Experimentalphysik 1

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1 Technische Universität München Fakultät für Physik Ferienkurs Experimentalphysik 1 WS 016/17 Übung 4 Ronja Berg (ronja.berg@ph.tum.de) Katharina Scheidt (katharina.scheidt@tum.de) A. Übungen A.1. Schwingung einer Schraubenfeder Eine homogene Schraubenfeder der Länge l = 0,6 m, der Gesamtmasse m 0 = 150 g und der Federkonstante D = 1 N m ist am oberen Ende aufgehängt und schwingt frei. a) Welche Randbedingungen (Schwingungsknoten oder Schwingungsbauch) gelten an den Federenden bei den longitudinalen Eigenschwingungen der Feder? b) Als Schwingungsgleichung ergibt sich für eine solche Feder x z = m 0 Dl x t. Wie groß ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit c für Longitudinalwellen in der Feder? c) Berechne für die Grundschwingung die Eigenfrequenz f 0 der Feder. d) Welche Effektivmasse m eff kann man der Feder zuschreiben? Dabei soll ein Körper der Masse m eff am unteren Ende der als masselos gedachten Feder hängen und mit der Frequenz f 0 schwingen. 1

2 a) Am oberen Federende (fest) muss sich ein Schwingungsknoten befinden, am unteren Federende (frei) ein Schwingungsbauch. b) Ein Vergleich mit der allgemeinen Schwingungsgleichung führt auf Dl c = = 5,37 m s m 0 c) Da am oberen Ende ein Schwingungsknoten und am unteren ein Schwingungsbauch ist, muss die Länge der Feder genau 1 4 der Wellenlänge sein. Somit erhält man für die Eigenfrequenz der Grundschwingung mit 0 = 4l f 0 = c = c =,4 Hz. 0 4l d) Setzt man die allgemeine Formel für die Eigenfrequenz einer harmonischen Schwingung an, so ergibt sich f 0 = 1 π ω = 1 D! = 1 D = m eff = 4 π m eff 4 π m 0 = 60,8 g m 0 A.. Kugel zwischen zwei Federn Eine Kugel der Masse m ist vertikal mit zwei Federn zwischen zwei Wänden eingespannt. Falls sich die Kugel in der Ruhelage z = 0 befindet, besitzen beide Federn die Länge l. Die Länge der Feder entspricht ihrer Ruhelänge. Feder 1 ist aufgrund der durch die Kugel wirkenden Gewichtskraft um l 0 vorgespannt. a) Wie lautet die Bewegungsgleichung für die Kugel? b) Löse die Bewegungsgleichung mit dem Ansatz z(t) = z 1 sin(ωt)+z cos(ωt)+z 3. Benutze dafür folgende Anfangsbedingungen: z(t = 0) = z 0 und ż(t = 0) = 0. a) Die Bewegungsgleichung für das Federpendel lautet F = F k1 + F k + F g. Die Bewegung erfolgt nur in z-richtung m z = k 1 (z l 0 ) k z mg.

3 Folglich ergibt sich z = k 1 + k m z + k 1l 0 m g. b) Löse die Bewegungsgleichung mit dem Ansatz z(t) = z 1 sin(ωt)+z cos(ωt)+z 3. Benutze dafür folgende Anfangsbedingungen: z(t = 0) = z 0 und ż(t = 0) = 0. Einsetzen des in der Aufgabenstellung gegebenen Ansatzes z(t) = z 1 sin(ωt) + z cos(ωt)+z 3 in die Bewegungsgleichung unter Verwendung folgender Abkürzungen c 1 = k 1+k m und c = k 1 m l 0 g. Damit folgt ż(t) = z 1 ω cos(ωt) z ω sin(ωt) z(t) = z 1 ω sin(ωt) z ω cos(ωt) z 1 ω sin(ωt) z ω cos(ωt) = c 1 z 1 sin(ωt) c 1 z cos(ωt) c 1 z 3 + c Aus einem Koeffizientenvergleich folgt ω = c 1 und z 3 = c c 1 = k 1l 0 gm k 1 + k. Einsetzen der Anfangsbedingungen z(t = 0) = z 0 und ż(t = 0) = 0 folgt Damit gilt z(t) = Für die Ruhelage z = 0 gilt z 1 = 0 und z = z 0 z 3. ( z 0 k ) 1l 0 mg cos(ωt) + k 1l 0 mg. k 1 + k k 1 + k k 1 l 0 mg = 0. Folglich ist l 0 gleich mg k 1. Damit reduziert sich die Bewegungsgleichung für die Masse auf z(t) = z 0 cos(ωt). A.3. Wasserschwingung im U-Rohr Ein senkrecht stehendes, oben offenes U-Rohr mit konstantem Querschnitt A = cm wird mit V = 100 cm 3 Wasser (Dichte ρ W asser = 1 g/cm 3 ) gefüllt. Der Flüssigkeitsspiegel des ruhenden Wassers definiert den Nullpunkt der vertikalen z-achse (siehe Skizze). Durch einen kurz dauernden Überdruck in einem der Schenkel werden die Flüssigkeitssäulen gegeneinander um eine Höhendifferenz z 0 verschoben und schwingen anschließend ungedämpft. 3

