Einführung in die Physik I. Schwingungen und Wellen 1

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1 Einführung in die Physik I Schwingungen und Wellen O. von der Lühe und U. Landgraf Schwingungen Periodische Vorgänge spielen in eine große Rolle in vielen Gebieten der Physik E pot Schwingungen treten bei (stabilen) Gleichgewichtslagen auf F Potentialminima rufen rücktreibende Kräfte hervor Schwingungen und Wellen

2 Schwingungen Bei einer hinreichend kleinen Auslenkungen Annäherung durch quadratisches Potentialgesetz Kraft proportional zur Auslenkung Harmonisches Zeitgesetz ( t) + A cos( ω t + ϕ ) Amplitude A π Kreisfrequenz ω T Phaseϕ ϕ Ort A -A T T T 3T Zeit t Schwingungen und Wellen 3 Überlagerung von Schwingungen Schwingungen addieren sich ungestört (Superpositionsprinzip) Überlagerung von Schwingungen gleicher Frequenz führt zu neuer Schwingung derselben Frequenz A cos A S ( ωt + ϕ) + A cos( ωt + ϕ ) AS cos( ωt + ϕs ) A + A + A A cos( ϕ ϕ ) X X Summe A A.5 A S.54 φ.885 φ 3.77 Schwingungen und Wellen 4

3 Überlagerung von Schwingungen Schwingungen gleicher Frequenz und Amplitude, aber mit umgekehrter Phase können sich auslöschen X X Summe A A A S φ φ 3.4 Schwingungen und Wellen 5 Komplee Darstellung von Schwingungen Ein Schwingungsvorgang kann man mithilfe kompleer Zahlen mathematisch darstellen Komplee Amplitude A ~ Zeigerdiagramm Darstellung der kompleen Amplitude für t ( t) A cos( ωt + ϕ) Re Re Re Im i( ωt+ ϕ ) ( Ae ) iϕ iωt ( Ae e ) ~ iωt ( Ae ) A ωt+ϕ ϕ Re Schwingungen und Wellen 6 3

4 Überlagerung von Schwingungen verschiedener Frequenz Überlagern sich Schwingungen mit verschiedenen Frequenzen υ und υ, die sehr ähnlich sind, so entstehen Schwebungen ΔT (Δυ) X X Summe A A A S φ φ ν ν. Δν. Schwingungen und Wellen 7 Überlagerung von Schwingungen verschiedener Frequenz Überlagern sich Schwingungen mit Frequenzen, die ganzzahlige Vielfache voneinander sind, so entstehen kompleere periodische Verläufe zur selben Grundfrequenz X X Summe A A.6 φ φ ν ν Δν Schwingungen und Wellen 8 4

5 Elektrische Gitarre Schwingung einer Saite Frequenz υ hängt ab von Spannung σ, Masse m und Länge l dm σ ν σ m l l Tonabnehmer greifen die Schwingung an verschiedenen Punkten an der Seite über magnetische Induktion ab Elektronische Verstärkung Nichtlinearität fügt harmonische Obertöne hinzu Akustische Wellen über Lautsprecher - + Schwingungen und Wellen 9 Harmonische (Fourier-) Analyse Jean Baptiste Joseph Fourier (768-83): Jede (hinreichend stetige) Funktion kann eindeutig in harmonische Komponenten zerlegt werden. Komplee periodische Funktionen können als Summe von gewichteten Sinus- und Kosinusfunktionen approimiert werden Die Gewichtungsfaktoren a i, b i heißen Fourier-Koeffizienten Häufig reichen wenige Koeffizienten für eine hinreichende Darstellung aus f () t a b i i a + T / T / T / T / i f f t t ai cos πi + bi sin πi T T () t t cos πi dt T t T für i,,, L () t sin πi dt für i,, L T: Grundperiode i Diskrete Frequenzen ν i T Schwingungen und Wellen 5

6 Gedämpfte Schwingungen Reibungskräfte wandeln Schwingungsenergie eines Pendels in Wärme um Stetige Abnahme der Amplitude mit der Zeit m && + D m && + k & + D ohne Reibung mit Reibung z. B. Stokes sche Reibung; siehe Dynamik 3 Folie Lösung der Differentialgleichung mit Reibung (komplee Darstellung) () t A e iω t e δ t () t A ( + δ t) e δ t ω für k D k, δ m 4m md k,für k < m md δ t () t A e δ δ ± D δ ω, ω,für k > m md Schwingungen und Wellen Gedämpfte Schwingungen Schwingungen und Wellen 6

7 Erzwungene Schwingungen Gedämpfte Schwingung mit äußerer harmonischer Kraft Nach einer Einschwingzeit folgt das System mit der Kreisfrequenz ω der äußeren Kraft Amplitude der erzwungenen Schwingung hängt ab von Amplitude der äußeren Kraft Verhältnis von äußerer Frequenz ω und Eigenfrequenz ω dessystems Dämpfung des Systems Phasenverschiebung zwischen äußerer Kraft und Auslenkung m && + k & + D ohne Kraft m && + k & + D F cos ω ( t) mit Kraft F(t) Schwingungen und Wellen 3 Erzwungene Schwingung Amplitude. Erzwungene Schwingung k 3 k k 3 k m [kg] D 4 [N m - ] k. [N s m - ] ω 6.8 [rad s - ] Amplitude.. 3. Frequenz [Hz] Schwingungen und Wellen 4 7

8 Erzwungene Schwingung Phase Erzwungene Schwingung k 3 k k 3 k m [kg] D 4 [N m - ] k. [N s m - ] ω 6.8 [rad s - ] Phase [ ]. Frequenz [Hz] Schwingungen und Wellen 5 8