kritische Dämpfung) für ω 0 = b (kritische Dämpfung) x(t) = (A 0, 1 + A 0, t) e b t für ω 0 < b (überkritische Dämpfung) x(t) = e b t A 0,1 e t +A 0, e t b 4m ω 0 b 4m ω 0 x(t) = (A 0, 1 + A 0, t) e b t für ω 0 < b (überkritische Dämpfung) x(t) = e b t A 0,1 e t +A 0, e t b 4m ω 0 b 4m ω 0

13 (c) Ulm University p. 13/ Gedämpfter Oszillator F F (t) = k (x(t) z(t)) Bewegungsgleichung F(t) = k (x(t) z(t)) bẋ(t) = mẍ(t) Wenn wir z(t) = z 0 cos ωt einsetzten und umstellen, erhalten wir mẍ(t) + bẋ(t) + kx(t) = z 0 k cos ωt Wir teilen durch m und kürzen k/m = ω 0 ab und erhalten ẍ(t) + b mẋ(t) + ω 0 x(t) = z 0ω 0 cos ωt

14 (c) Ulm University p. 14/ Die Lösung dieser Gleichung besteht aus zwei Teilen Einschwingvorgang als Lösung der Gleichung Gedämpfter Oszillator Stationäre Lösung ẍ(t) + b mẋ(t) + ω 0 x(t) = 0 x(t) = A(ω)cos (ωt δ(ω)) wobei wir hier ein Minuszeichen vor der Phase setzen, damit diese die Phasendifferenz zur Anregung darstellt. A(ω) [ ω cos(ωt δ(ω)) b ] m ω sin(ωt δ(ω)) + ω 0 cos(ωt δ(ω)) = z 0 ω 0 cos ωt

15 (c) Ulm University p. 15/ Gedämpfter Oszillator Um die Gleichung zu lösen müssen wir die Winkelfunktionen sin und cos mit Phasen in reine Winkelfunktionen auflösen. Also setzen wie cos(ωt δ(ω)) = cos(ωt) cos(δ(ω)) + sin(ωt) sin(δ(ω)) und sin(ωt δ(ω)) = sin(ωt) cos(δ(ω)) cos(ωt) sin(δ(ω)). Wir bekommen dann z 0 ω 0 cos ωt = A(ω) [ ω cos(ωt)cos(δ(ω)) + b m ω cos(ωt)sin(δ(ω)) +ω 0 cos(ωt)cos(δ(ω)) ] 0 = A(ω) [ ω sin(ωt)sin(δ(ω)) b m ω sin(ωt)cos(δ(ω)) +ω 0 sin(ωt)sin(δ(ω)) ]

16 (c) Ulm University p. 16/ Gedämpfter Oszillator Diese Gleichungen können vereinfacht werden z 0 ω0 = A(ω) [ ω cos(δ(ω)) + bm ] ω sin(δ(ω)) + ω0 cos(δ(ω)) 0 = ω sin(δ(ω)) b m ω cos(δ(ω)) + ω 0 sin(δ(ω)) Aus der zweiten Gleichung folgt ( ω 0 ω ) sin(δ(ω)) = b m ω cos(δ(ω)) und daraus tan(δ(t)) = bω m ( ω 0 ω)

17 (c) Ulm University p. 17/ Gedämpfter Oszillator Wir verwenden cos φ = 1 1+tan φ und sin φ = cos φ tan φ = tan φ 1+tan φ und bekommen aus der ersten Gleichung z 0 ω 0 A(ω) = = = = ω 0 ω 1 + tan (δ(t)) + bω m ω0 ω b ω m (ω 0 ω ) b ω m (ω 0 ω ) ( ω 0 ω ) + b ω m (ω 0 ω) + b ω m ( ω 0 ω ) b ω + m tan(δ(t)) 1 + tan (δ(t))

18 (c) Ulm University p. 18/ Gedämpfter Oszillator Zusammengefasst ist die stationäre Lösung durch die Amplitude und Phase ( ) bω δ(ω) = arctan m ( ω0 ω) A(ω) = z 0 ω0 (ω 0 ω) + b ω m gegeben. Mit der Definition der Güte sowie mit ω 0 = πν = π T schreiben wir zuerst Q = π m bt = ω m 0 b b m = ω 0 Q

19 (c) Ulm University p. 19/ Gedämpfter Oszillator δ(ω) = arctan ( ) ωω 0 Q (ω0 ω ) A(ω) = z 0 ω 0 (ω 0 ω ) + ω ω 0 Q

20 (c) Ulm University p. 0/ Noch kompakter ist die folgende Schreibweise für die Amplitude Gedämpfter Oszillator A(ω) = z 0 (1 ω /ω0 ) + ω ω 0 Q Die Frequenz, bei der die Amplitude maximal wird, also die Resonanzfrequenz, erhält man, indem man da(ω) = 0 berechnet. dω da(ω) dω = d z 0 dω (1 ω /ω0 ) + ω ω0 Q (4 ( ω 0 ω ) ω ω ω 0 = z 0 Q ) ( (ω 0 ω ) + ω ω 0 Q ) 3/ =0

21 (c) Ulm University p. 1/ Gedämpfter Oszillator Damit ist ω ω 0 Q ω 0 0 = 4 ( ω 0 ω ) ω ω ω 0 = ( ω 0 ω ) ω Q = ( ω 0 ω ) ( ω = ω0 1 1 ) Q ω = ±ω Q Hier ist nur die positive Lösung physikalisch sinnvoll. Also ist Q ω R = ω Q = ω 0 b Diese Resonanzfrequenz) ist kleiner als die Eigenfrequenz eines ungedämpften Systems.

22 (c) Ulm University p. / Berechnung der Steigung dδ(ω)/dω: Bestimmung der Güte aus der Phase dδ(ω) dω ( = d dω arctan ω 0 ω Q ( ω 0 ω) ) = ω 0 Q(ω 0 ω ) + ω ω 0 Q(ω 0 ω ) 1 + ω ω 0 Q (ω 0 ω ) = ω 0Q ( ω 0 ω ) + Qω ω 0 Q (ω 0 ω ) + ω ω 0 An der Stelle ω = ω 0 ist der Funktionswert dδ(ω) dω = ω 0Q ( ω 0 ω ) 0 + Qω 0 ω 0 ω=ω0 Q (ω 0 ω 0 ) + ω 0 ω 0 = Qω3 0 ω 4 0 = Q ω 0

23 (c) Ulm University p. 3/ Gedämpfter Oszillator Bei der Resonanzfrequenz ω = ω 0 des ungedämpften Systems ist die Phase δ(ω 0 ) = π/ Die Steigung der Phase dδ(ω)/dω hat an der Stelle ω 0 den Wert dδ(ω) dω = Q ω0 ω 0 Es ist sehr viel einfacher, ω 0 und Q aus der Phase als aus der Amplitude zu bestimmen.