4 a) Geben Sie die Kraft F (z) an, die auf das Wasser wirkt, wenn die Auslenkung der Flüssigkeitssäulen ±z beträgt. Welche Masse wird von dieser Kraft beschleunigt? Zeigen Sie, dass das System durch die Schwingungsgleichung V z + Agz = 0 beschrieben wird. b) Sind die Schwingungen harmonisch? Welche Schwingungsperiode haben sie? Wie ändert sich die Periode, wenn statt Wasser das gleiche Volumen Quecksilber (Dichte ρ Hg = 13,55 g/cm 3 ) verwendet wird? a) Es wirkt die Gewichtskraft des gesamten Wasseranteils, der oberhalb des Wasserspiegels der anderen Seite liegt: F (z) = mg = V z ρ W g = zaρ W g (negatives Vorzeichen, da F (z) in negative z-richtung wirkt). Die gesamte Wassermasse wird beschleunigt, also ist die Trägheitskraft V ρ W z und damit nach dem. Newtonschen Gesetz V z = Agz. b) Dies ist eine harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz Ag ω = V = 6,6 1 s, somit ergibt sich für die Schwingungsperiode T = π ω = 1,0 s. Da die Frequenz von ρ unabhängig ist, ändert sich T nicht, wenn man Quecksilber statt Wasser verwendet. A.4. Getriebener harmonischer Oszillator Auf einen gedämpften Oszillator wirke die äußere Kraft F (t) = F 0 sin(ωt). Die Bewegungsgleichung, die dieses System beschreibt lautet ẍ + γẋ + ω 0x = F m sin(ωt). Berechne die allgemeine der Bewegungsgleichung im eingeschwungenen Zustand unter Verwendung der komplex ergänzten Differentialgleichung. 4

5 Die komplex ergänzte Differentialgleichung lautet ẍ + γẋ + ω 0x = F m eiωt. (1) Der Imaginärteil Im(x(t)) der dieser Differentialgleichung entspricht der der gegebenen Bewegungsgleichung. Die allgemeine dieser Gleichung setzt sich zusammen aus der der homogenen Gleichung x h und einer partikulären x p. Da die homogene stets einen exponentiell abfallenden Faktor enthält, spielt sie im eingeschwungenen Zustand also für große Zeiten t keine Rolle mehr. t x(t) = x h (t) +x }{{} p (t) x p (t). e γt Im Folgenden müssen wir also nur die partikuläre bestimmen. Wir erwarten, dass durch den Antrieb eine Schwingung mit der Frequenz der äußeren Kraft induziert wird. Der Oszillator wird der äußeren Kraft folgen, es kann aber eine Phasenverschiebung auftreten. Wir machen daher für die partikuläre den Ansatz x (t) = ae i(ωt ϕ) und setzen diesen in die komplex ergänzte Differentialgleichung (1) ein. Somit erhalten wir a( ω + iγω + ω 0)e i(ωt ϕ) = F 0 m eiωt ω 0 ω + iγω = F 0 am eiϕ. Auf beiden Seiten der Gleichung haben wir nun komplexe Zahlen. Die beiden Zahlen sind gleich, wenn ihre Beträge und ihre Imaginärteile gleich sind, also (ω 0 ω ) + 4γ ω = F 0 a m γω = F 0 am sin(ϕ). Daraus erhalten wir für die Amplitude a und Phase ϕ unserer a = F 0 m (ω 0 ω ) + 4γ ω sin(ϕ) = amγω F 0. Mit diesen Parametern ist die erzwungene Schwingung als von der gegebenen Bewegungsgleichung gerade ( x(t) = Im(x (t)) = Im ae i(ωt ϕ)) = a sin(ωt ϕ). 5

6 A.5. Stehende Schallwellen Die von einer Orgelpfeife umschlossene Luftsäule wird so zu Schwingungen angeregt, dass sich eine stehende Welle ausbildet. Bei einer offenen Pfeife hat dabei die Luftsäule an beiden Enden der Pfeife einen Schwingungsbauch, bei einer einseitig geschlossenen Pfeife weißt die Luftsäule an einem Ende einen Schwingungsknoten am anderen Ende einen Schwingungsbauch auf. Mit der Orgelpfeife soll ein Ton der Frequenz f = 35 Hz (Grundton) erzeugt werden. Die Schallgeschwindigkeit in Luft beträgt c S = 340 m/s. a) Wie lang muss die schwingende Luftsäule sein, wenn eine offene bzw. geschlossene Pfeife verwendet wird? b) Berechne und skizziere das Obertonspektrum sowohl für die offene als auch für die geschlossene Pfeife. a) Grundschwingungen in ein- und beidseitig offenen Pfeifen. f = 35 Hz c S = 340 m s c = f Einseitig offene Pfeife: Für die Grundschwingung folgt aus den Randbedingungen L = c S = 4Lf = L = c S 4 4f = 340 m s =,43 m () 4 35 s Beidseitig offen: L = = L = c S f = 340m s 35 s = 4,86 m b) Berechne und skizziere das Obertonspektrum sowohl für die offene als auch für die geschlossene Pfeife. Dabei ist die Grundschwingung f 0 = 35 H. Die beiden Pfeifentypen haben aufgrund ihres unterschiedlichen Obertonspektrums eine deutlich unterschiedliche Klangfarbe. Das unterschiedliche Obertonspektrum kommt daher, dass bei der beidseitig offenen Pfeife nur jeder zweite Oberton auch im Spektrum der einseitig offenen Pfeife vorkommt. 6

7 1. und. Oberton für die beiden Orgelpfeifen. n-ter Oberton in einseitig offener Pfeife: n-ter Oberton in beidseitig offener Pfeife: L = 4 + n L = + n f n = c S = c ( S 1 L 4 + n ) f n = c S = c S L (1 + n) f n = f 0 (1 + n) f n = f 0 (1 + n) A.6. Zwei Wellen in Phase Zwei ebene Wellen der Frequenz f 1 = 300 Hz und f = 4 Hz laufen mit der Phasengeschwindigkeit c = 340 m s in die gleiche Richtung. In einem Punkt A haben sie gleiche Phasen. Diesen Punkt A wählen wir als Ursprung des Koordinatensystems. a) In welchem Abstand x 1 sind sie zum ersten Mal wieder in Phase? b) Nach welcher Laufzeit t sind sie zum ersten Mal wieder in Phase? a) Eine Ebene Welle hat allgemein folgende Form y(x, t) = y 0 cos(ωt kx ϕ 0 ). Dabei ist die Phase φ = ωt kx+ϕ 0 und mit ω = πf und k = π folgt dann = π c/f = πf c φ = πf(t x c ) + ϕ 0 7

8 Am Ort x 0 = 0 haben beide Wellen gleiche Phase. Bestimmen wir diese Phase zu ϕ 0 = 0 für beide Wellen. Die Phasen der beiden Wellen an einem beliebigen Ort φ 1 und φ ergeben sich dann zu φ 1 (t, x) = πf 1 (t x c ) φ (t, x) = πf (t x c ) Die Phasen beider Wellen sind auch an all jenen Orten und Zeitpunkten gleich, an denen für den Phasenunterschied ϕ gilt ϕ = n π mit n Z Am Ort x 1 muss für alle Zeitpunkte gelten φ (t, x 1 ) = φ 1 (t, x 1 ) + n π ( πf t x ) ( 1 = πf 1 t x ) 1 + n π (3) c c Dies soll für den Zeitpunkt t = 0 berechnet werden x 1 = x 1 f c = f 1 cn f 1 f n=1 = 340 m s 60 1 s x 1 c + n x 1 c (f 1 f ) = n = 5,7 m b) Nach welcher Laufzeit t sind sie zum ersten Mal wieder in Phase? Die Wellen sind in Phase wenn Gleichung (3) erfüllt ist. Betrachten wir einen fixen Ort, der Einfachheit halber x = 0 dann folgt aus Gleichung (3) t = πf t = πf 1 t + n π n n=1 = f f 1 (f f 1 )t = n = 17 ms s A.7. Fortschreitende Seilwelle Über ein Seil laufen Wellen in positiver x-richtung mit der Phasengeschwindigkeit c. Die Periodendauer der Teilchenschwingung ist T, ihre Amplitude ist η m. Zur Zeit t 0 = 0 befindet sich bei x 0 gerade ein Wellenberg. c = 0,8 m s T = 0,5 s η m = 8,0 cm x 0 = 3 4 t 1 = T t = 3 4 T x 1 = 4 a) Berechne die Wellenlänge. 8

9 b) Wie lautet die Funktion η(t, x) für diese Welle? c) Zeichne die Momentbilder der Welle η(x) für t 1 und t. d) Wie sieht die Funktion η 1 (t) an der Stelle x 1 aus? a) Berechne die Wellenlänge. Aus c = T folgt = ct und somit = 0,4 m. (4) b) Wie lautet die Funktion η(t, x) für diese Welle? In der Wellenfunktion für die in positiver x-richtung fortschreitende Welle η(t, x) = η m cos(ωt kx + α) ist α zu bestimmen. Die Aussage, dass sich ein Wellenberg zur Zeit t 0 = 0 bei x 0 = 3 4 befindet, lässt sich durch η (0, 34 ) = η m (5) ausdrücken. Setzt man in die Wellenfunktion für t und x die Werte t 0 = 0 und x 0 = 3 4 ein, so folgt ( η 0, 3 ) = η m cos ( k 34 ) 4 + α ( = η m cos π ) α = η m cos (α 3 ) π = η m Daraus folgt cos (α 3 ) π = 1 α 3 π = 0 α = 3 π Die damit bestimmte Wellenfunktion η(t, x) = η m cos (ωt kx + 3 ) π (6) lässt sich noch so umformen, dass explizit kein Nullphasenwinkel auftritt. Wegen cos (ϕ + 3 ) π = sin(ϕ) (7) 9

10 kann man auch schreiben η(t, x) = ηm sin(ωt kx). ω und k sind durch die Gro ßen T und zu ersetzten: x t η(t, x) = ηm sin π T (8) c) Zeichne die Momentbilder der Welle η(x) fu r t1 und t. Das zum Zeitpunkt t1 beobachtete Momentbild der Welle η1 (x) folgt aus der in b) aufgestellten Wellenfunktion durch Einsetzten von t1 = T fu r t: η1 (x) = η(t1, x) 1 x = ηm sin π x = ηm sin π π Wegen sin(π ϕ) = sin(ϕ) la sst sich dieses Ergebnis auch folgendermaßen schreiben x η1 (x) = ηm sin(π ) (9) Entsprechende U berlegungen werden fu r t = 43 T durchgefu hrt 3 x π π η (x) = ηm sin mit sin 3 π ϕ = cos(ϕ) folgt x η (x) = ηm cos π 10 (10)

11 d) Wie sieht die Funktion η1 (t) an der Stelle x1 aus? Fu r den Ort x1 = 4 wird die Wellenfunktion mit η1 (t) bezeichnet. Sie lautet η1 (t) = η(t, x1 ) t 1 = ηm sin π T 4 πt π = ηm sin T Wegen sin ϕ π = cos(ϕ) ist die folgende Darstellung mo glich: πt η1 (t) = ηm cos T 11 (11)